2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解直角三角形

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A．B．2C．1D．3
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化D．不能确定
3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
A．B．C．D．2
4．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A．1B．C．D．
5．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝ ．
7．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cs∠ACD的值是 ．
8．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．若AD＝AC，则tan∠BCD的值为 ．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，点D是AB边上一点，BD＝5，，则AC＝ ．
10．如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则sin∠AEC的值是 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB．求AC的长及∠A的正切值．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC＝6，cs∠ACD，求AB，CH的长．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO．
（1）求AB的长及∠BAO的正弦值．
（2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标．
14．Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）如果AB＝15，∠A＝60°，求BC的长；
（2）如果AB＝15，，求BC的长．
15．“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备厢，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，图2是在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置的示意图．王红测得AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求点E运动的距离．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之解直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为（ ）
A．B．2C．1D．3
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】过A作AD⊥BC于D，在Rt△ADC与Rt△ADB中结合30°角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质求出CD、BD即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，∠C＝30°，AC＝2，
∴ADAC＝1，
∴CD，
在Rt△ADB中，∠B＝45°，AD＝1，
∴BD＝AD＝1，
∴BC＝BD+CD＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、30°角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
2．在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角∠A的余弦值的变化情况是（ ）
A．都缩小为原来的B．都扩大为原来的2倍
C．都没有变化D．不能确定
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】设出原来的各边，得到相应的余弦值，进而得到扩大后的各边，再得到扩大后的余弦值，比较即可．
【解答】解：设原来三角形的各边分别为a，b，c，
则csA，
若把各边扩大为原来的3倍，
则各边为3a，3b，3c，
那么csA，
所以余弦值不变．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
A．B．C．D．2
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】连接CB，设小正方形边长为1，求出，，，即可证明△ABC是直角三角形，问题随之得解．
【解答】解：连接CB，如图所示：
设小正方形边长为1，
∴，，，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，，
故选：B．
【点评】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，掌握三角函数值，三角函数定义是解题的关键．
4．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（ ）
A．1B．C．D．
【考点】解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】在直角△ACD中利用正切函数的定义即可求解．
【解答】解：在直角△ACD中，AD＝2，CD＝6，
则tan∠ACB．
故选：B．
【点评】本题考查了正切函数的定义，掌握三角函数就是直角三角形中边的比是关键．
5．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】如图，取格点E．连接BE，CE．构造直角三角形求出AC，EC即可解决问题．
【解答】解：如图，取格点E．连接BE，CE．
在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC5，EC＝3，
∴sinA，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共5小题）
6．如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，则tan∠EDF＝ ．
【考点】解直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】．
【分析】根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明△BEF∽△CFD，可得，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB，AD＝BC，
由折叠的性质得：AD＝DF＝BC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠BEF+∠BFE＝∠DFC+∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝∠DFC，
∴△BEF∽△CFD，
∴，
∵CD＝3BF，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题，掌握其性质定理是解决此题的关键．
7．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cs∠ACD的值是 ．
【考点】解直角三角形；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】．
【分析】过A作AH⊥CD于H，设BD＝m，可得AC＝AD＝3m，AB＝4m，由△DCB∽△CAB，得，故BC＝2m，CDm，从而CHCDm，可得cs∠ACH，即cs∠ACD．
【解答】解：过A作AH⊥CD于H，如图：
设BD＝m，
∵AC＝AD＝3BD，
∴AC＝AD＝3m，AB＝4m，
∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴，
即，
解得BC＝2m，CDm，
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CHCDm，
在Rt△ACH中，cs∠ACH，
∴cs∠ACD；
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形和相似三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和掌握三角函数的定义，相似三角形的判定代入．
8．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．若AD＝AC，则tan∠BCD的值为 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】过D作DH⊥BC于H，sinB，令AC＝3x，BC＝5x，由勾股定理得AB4x，求出BD＝AB﹣AD＝x，由锐角的正弦求出DHx，由勾股定理得BHx，求出CH＝BC﹣BHx，由锐角的正切即可求出tan∠BCD．
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，
∵∠A＝90°，
∴sinB，
∴令AC＝3x，BC＝5x，
∴AB4x，
∵AD＝AC＝3x，
∴BD＝AB﹣AD＝x，
∵sinB，
∴DHx，
∴BHx，
∴CH＝BC﹣BHx，
∴tan∠BCD．
【点评】本题考查解直角三角形，关键是过D作DH⊥BC于H，构造直角三角形．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝8，点D是AB边上一点，BD＝5，，则AC＝ 6或 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】6或 ．
【分析】过点D作DE⊥BC于E，根据sin∠DCB，可得出，设DE＝3k，CD＝5k，则CE＝4k，BE＝8﹣4k，在Rt△BDE中，由勾股定理得构造关于k的方程并解出k，进而可求出DE，BE，然后证△BDE和△BAC相似，最后利用相似三角形的性质可求出AC的长．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，如图所示：
∵sin∠DCB，
在Rt△CDE中，sin∠DCB，
∴，
设DE＝3k，CD＝5k，
由勾股定理得：CE4k，
∵BC＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣4k，
在Rt△BDE中，BE＝8﹣4k，DE＝3k，BD＝5，
由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2，
即（8﹣4k）2+（3k）2＝52，
整理得：25k2﹣64k+39＝0，
解得：k＝1，或k，
当k＝1时，DE＝3k＝3，BE＝8﹣4k＝4，
∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DE：AC＝BE：BC，
即3：AC＝4：8，
∴AC＝6，
当k，DE＝3k，BE＝8﹣4k，
同理：DE：AC＝BE：BC，
即，
∴AC．
综上所述：AC＝6或 ．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
10．如图，5×6的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则sin∠AEC的值是 ．
【考点】解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】利用网格构造直角三角形，根据勾股定理求出AC、BD、CD、BC、AD的长，再根据勾股定理的逆定理和锐角三角函数的定义得出答案．
【解答】解：如图，连接AC、CB、BD、DA，
由网格构造直角三角形，利用勾股定理得，
AC＝BD＝CD，BC＝AD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴CECD，
∵AC2+CD2＝5+5＝10＝AD2，
∴△ACD是等腰直角三角形，即∠ACE＝90°，
∵AE，
在Rt△ACE中，
sin∠AEC，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，勾股定理以及逆定理是解决问题的前提，利用网格构造直角三角形是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB．求AC的长及∠A的正切值．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】AC＝5，tanA．
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正切值．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinB，AB＝13，
∴AC＝5．
∴BC

＝12．
∴tanA．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD，CH分别是AB边上的中线和高，BC＝6，cs∠ACD，求AB，CH的长．
【考点】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】AB＝10，CH．
【分析】根据三角形中线的定义，等腰三角形性质以及锐角三角函数可得，设AC＝4x，则AB＝5x，勾股定理可求出BC＝3x＝6，进而求出AB，再根据三角形面积公式求出CH即可．
【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴，
∵∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，
由于，
可设AC＝4x，则AB＝5x，
由勾股定理得：，
∴3x＝6，
即x＝2，
∴AB＝5x＝10，AC＝4x＝8，
∵S△ABCAC•BCAB•CH，
∴8×610×CH，
解得CH．
答：AB＝10，CH．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质是正确解答的前提．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x轴负半轴上，且tan∠ABO．
（1）求AB的长及∠BAO的正弦值．
（2）若点C在x轴正半轴上，且OC＝3．点D是x轴上的动点，当∠CAD＝∠ABC时，求点D坐标．
【考点】解直角三角形；点的坐标；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；；
（2）（，0）或（，0）．
【分析】（1）先由点A（0，4），得OA＝4，在Rt△OAB中由tan∠ABO，可求出OB；再由勾股定理求出AB，进而可得∠BAO的正弦值；
（2）过点C作CE⊥AD于E，设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，由勾股定理得AD，AC＝5，在Rt△AOB中求出sin∠ABC，则sin∠CAD，由此得CE，然后由三角形的面积公式得S△ACDAD•CECD•OA，得，解此方程求出t的值即可得出点D的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（0，4），
∴OA＝4，
在Rt△OAB中，tan∠ABO，
∴OBOA＝6，
由勾股定理得：AB，
∴sin∠BAO，
（2）过点C作CE⊥AD于E，如图所示：
设点D的坐标为（t，0），则OD＝t，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD，
∵点C在x轴正半轴上，且OC＝3，
∴在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC5，
在Rt△AOB中，sin∠ABO，
即sin∠ABC，
∵∠CAD＝∠ABC，
在Rt△ACE中，AC＝5，sin∠CAD，
∴CE，
又∵OD＝t，OC＝3，
∴CD＝|t﹣3|，
由三角形的面积公式得：S△ACDAD•CECD•OA，
∴，
整理得：27t2﹣312t+68＝0，
解得：t1，t2，
∴点D的坐标为（，0）或（，0）．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，点的坐标，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．
14．Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）如果AB＝15，∠A＝60°，求BC的长；
（2）如果AB＝15，，求BC的长．
【考点】解直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）；
（2）BC＝9．
【分析】（1）根据正弦函数的定义和60度角的正弦值求解即可；
（2）根据正切函数的定义和勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴，
∵∠A＝60°，AB＝15，
∴，
∴；
（2）Rt△ABC中，，设BC＝3k，AC＝4k，
则AB＝5k，
∵AB＝15，
∴k＝3，
∴BC＝3k＝9．
【点评】本题考查解直角三角形，理解锐角三角函数定义，分清对应锐角三角函数是哪两条对应边的比值是解答的关键．
15．“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备厢，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备厢，图2是在打开后备厢的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置的示意图．王红测得AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求点E运动的距离．
【考点】解直角三角形；矩形的性质．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（70+45）cm；（2）10π cm．
【分析】（1）通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出D′H即可；
（2）根据勾股定理求出AE的长，再根据弧长的计算方法求出弧EE′的长即可．
【解答】解：（1）如图2，过点D′作D′H⊥AD于H，连接AE，AE′，由题意可知，D′E′＝DE＝30cm，AD′＝AD＝90cm，∠DAD′＝∠EAE′＝60°，
在Rt△AD′H中，AD′＝90cm，∠HAD′＝60°，
∴D′HAD′＝45（cm），
∴点D′到BC的距离为D′H+DC＝4530+40＝（70+45）cm，
答：点D'到BC的距离为（70+45）cm；
（2）在Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm，
∴AE30（cm），
∴弧EE′的长为10π（cm），
答：点E运动的距离为10π cm．
【点评】本题考查解直角三角形，弧长的计算，掌握直角三角形的边角关系以及弧长的计算方法是正确解答的关键．
考点卡片
1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
3．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．
4．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
6．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
7．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA，csA，tanA．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:51:50；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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