2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形全等的判定

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形全等的判定，共18页。试卷主要包含了下列说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DFB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AB＝DC
3．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28°B．59°C．60°D．62°
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBAB．AB＝BDC．BC＝ADD．∠ABC＝∠BAD
二．填空题（共5小题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 时，△ABC和△PQA全等．
7．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ．
8．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 ．（写一种即可）
9．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 ．
10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 秒时，△DEB与△BCA全等．
三．解答题（共5小题）
11．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
13．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．
求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
14．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，连接AD．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
（2）在（1）的条件下，若AD平分∠CAB．求证：AC＝2AB．
证明：∵DE为AC的垂直平分线
∴DE⊥AC
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，
∵AD平分∠CAB
∴①
在Rt△ABD与Rt△AED中
∴Rt△ABD≌Rt△AED（② ）
∴③
∵DE为AC的垂直平分线
∴AE＝④
∴AC＝2AB．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之直角三角形全等的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列说法不正确的是（ ）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等
C．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
D．有两边相等的两个直角三角形全等
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据SAS来判断，故A不符合题意；
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，可根据AAS来判断，故B不符合题意；
C、斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，可根据HL来判断，故C不符合题意；
D、如果第一个直角三角形的两条直角边分别为3，4，第二个直角三角形一条直角边为3，斜边为4，那么这两个直角三角形不全等，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
2．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE＝DFB．∠A＝∠DC．∠B＝∠CD．AB＝DC
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】D
【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
3．下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．斜边和一直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一锐角和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
【解答】解：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；
B、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28°B．59°C．60°D．62°
【考点】直角三角形全等的判定；三角形内角和定理．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】根据∠C＝90°，AD＝AC，且AE＝AE，求证△CAE≌△DAE（HL），∠CAE＝∠DAE∠CAB，再由∠C＝90°，∠B＝28°，求出∠CAB的度数，然后即可求出∠AEC的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是求证△CAE≌△DAE，此题稍微有点难度，属于中档题．
5．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A．∠CAB＝∠DBAB．AB＝BDC．BC＝ADD．∠ABC＝∠BAD
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，因图中已经有AB为公共边，再补充一对直角边相等的条件即可．
【解答】解：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△BAD的斜边，也是公共边．
根据“HL”定理，证明Rt△ABC≌Rt△BAD，
还需补充一对直角边相等，
即BC＝AD或AC＝BD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，牢记“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中

∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中

∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
7．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 AB＝AC ．
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB＝AC．
【解答】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故答案为：AB＝AC．
【点评】此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
8．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 AC＝BD ．（写一种即可）
【考点】直角三角形全等的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据“HL”添加AC＝BD或BC＝AD均可．
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC＝BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
9．如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是 AB＝DC ．
【考点】直角三角形全等的判定；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】AB＝DC．
【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥BC，
∴∠ACB＝∠CBD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴应添加的条件是AB＝DC．
故答案为：AB＝DC．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．
10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动 0，2，6，8 秒时，△DEB与△BCA全等．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AC＝BE进行计算即可．
【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8﹣4＝4，
∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；
②当E在BN上，AC＝BE时，
∵AC＝4，
∴BE＝4，
∴AE＝8+4＝12，
∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；
③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，
AE＝8+8＝16，
点E的运动时间为16÷2＝8（秒），
故答案为：0，2，6，8．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三．解答题（共5小题）
11．如图所示，在△ABC中，CB⊥AB，∠BAC＝45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．求证：Rt△ABE≌Rt△CBF．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到AB＝CB，然后根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF．
【解答】证明：∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝∠FBC＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝CB，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt△BDE≌Rt△CDF．
【考点】直角三角形全等的判定；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据已知条件直接利用HL证明即可求解．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．
【点评】本题考查了HL证明三角形全等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．已知：如图AD为△ABC的高，E为AC上一点BE交AD于F且有BF＝AC，FD＝CD．
求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】由AD为BC边上的高得到∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据“HL”可判断Rt△BDF≌Rt△ADC．
【解答】证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△BFD和Rt△ACD中
，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键．
14．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：Rt△ABF≌Rt△DCE．
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
【点评】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由BE＝CF通过等量代换得到BF＝CE．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．
（1）尺规作图：作AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D，连接AD．（保留作图痕迹，不写作法，不用下结论）；
（2）在（1）的条件下，若AD平分∠CAB．求证：AC＝2AB．
证明：∵DE为AC的垂直平分线
∴DE⊥AC
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，
∵AD平分∠CAB
∴① AE＝AB
在Rt△ABD与Rt△AED中
∴Rt△ABD≌Rt△AED（② HL ）
∴③ AB＝AE
∵DE为AC的垂直平分线
∴AE＝④ EC
∴AC＝2AB．
【考点】直角三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质．
【专题】图形的全等；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AE＝AB，HL，AB＝AE，EC．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）证明Rt△ABD≌Rt△AED（HL），推出AB＝AE，由DE为AC的垂直平分线，推出AE＝CE，可得结论．
【解答】（1）解：图形如图所示：
（2）证明：∵DE为AC的垂直平分线，
∴DE⊥AC，
∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AD平分∠CAB，
∴①BD＝DE，
在Rt△ABD与Rt△AED中
，
∴Rt△ABD≌Rt△AED（②HL），
∴③AB＝AE，
∵DE为AC的垂直平分线，
∴AE＝④CE，
∴AC＝2AB．
故答案为：AE＝AB，HL，AB＝AE，EC．
【点评】本题考查直角三角形全等的判定，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
3．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
4．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
5．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:53:40；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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