2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之利用三角形测高

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之利用三角形测高，共24页。

A．千米B．千米
C．千米D．5千米
2．以机场为观测点，飞机甲在北偏东30°方向30km处．则南偏东60°方向60km的是（ ）
A．乙B．丙C．丁D．戊
3．如图，C点在D点的正下方，从C点测得A点的仰角为20°，∠DAC＝65°，则从D点测得A点的俯角的正切值是（ ）
A．B．C．1D．
4．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°航行，乙船向南偏东48°航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）
A．15海里/时B．30海里/时C．16海里/时D．32海里/时
5．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为（4040）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东60°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．80海里
二．填空题（共5小题）
6．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 海里．
7．如图，在地面上的点A处测得滑雪赛道顶端点B的仰角为α度，BC＝50米，则赛道AB的长度为 米（用含α的代数式表示）．
8．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 海里．
9．如图，小明一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶一段距离至B地，再沿北偏东60°方向行驶千米到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么A，B两地的距离为 千米．
10．惠州市高榜山是国家一级城市森林公园，高榜山的主体建筑挂榜阁是明清官式建筑，某数学兴趣小组在A处用测角仪测得挂榜阁顶端D的仰角为34°，在B处又测得挂榜阁顶端D的仰角为50°．测量点A，B与挂榜阁DC的底部C在同一水平线上，则从D处观测A，B两处的视角∠ADB＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
13．我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．
（1）求点D到水平地面CQ的距离．
（2）求通讯塔AB的高度．（参考数据：sin53°，cs53°，tan53°）
14．如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6米，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）
15．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到1m，参考数据：，
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之利用三角形测高
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（ ）
A．千米B．千米
C．千米D．5千米
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】图所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，得到千米，CD＝BD，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，
由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，
∴（千米），CD＝BD，
∴（千米），
∴（千米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
2．以机场为观测点，飞机甲在北偏东30°方向30km处．则南偏东60°方向60km的是（ ）
A．乙B．丙C．丁D．戊
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据方位角的定义和图形表示的意义即可得到结论．
【解答】解：∵以机场为观测点，飞机甲在北偏东30°方向30km处．
∴南偏东60°方向60km的是丙，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确的识别图形是解题的关键．
3．如图，C点在D点的正下方，从C点测得A点的仰角为20°，∠DAC＝65°，则从D点测得A点的俯角的正切值是（ ）
A．B．C．1D．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质以及三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过A作AH⊥CD于H，
则AH∥DE∥CF，
∴∠HAC＝∠ACF＝20°，
∴∠EDA＝∠DAH＝∠DAC﹣∠CAH＝45°，
∴∵从C点测得A点的仰角为20°，∠DAC＝65°，
∴从D点测得A点的俯角的正切值是1，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东42°航行，乙船向南偏东48°航行，0.5小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，则乙船的航速是（ ）
A．15海里/时B．30海里/时C．16海里/时D．32海里/时
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由题意知，∠CAB＝90°，AC＝0.5×16＝8，BC＝17，由勾股定理得AB＝15，根据乙船的航速是15÷0.5，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，∠CAB＝180°﹣42°﹣48°＝90°，AC＝0.5×16＝8，BC＝17，
由勾股定理得，
∴乙船的航速是15÷0.5＝30（海里/时），
故选：B．
【点评】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理求直角三角形的线段长是解题的关键．
5．如图，岛P位于岛Q的正西方，P、Q两岛间的距离为（4040）海里，由岛P、Q分别测得船R位于南偏东60°和南偏西45°方向上，则船R到岛P的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．80海里
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】要求PR的长，需要构造直角三角形，作辅助线RA⊥PQ，然后根据题目中的条件可以得到PR的长，本题得以解决．
【解答】解：作RA⊥PQ于点A，如图所示，
∵∠QPR＝30°，∠PQR＝45°，∠PAR＝∠QAR＝90°，PQ＝（4040）海里，
∴PA，QA，PR＝2RA，
∴4040，
解得，RA＝40海里，
∴PR＝2RA＝80海里，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用特殊角的三角函数值进行解答．
二．填空题（共5小题）
6．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝ 7 海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PBD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案为：7．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
7．如图，在地面上的点A处测得滑雪赛道顶端点B的仰角为α度，BC＝50米，则赛道AB的长度为 米（用含α的代数式表示）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；列代数式．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可得：BC⊥AC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：BC⊥AC，
在Rt△ABC中，BC＝50米，∠A＝α度，
∴AB（米），
∴赛道AB的长度为米，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 6 海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】6．
【分析】过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由三角形的外角性质得∠BAC＝∠ABC，再由等腰三角形的判定得AC＝BC，锐角由锐角三角函数定义求出AE的长即可．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝12海里，
在Rt△ACE中，sin∠ACE，
∴AE＝AC•sin∠ACE＝126（海里），
即小岛A到航线BC的距离是6海里，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9．如图，小明一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶一段距离至B地，再沿北偏东60°方向行驶千米到达风景区C，小明发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么A，B两地的距离为 4 千米．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】4．
【分析】过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，
由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，
∴AB，CD＝BD＝2千米，
∴AB4（千米），
答：A，B两地的距离为4千米．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．惠州市高榜山是国家一级城市森林公园，高榜山的主体建筑挂榜阁是明清官式建筑，某数学兴趣小组在A处用测角仪测得挂榜阁顶端D的仰角为34°，在B处又测得挂榜阁顶端D的仰角为50°．测量点A，B与挂榜阁DC的底部C在同一水平线上，则从D处观测A，B两处的视角∠ADB＝ 16° ．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；视点、视角和盲区．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】16°．
【分析】根据题意可得，∠CAD＝34°，∠CBD＝50°，DC⊥CA，进而利用两锐角互余求得∠ADC＝56°，∠BDC＝40°，进一步求得∠ADB＝56°﹣40°＝16°．
【解答】解：由题意可知，∠CAD＝34°，∠CBD＝50°，DC⊥CA，
∴∠ADC＝90°﹣34°＝56°，∠BDC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ADB＝56°﹣40°＝16°，
故答案为：16°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形得出∠CAD＝34°，∠CBD＝50°，DC⊥CA是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A，B两点间的距离约为96米．
【分析】根据题意可得：∠ECD＝∠ADC＝90°，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°，从而可得∠ACD＝53°，∠BDC＝37°，再利用三角形内角和定理可得∠DBC＝90°，从而可得∠ABD＝90°，进而可得∠A＝37°，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠ECD＝∠ADC＝90°，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°，
∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ECA＝53°，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝37°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACD＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠CBD＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ADB＝37°，
在Rt△CBD中，CD＝90米，
∴BD＝CD•cs37°≈90×0.8＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，
∴AB96（米），
∴A，B两点间的距离约为96米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；
（2）教学楼BC的高度约为24m．
【分析】（1）在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，从而可得∠DCF＝∠CDG＝37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AEDE＝30（m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF•tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.515≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．
（1）求点D到水平地面CQ的距离．
（2）求通讯塔AB的高度．（参考数据：sin53°，cs53°，tan53°）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）点D到水平地面CQ的距离为10米；
（2）通讯塔AB的高度约为38.5米．
【分析】（1）过点D作DF⊥CQ，垂足为F，根据已知可得，从而设DF＝5x米，则CF＝12x米，然后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）延长AB交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，垂足为H，根据题意得：DF＝HE＝10米，设DH＝FE＝y米，则CE＝（24+y）米，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义可得AH的长，从而可求出AE＝（y+10）米，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义可得AE＝CE，从而列出关于x的方程，进行计算可求出DH，AH的长，最后再根据斜坡CB的坡度求出BH的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥CQ，垂足为F，
∵斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴，
∴设DF＝5x米，则CF＝12x米，
在Rt△CDF中，CD＝26米，
∴CD2＝CF2+DF2，
∴262＝（5x）2+（12x）2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴CF＝12x＝24（米），DF＝5x＝10（米），
∴点D到水平地面CQ的距离为10米；
（2）延长AB交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，垂足为H，
由题意得：DF＝HE＝10米，DH＝FE，
设DH＝FE＝y米，
∵CF＝24米，
∴CE＝CF+EF＝（24+y）米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝53°，
∴AH＝DH•tan53°y（米），
∴AE＝AH+HE＝（y+10）米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴tan45°1，
∴AE＝CE，
∴y+10＝24+y，
解得：y＝42，
∴DH＝FE＝42米，AHy＝56（米），
∵斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴，
∴BH＝17.5米，
∴AB＝AH﹣BH＝56﹣17.5＝38.5（米），
∴通讯塔AB的高度约为38.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．如图，一架无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为30°，底部C的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD为6米，求该校的旗杆高为多少米．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】该校的旗杆高为8米．
【分析】分别在Rt△ABD和Rt△ACD中利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该旗杆的高度．
【解答】解：在Rt△ABD，
∵AD＝6米，∠BAD＝30°，
∴tan30°，
解得：BD＝2（米），
在Rt△ACD，
∵AD＝6米，∠CAD＝60°，
∴tan60°，
解得：DC＝6（米），
故该校的旗杆高约为：BC＝BD+DC＝2（米），
答：该校的旗杆高为8米．
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数关系是解题关键．
15．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距离即BC的长．（结果精确到1m，参考数据：，
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】21米．
【分析】过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，根据题意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，从而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，进而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用锐角三角函数的定义求出CD的长，再在Rt△AOE中，利用锐角三角函数的定义求出OE的长，从而求出BD的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OD⊥BC，交BC的延长线于点D，过点O作OE⊥AB，垂足为E，
由题意得：AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△OCD中，CD＝OC•cs45°＝2010（米），
在Rt△AOE中，OE＝AO•cs30°＝4020（米），
∴OE＝BD＝20（米），
∴BC＝BD﹣CD＝201021（米），
∴小李到古塔的水平距离即BC的长约为21米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
3．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
5．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
6．视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．
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