2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之锐角三角函数

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A．B．C．D．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小D．不能确定
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC等于（ ）
A．6B．16C．12D．4
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
5．已知∠A+∠B＝90°，且，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，csB，则AC的长为 ．
8．将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
9．如图是一个自动扶梯的示意图，则tanβ＝ ．
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则∠A的余切值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P在AC上，且PC＝PB．
（1）求AP的长．
（2）若∠C＝α，请用含α的式子表示∠ABP的度数．
12．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2）
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求csB的值．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tanA的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可．
【解答】解：如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴tanA．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
2．在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变B．扩大5倍C．缩小D．不能确定
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；模型思想；应用意识．
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，其相应边长的比值不变，因此锐角A的正切函数值也不会改变．
【解答】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角A的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的意义，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC等于（ ）
A．6B．16C．12D．4
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据正切，即可求解．
【解答】解：如图：
∵，BC＝8，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查根据角度的正切值求线段长度，熟记正切的定义是解题关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（ ）
A．B．3C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据正切函数的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，
∴tanB．
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义．
5．已知∠A+∠B＝90°，且，则tanB的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，设AC＝3x，AB＝5x，求出BC，即可求解．
【解答】解：如图，
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝90°，
∵，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，涉及到勾股定理，熟记公式是关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则sinA的值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，
∴BC5，
∴sinA．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，csB，则AC的长为 12 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据余弦的定义求出BC，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，csB，
∵AB＝15，csB，
∴，
解得：BC＝9，
由勾股定理得：AC12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦．
8．将∠BAC放置在4×4的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】直接连接BC，进而得出∠ABC＝90°，再利用特殊角的三角函数值得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BC，
∵AB＝BC，AC＝2，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠BAC．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．
9．如图是一个自动扶梯的示意图，则tanβ＝ ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的第三边长，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：根据题意，∠β的对边5，
所以tanβ．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义是解决问题的关键．
10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则∠A的余切值为 ．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】．
【分析】直接根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，
∴∠A的余切值．
故答案为：．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，点P在AC上，且PC＝PB．
（1）求AP的长．
（2）若∠C＝α，请用含α的式子表示∠ABP的度数．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，判定∠A＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理列方程求得结果；
（2）利用等腰三角形的两底角相等及直角三角形的两锐角互余即可求得∠ABP度数；
【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．
∴设AP＝x，则PC＝PB＝4﹣x，
在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，
∴32+x2＝（4﹣x）2．
解得：．
∴AP的长是．
（2）∵PB＝PC，∠C＝α，
∴∠PBC＝∠C＝α，
∴∠APB＝∠C+∠PBC＝2α，
∴∠ABP＝90°﹣2α．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，其中列出符合要求的式子和方程是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：1.4，1.7，2.2）
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得ADAC＝2，由三角函数求出CD＝2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD＝16，即可得出结果；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，求出∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD即可得出结果．
【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴ADAC＝2，
CD＝AC•cs30°＝42，
在Rt△ABD中，tanB，
∴BD＝16，
∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD20.3．
【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求csB的值．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BCx，在Rt△ABC中，根据三角函数可求csB．
【解答】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴∠C＝∠ANM＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
设AC＝3x，AB＝4x，
由勾股定理得：BCx，
在Rt△ABC中，csB．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的性质勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．
14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
（1）a＝5，c＝2a，求b、∠A．
（2）tanA＝2，S△ABC＝9，求△ABC的周长．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）5，30°；
（2）9+3．
【分析】（1）求出c，再根据勾股定理即可求出b，根据锐角三角函数的定义求出sinA，再求出∠A即可；
（2）根据锐角三角函数的定义求出a＝2b，根据三角形的面积求出b，求出a，再根据勾股定理求出c即可．
【解答】解：（1）∵a＝5，c＝2a＝10，
∴b5，
∵sinA，
∴∠A＝30°；
（2）∵tanA2，
∴a＝2b，
∵S△ABC＝9，
∴9，
∴9，
解得：b＝3（负数舍去），
即a＝6，
由勾股定理得：c3，
∴△ABC的周长为a+b+c＝6+3+39+3．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质．
【专题】代数几何综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）
（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）
（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．
【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
3．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
4．锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA＝∠A的对边除以斜边．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
即csA＝∠A的邻边除以斜边．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:19:12；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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