2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆的对称性

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆的对称性，共20页。试卷主要包含了下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
2．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
3．如图，AB是⊙O的直径，，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．95°
4．如图，⊙O的半径为9，AB，CD是两条弦，AB＝CD，∠AOB＝120°，则的长为（ ）
A．3πB．6πC．18πD．27π
5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，，则∠AOE＝ °．
7．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 ．
8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．若半圆的直径为13，BC＝10，则BD的长为 ．
9．如图点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，F是EC中点，若BF＝6cm，则BD＝ cm．
10．如图，在同圆中，若∠AOC＝2∠BOD，则AC 2BD．（填“＞”“＜”或“＝”）
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交AB，BA的延长线和AC于D，E，F，连接EF并延长交BC于G，EG⊥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接DF，判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
12．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
13．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：．
14．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E．
（1）求证：AE＝DE．
（2）若100°，AB＝ED，求的度数．
15．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之圆的对称性
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】连接OB，求出∠AOB，可得结论．
【解答】解：连接OB．
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴的度数为120°．
故选：D．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
2．下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D．相等的弦所对的弧相等
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】B
【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．如图，AB是⊙O的直径，，若∠COD＝35°，则∠AOE的度数是（ ）
A．35°B．55°C．75°D．95°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】C
【分析】由，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，继而可求得∠AOE的度数．
【解答】解：∵，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝75°．
故选：C．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
4．如图，⊙O的半径为9，AB，CD是两条弦，AB＝CD，∠AOB＝120°，则的长为（ ）
A．3πB．6πC．18πD．27π
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理得∠COD＝∠AOB＝120°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∵∠AOB＝120°，
∴∠COD＝∠AOB＝120°，
∴弧CD的长为6π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理、弧长公式，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（ ）
A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】A
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠B，根据平行线的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：连接BC，
由圆周角定理得，∠BAC∠BOCx°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°x°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D＝180°﹣∠B＝90°x°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OACx°，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCAx°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°x°﹣（90°x°）＝90°﹣x°，
∴x+y＝90，
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，，则∠AOE＝ 54 °．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】54．
【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解．
【解答】解：∵，
∴∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝42°，
∵AB是直径，
∴∠AOB＝180°，
∴∠AOE＝180°﹣42°×3＝54°．
故答案为：54．
【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
7．如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 64° ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】64°．
【分析】根据在同圆中，等弧所对的圆心角相等，可推出∠BOD＝∠AOE＝32°，再根据对顶角相等，可推出∠AOC＝∠BOD＝32°，最后用∠COE＝∠COA+∠AOE即可求解．
【解答】解：∵，∠AOE＝32°，
∴∠BOD＝∠AOE＝32°，
∵∠AOC＝∠BOD＝32°，
∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝32°+32°＝64°．
故答案为：64°．
【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键．
8．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E，且．若半圆的直径为13，BC＝10，则BD的长为 ．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】先连结AE，根据ASA判定△AEB≌△AEC，再根据全等三角形的性质得出AB＝AC，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求得AE和BE的长，再根据面积法即可求得BD的长．
【解答】解：连结AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∵，
∴∠BAE＝∠CAE，
又AE＝AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB＝AC，
即△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴，
在Rt△ABE中，AB＝13，BE＝5，
∴，AB＝AC＝13，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理的推论等知识，掌握圆周角定理的推论是解答本题的关键．
9．如图点A、B、C、D在⊙O上，且，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，F是EC中点，若BF＝6cm，则BD＝ 12 cm．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；三角形中位线定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】12．
【分析】先判断出BF是△EAC的中位线，得到BFAC，再判断出BD＝AC，即可得出结论；
【解答】解：如图，连接AC，
∵F是EC的中点，
∴CF＝EF，
∵BE＝AB，
∴BF是△EAC的中位线，
∴BFAC，
∵，
∴，
∴，
∴BD＝AC，
∴BFBD，
∴BD＝2BF＝12（cm）．
故答案为：12．
【点评】主要考查了三角形的中位线定理，同圆中等弧所对的弦相等，等弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，在同圆中，若∠AOC＝2∠BOD，则AC ＜ 2BD．（填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】＜．
【分析】以OD为边作∠DOE＝∠BOD，OE与⊙O交于点E，连接AC、BE、BD、ED，根据圆心角、弦的关系、三角形三边关系求解即可．
【解答】解：如图，以OD为边作∠DOE＝∠BOD，OE与⊙O交于点E，连接AC、BE、BD、ED，
则∠BOE＝2∠BOD，BD＝DE，
∵∠AOC＝2∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOE，
∴AC＝BE，
在△BDE中，BE＜BD+ED＝2BD，
∴AC＜2BD，
故答案为：＜．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，以点A为圆心画弧分别交AB，BA的延长线和AC于D，E，F，连接EF并延长交BC于G，EG⊥BC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）连接DF，判断DF与BC的位置关系，并说明理由．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）DF与BC的位置关系是DF∥BC，理由见解答过程．
【分析】（1）由EG⊥BC，设∠E+∠B＝90°，∠CFG+∠C＝90°，再由AE＝AF得∠E＝∠AFE＝∠CFG，据此可得∠B＝∠C，进而可得出结论；
（2）连接DF，依题意得：ED为半圆的直径，则∠EFD＝90°，即BF⊥EG，再根据EG⊥BC即可得出DF与BC的位置关系．
【解答】（1）证明：∵EG⊥BC，
∴∠E+∠B＝90°，∠CFG+∠C＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠E＝∠AFE，
又∵∠AFE＝∠CFG，
∴∠E＝∠CFG，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）解：DF与BC的位置关系是DF∥BC，理由如下：
连接DF，如图所示：
依题意得：ED为半圆的直径，∴∠EFD＝90°，
即BF⊥EG，
又∵EG⊥BC，
∴DF∥BC．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，平行线的判定，解决问题的关键是理解直径所对的圆周角是直角，有两个角相等的三角形是等腰三角形，垂直于同一条直线的两条直线平行．
12．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵AD＝CB，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能根据定理求出是解此题的关键．
13．如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AF，根据平行线的性质及在同圆中圆心角相等，则所对的弧相等求得结论．
【解答】证明：连接AF，
∵AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF．
∴∠GAE＝∠EAF．
∴．
【点评】本题利用了等边对等角，平行线的性质及在同圆中圆心角相等所对的弧相等等知识点的综合运用．
14．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结AB，CD，AC＝BD．设AC，BD交于点E．
（1）求证：AE＝DE．
（2）若100°，AB＝ED，求的度数．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）50°．
【分析】（1）根据AC＝BD求出，求出，求出AB＝DC，根据圆周角定理得出∠B＝∠C，∠A＝∠D，再根据全等三角形的判定定理推出△ABE≌△DCE即可；
（2）求出DE＝DC，求出∠DEC＝50°，根据三角形内角和定理求出∠D，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴，
∴（两边都减去），
∴AB＝DC，
由圆周角定理得：∠B＝∠C，∠A＝∠D，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（ASA），
∴AE＝DE；
（2）解：由（1）知：AB＝DC，
∵AB＝ED，
∴DE＝DC，
∵100°，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴∠D＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC＝80°，
∴的度数是2×80°＝160°，
∵AB＝DC，
∴，
∴的度数是（360°﹣100°﹣160°）＝50°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
15．如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
考点卡片
1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
2．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DEBC．
3．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
4．圆的认识
（1）圆的定义
定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
（2）与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．
5．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 18:02:52；用户：组卷5；邮箱：zyb005@xyh.cm；学号：41418968

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