2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形的性质

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A．10°B．20°C．30°D．40°
2．如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
3．如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（ ）
A．30°B．45°C．56°D．60°
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°，将其折叠，使点A落在CB边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为（ ）
A．56°B．32°C．22°D．34°
5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
二．填空题（共5小题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
7．直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 度．
8．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 °．
9．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，则∠B＝ ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
12．把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠1＝∠A．
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90° ，
∴∠B+∠A＝90° ．
∵ （已知），
∴∠BDC＝90° ．
∴△BDC是直角三角形（直角三角形的定义）．
∴ ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠1＝∠A ．
13．如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D＝45°，∠B＝30°，求∠1的度数．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF＝50°，求∠A的度数；
（2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
15．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点B在直线EF上，点C在直线MN上，且直线EF∥MN，∠ACN＝120°，则∠ABF的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据邻补角的概念求出∠ACM，根据平行线的性质求出∠AHB，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：∵∠ACN＝120°，
∴∠ACM＝180°﹣∠ACN＝60°，
∵EF∥MN，
∴∠AHB＝∠ACM＝60°，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，
则∠ABF＝90°﹣∠AHB＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
2．如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．100°B．105°C．110°D．120°
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】延长BC交直线b于点F，根据∠ACB＝90°，∠1＝20°，可得∠AFC的度数，根据平行线的性质可得∠DEC的度数，再根据对顶角相等即可求出∠的度数．
【解答】解：延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠AFC＝90°﹣∠1＝70°，
∵直线a∥b，
∴∠DEC+∠AFC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠2＝∠DEC＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
3．如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（ ）
A．30°B．45°C．56°D．60°
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和直角三角形的性质解答即可．
【解答】街：∵CD⊥AB，AC⊥BC，
∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝56°，
∴∠ACD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠DCB＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的两个锐角互余解答．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°，将其折叠，使点A落在CB边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为（ ）
A．56°B．32°C．22°D．34°
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D＝∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，
∴∠B＝90°﹣56°＝34°，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D＝∠A＝56°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝56°﹣34°＝22°．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
5．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，则∠B的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据记直角三角形的两锐角互余计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠B＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ 70° ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED．
7．直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 65 度．
【考点】直角三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为25°，
∴它的另一个锐角为90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．
8．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为 270 °．
【考点】直角三角形的性质；对顶角、邻补角．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】270．
【分析】由三角形的内角和定理求解∠A+∠B＝90°，再结合四边形的内角和定理可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，
故答案为：270．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理与四边形的内角和定理的应用，熟记三角形的内角和与四边形的内角和是解本题的关键．
9．在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝2∠B，则∠B＝ 30° ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】30°．
【分析】设∠B为x度，根据∠C＝2∠B，则∠C＝2x，根据三角形内角和定理得到关于x的方程，解出方程的解即可得到∠B．
【解答】解：设∠B为x度，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C为2x度，
根据三角形内角和定理得：90+x+2x＝180，
即：3x＝90，
解得：x＝30，
则∠B＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是要设出未知数，根据内角和定理列出正确的方程来求解．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝62°，D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝ 76° ．
【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】76°．
【分析】由折叠的性质得到∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，由平行线的性质得到∠A＝∠BDF，由∠C＝90°，∠B＝62°，推出∠BDF＝28°，即可求出∠ADE∠ADF＝76°，
由三角形内角和定理求出∠1的度数．
【解答】解：∵△ADE沿DE折叠得△FDE，
∴∠F＝∠A，∠ADE＝∠FDE，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BDF，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠C＝90°，∠B＝62°
∴∠A＝90°﹣∠B＝28°，
∴∠BDF＝28°，
∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝152°，
∴∠ADE∠ADF＝76°，
∴∠1＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣28°﹣76°＝76°．
故答案为：76°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，关键是掌握折叠的性质，直角三角形的性质．
三．解答题（共5小题）
11．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．
【考点】直角三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角和定理求出∠C+∠DBC＝∠F+∠DEF，然后求解即可．
【解答】解：∵CE⊥AF，
∴∠DEF＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣∠F＝90°﹣40°＝50°；
由三角形的内角和定理得，∠C+∠DBC＝∠F+∠DEF，
所以，30°+∠DBC＝40°+90°，
所以，∠DBC＝100°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
12．把下面的证明过程补充完整：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，求证：∠1＝∠A．
证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90° 已知 ，
∴∠B+∠A＝90° 直角三角形的两个锐角互余 ．
∵ CD⊥AB （已知），
∴∠BDC＝90° 垂直的定义 ．
∴△BDC是直角三角形（直角三角形的定义）．
∴ ∠B+∠1 ＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠1＝∠A 同角的余角相等 ．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】已知，直角三角形的两个锐角互余，CD⊥AB，垂直的定义，∠B+∠1，同角的余角相等．
【分析】三角形的高，同角或等角的余角相等，根据知识即可求解．
【解答】证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°（已知），
∴∠B+∠A＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∵（已知），
∴∠BDC＝90°（ 垂直的定义 ）．
∴△BDC是直角三角形（直角三角形的定义）．
∴90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠1＝∠A（同角的余角相等）．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．
13．如图，Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，∠D＝45°，∠B＝30°，求∠1的度数．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】75°．
【分析】由平行线的性质推出DCB＝∠B＝30°，由三角形外角的性质得到∠1＝∠D+∠DCB＝75°．
【解答】解：∵Rt△ACD与Rt△BCE的一条直角边重合，
∴BE⊥AC，CD⊥AC，
∴EB∥CD，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∵∠D＝45°，
∴∠1＝∠D+∠DCB＝45°+30°＝75°．
【点评】本题考查 平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠DCB＝∠B．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．
（1）若∠CEF＝50°，求∠A的度数；
（2）∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）10°；
（2）∠CFE＝∠CEF．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出∠CBE，进而利用角平分线的定义和三角形内角和定理解答即可；
（2）题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，
∴∠CBE＝40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝80°，
∴∠A＝90°﹣80°＝10°；
（2）∠CFE＝∠CEF，理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBE+∠CEB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠EBA+∠BFD＝90°
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠EBA，
∴∠CEB＝∠BFD，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠CEB＝∠CFE，
即∠CFE＝∠CEF．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
15．已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC，BC上的点，点P是斜边AB上一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图①所示，当点P运动至∠α＝50°时，则∠1+∠2＝ 140° ；
（2）如图②所示，当P运动至AB上任意位置时，试探求∠α，∠1，∠2之间的关系，并说明理由．
【考点】直角三角形的性质．
【专题】整体思想；多边形与平行四边形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据四边形内角和360°，求出∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°，再根据邻补角性质可得∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）值；
（2）先利用四边形内角和360°，得到∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP，再利用邻补角性质得到∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP，从而整理出∠1+∠2＝90°+∠α．
【解答】解：（1）∵在四边形CEPD中，根据四边形内角和360°，可得
∠CEP+∠CDP＝360°﹣90°﹣50°＝220°．
又∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠CEP+∠CDP）＝360°﹣220°＝140°．
故答案为140°；
（2）在四边形CEPD中，∠C+∠CEP+∠α+∠CDP＝360°，
∴∠C+∠α＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．
又∵∠CEP+∠2+∠CDP+∠1＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠CEP﹣∠CDP．
∴∠C+∠α＝∠1+∠2，
即∠1+∠2＝90°+∠α．
【点评】本题主要考查了四边形内角和360°，以及邻补角互补性质，同时考查了整体思想．
考点卡片
1．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:55:03；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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