2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之三角函数的应用

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A．3B．5C．2D．4
2．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（ ）
A．B．C．5•cs52°D．
3．如图钓鱼竿AC长8m，露在水面上的鱼线BC长4m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3mB．3mC．4 mD．4m
4．如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10mB．C．D．
5．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）米．
A．B．C．200cs20°D．200sin20°
二．填空题（共5小题）
6．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 m．
7．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度，王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
8．一天某时刻，太阳光与地面成30°的角，一棵小树在地面上的投影为9米，则这棵小树高 米．
9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是 cm．
10．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 米．（，结果精确到0.1）
三．解答题（共5小题）
11．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cs72°≈0.309，tan72°≈3.078，1.732）
12．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30°的AC，已知BC＝10米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．
（1）求AB的距离；（结果保留根号）
（2）一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为3米，EF⊥AC，若CF＝16米，求此时货车顶端E到水平线CD的距离DE．（精确到0.1米，参考数据：
13．在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，AB＝8dm，CA⊥AD于点D且CA＝10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号）
14．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，AB⊥BC，测得AB＝5米，BC＝12米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（参考数据：sin13°≈0.225，cs13°≈0.974，tan13°≈0.231）
（1）求这个车库的斜坡AC的长；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
15．为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，45cm，且它们互相垂直，∠CAB＝76°，AD∥BC，如图（2）．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin76°≈0.96，cs76°≈0.24，tan76≈4.00，，）
（1）求车架档AD的长；
（2）求车链横档AB的长．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之三角函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为（ ）m．
A．3B．5C．2D．4
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得：在Rt△ABC中，，从而可得BCAC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，
∴在Rt△ABC中，，AC＝6m，
∴BCAC＝2（m），
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（ ）
A．B．C．5•cs52°D．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cs52°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，BC＝5，
∴cs52°，
∴AC
故选：B．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
3．如图钓鱼竿AC长8m，露在水面上的鱼线BC长4m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（ ）
A．3mB．3mC．4 mD．4m
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【解答】解：∵sin∠CAB，
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°，
解得：B′C′＝4．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
4．如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10mB．C．D．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据坡度的定义求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡度，
∴，
∴（米），
在Rt△ABC中，由勾股定理得，（米），
故选：C．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．
5．如图，滑雪场有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB的长为（ ）米．
A．B．C．200cs20°D．200sin20°
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【解答】解：∵，
∴AB＝AC•sin∠C＝200sin20°，
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝3m，坡AB的坡比，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，
7．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度，王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 10 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出AB的长，利用坡度设出AC，BC，再利用勾股定理即可求出BC．
【解答】解：∵扶梯AB的坡度，
∴可设BC＝x米，ACx米，
∵王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，
∴AB＝0.5×40＝20（米），
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即（x）2+x2＝202，
解得x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
即王老师上升的铅直高度BC为10米．
故答案为：10．
【点评】本题考查解直角三角形﹣坡度坡角问题，解答中涉及勾股定理，理解题意，掌握坡度的意义是解题的关键．
8．一天某时刻，太阳光与地面成30°的角，一棵小树在地面上的投影为9米，则这棵小树高 米．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】大树本身和太阳光、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为30°．由此可以根据正切函数求出这棵大树的高度．
【解答】解：如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝9m，
∴，
∴这棵小树的高度为米，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图，一个小球由地面沿着坡度为i＝3：4的坡面向上前进了25cm，则此时小球水平方向前进的距离是 20 cm．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；数据分析观念．
【答案】20．
【分析】过B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，设BC＝3x cm，AC＝4x cm，则AB＝5x cm，即可求解．
【解答】解：如图，过B作BC⊥AC于C，
由i＝BC：AC＝3：4，
设BC＝3x cm，AC＝4x cm，
则AB＝5x＝25，
解得x＝5，
∴AC＝4×5＝20（cm）．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
10．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 4.4 米．（，结果精确到0.1）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】4.4．
【分析】分别在直角三角形DCF和直角三角形ADE中求得DF和DE的长后相加即可得到EF的长．
【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cs∠ADE，
∴DE，
∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．
答：车位所占的宽度EF约为4.4米．
故答案为：4.4．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，如何从纷杂的实际问题中整理出直角三角形是解决此类题目的关键．
三．解答题（共5小题）
11．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cs72°≈0.309，tan72°≈3.078，1.732）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm
（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm
【分析】（1）作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，根据列式计算即可；
（2）作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，可得四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，解直角三角形Rt△ABE求出AE，可得CK＝DH＝210cm，然后在Rt△CFK中，解直角三角形求出FK，进而可得DF的长．
【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cs72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．为了方便市民出行，建委决定对某街道一条斜坡进行改造，计划将原斜坡坡角为45°的BC改造为坡角为30°的AC，已知BC＝10米，点A，B，C，D，E，F在同一平面内．
（1）求AB的距离；（结果保留根号）
（2）一辆货车沿斜坡从C处行驶到F处，货车的高EF为3米，EF⊥AC，若CF＝16米，求此时货车顶端E到水平线CD的距离DE．（精确到0.1米，参考数据：
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）AB的距离为（1010）米；
（2）此时货车顶端E到水平线CD的距离DE约为5.4米．
【分析】（1）过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出CG和BG的长，然后在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）延长DE交AC于点H，根据题意可得：DC∥AG，DE⊥CD，从而可得∠CDH＝90°，∠A＝∠DCA＝30°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DHC＝60°，再根据垂直定义可得∠EFA＝90°，从而在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH和EH的长，进而求出CH的长，最后在Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，
在Rt△BCG中，BC＝10米，∠CBG＝45°，
∴CG＝BC•sin45°＝1010（米），
BG＝BC•cs45°＝1010（米），
在Rt△ACG中，∠CAG＝30°，
∴AGCG＝10（米），
∴AB＝AG﹣BG＝（1010）米，
∴AB的距离为（1010）米；
（2）延长DE交AC于点H，
由题意得：DC∥AG，DE⊥CD，
∴∠CDH＝90°，
∵DC∥AG，
∴∠A＝∠DCA＝30°，
∴∠DHC＝90°﹣∠DCA＝60°，
∵EF⊥AC，
∴∠EFA＝90°，
在Rt△EFH中，EF＝3米，
∴FH（米），
EH2（米），
∵CF＝16米，
∴CH＝CF+FH＝（16）米，
在Rt△CDH中，∠DCA＝30°，
∴DHCH＝（8）米，
∴DE＝DH﹣EH＝8285.4（米），
∴此时货车顶端E到水平线CD的距离DE约为5.4米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，AB＝8dm，CA⊥AD于点D且CA＝10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】点A到BC的距离为dm．
【分析】设点A到BC的距离为h dm，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：设点A到BC的距离为h dm，
过B作BE⊥AC于E，
∵CA⊥AD，
∴∠DAC＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠BAE＝60°，
∵∠AEB＝90°，
∴ABE＝30°，
∵AB＝8dm，
∴AEAB＝4（dm），
∴BEAB＝4（dm），
∵AC＝10dm，
∴CE＝10﹣4＝6（dm），
∴BC2，
∵S△ABCAC•BEBC•h，
∴h，
答：点A到BC的距离为dm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14．某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，AB⊥BC，测得AB＝5米，BC＝12米，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（参考数据：sin13°≈0.225，cs13°≈0.974，tan13°≈0.231）
（1）求这个车库的斜坡AC的长；
（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）13米；
（2）9.6米．
【分析】（1）在Rt△ABC中，勾股定理即可求解；
（2）在Rt△ADC中，根据，求得BD，进而根据DC＝DB﹣BC，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥BC，AB＝5，BC＝12，
∴（米）．
答：这个车库的斜坡AC的长13米；
（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝13°，AB＝5，
∴BD21.6（米），
∴DC＝DB﹣BC＝21.6﹣12＝9.6（米），
答：斜坡改进后的起点D与原起点C距离约为9.6米．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．
15．为倡导健康出行，某市道路运输管理局向市民提供一种公共自行车作为代步工具，如图（1）所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，45cm，且它们互相垂直，∠CAB＝76°，AD∥BC，如图（2）．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin76°≈0.96，cs76°≈0.24，tan76≈4.00，，）
（1）求车架档AD的长；
（2）求车链横档AB的长．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）先过点B作BH⊥AC，设BH＝x，则AH＝45﹣x，根据三角函数的定义求出x的值，从而得出BH、AH的长，最后根据勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：（1）∵在Rt△ACD中，AC＝45cm，DC＝45cm，
∴AD4563.5（cm），
∴车架档AD的长为63.5cm；
（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，则tan∠BAH，
∵AC＝45cm，CD＝45cm，AC⊥CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∴tan∠ACB＝1，
设BH＝CH＝x，AH＝45﹣x，
则tan76°4，
解得；x＝36，
∴BH＝36，AH＝9，
∴AB937.1（cm），
7答：车链横档AB的长约为37.1cm．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是勾股定理、平行线的性质．
考点卡片
1．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 17:52:58；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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