2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之无理方程

这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之无理方程，共17页。试卷主要包含了若，则x+y的值为，下列方程中，有实数根的方程是，下列说法中，正确的个数有，下列方程有实数根的是，在下列方程中，有实数根的是，方程的解是，下列说法中，正确的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．若，则x+y的值为（ ）
A．9B．1C．9或1D．无法确定
2．下列方程中，在实数范围内有解的是（ ）
A．B．C．x3+1＝0D．x2﹣x+1＝0
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．2x4+1＝0B．x3+1＝0C．3＝0D．
4．下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）关于x的方程1＝0既是分式方程，又是无理方程；
（2）关于x的方程x2＝0是二项方程；
（3）关于x、y的方程x2﹣3xy﹣y2＝0是二元二次方程；
（4）关于x的方程x2﹣3xy+1＝0是无理方程．
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．下列方程有实数根的是（ ）
A．x4+1＝0B．x3+1＝0C．D．
6．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．B．C．x2+1＝0D．x3+1＝0
7．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．x2+2x+3＝0C．D．
8．方程的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x＝0 是二项方程
B． 是分式方程
C． 是无理方程
D． 是二元二次方程组
10．下列说法正确的是（ ）
A．1分式方程
B．x2+3y＝1是二元二次方程
C．x2x﹣1＝0是无理方程
D．x2+x＝0是二项方程
11．在下列方程中，有实数根的方程的个数有（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤x2﹣2x+4＝0；
⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共2小题）
12．方程•0的解为 ．
13．若2x+1＝0，那么x＝ ．
三．解答题（共2小题）
14．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x0，就可以利用该思维方式，设y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：
（1）解方程：x2+2x+45＝0；
（2）解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
15．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+45＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2，原方程可化为：t2+4t﹣5＝0．
（1）续解：
（2）用上面的思想方法解方程：3．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版八年级期中必刷常考题之无理方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．若，则x+y的值为（ ）
A．9B．1C．9或1D．无法确定
【考点】无理方程．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】设a，将原式化为一元二次方程求解即可解答．
【解答】解：设a，原方程可变为a2+2a＝3，变形为a2+2a﹣3＝0，解得a＝﹣3或a＝1，
又∵不能为负，
∴x+y＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了换元法．
2．下列方程中，在实数范围内有解的是（ ）
A．B．C．x3+1＝0D．x2﹣x+1＝0
【考点】无理方程；分式方程的解；根的判别式；高次方程．
【专题】方程思想．
【答案】C
【分析】分别求出每个方程的解，再检验即可得．
【解答】解：A．解此方程得x＝1，经检验x＝1是方程的增根，此方程无解，不符合题意；
B．由此方程得2，此方程无解，不符合题意；
C．由x3+1＝0得x3＝﹣1，解得x＝﹣1，符合题意；
D．方程x2﹣x+1＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，此方程无解；
故选：C．
【点评】本题主要考查无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
3．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．2x4+1＝0B．x3+1＝0C．3＝0D．
【考点】无理方程．
【答案】B
【分析】利用高次方程、无理方程及分式方程的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、整理得：x4，故次方程无解；
B、整理得x3＝﹣1，解得：x＝﹣1，符合题意；
C、整理得3，无解，不符合题意；
D、去分母后得x＝1，代入最简公分母x﹣1＝0，故次方程无实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了高次方程、无理方程及分式方程的定义的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．
4．下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）关于x的方程1＝0既是分式方程，又是无理方程；
（2）关于x的方程x2＝0是二项方程；
（3）关于x、y的方程x2﹣3xy﹣y2＝0是二元二次方程；
（4）关于x的方程x2﹣3xy+1＝0是无理方程．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】无理方程；分式方程的定义；分母有理化；高次方程．
【专题】方程与不等式；推理能力．
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义和无理方程的定义对（1）进行判断；根据一元二次方程、二元二次方程的定义对（2）（3）（4）进行判断．
【解答】解：关于x的方程1＝0不是分式方程，是无理方程，所以（1）错误；
关于x的方程x2＝0是二次方程，所以（2）错误；
关于x、y的方程x2﹣3xy﹣y2＝0是二元二次方程，所以（3）正确；
关于x的方程x2﹣3xy+1＝0是二元二次方程，所以（4）错误．
故选：B．
【点评】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．也考查了高次方程和分式方程的定义．
5．下列方程有实数根的是（ ）
A．x4+1＝0B．x3+1＝0C．D．
【考点】无理方程；分式方程的解；解分式方程；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】二次根式；分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】求出x4＝﹣1，再根据偶次方的非负性判断即可；求出x＝﹣1，再判断选项B即可；求出1，再根据算术平方根的非负性判断即可；去分母后求出x＝1，再进行检验，再判断选项D即可．
【解答】解：A．x4+1＝0，
x4＝﹣1，
不论为何值，x4不能为负，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B．x3+1＝0，
x3＝﹣1，
x＝﹣1，即此方程有实数根，故本选项符合题意；
C．1＝0，
1，
不论为何值，不能为负，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
D．，
去分母，得x＝1，
经检验x＝1不是方程的解，即方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解无理方程和解分式方程等知识点，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：解无理方程和解分式方程一定要进行检验．
6．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．B．C．x2+1＝0D．x3+1＝0
【考点】无理方程；分式方程的解；解分式方程；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据方程的知识、算术平方根的知识、平方的知识、立方根的知识分别对四个选项进行分析．
【解答】解：由分子为0而分母不为0可得分式为0可知A中x无解，不符合题意；
由可得：，根据算术平方根的非负性可知B中x无解，不符合题意；
由x2+1＝0可得x2＝﹣1，根据平方的非负性可知C中x无解，不符合题意；
由x3+1＝0可得x3＝﹣1，x＝﹣1，所以D中x有实数根，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程的知识、算术平方根的知识、平方的知识、立方根的知识．
7．在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．B．x2+2x+3＝0C．D．
【考点】无理方程；分式方程的解；解分式方程；解一元二次方程﹣配方法；根的判别式．
【专题】二次根式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】选项A：移项后根据算术平方根具有非负性判断即可；根据根的判别式即可判断选项B；方程两边平方后得出2x+3＝x2，求出方程的解，再进行检验即可判断选项C；方程两边都乘x﹣1求出x＝1，再进行检验即可判断选项D．
【解答】解：A．3＝0，
3，
∵算术平方根具有非负性，
∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；
B．x2+2x+3＝0，
Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
所以此方程无实数根，故本选项不符合题意；
C．x，
方程两边平方得：2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或﹣1，
经检验：x＝3是原方程的解，x＝﹣1不是原方程的解，
所以此方程有实数根，故本选项符合题意；
D．，
方程两边都乘x﹣1，得x＝1，
经检验x＝1是增根，
即此方程无实数根，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了解无理方程，根的判别式和解分式方程等知识点，能把无理方程转化成有理方程和能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
8．方程的解是（ ）
A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝7
【考点】无理方程．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】方程两边平方得出x﹣2＝4，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边平方得：x﹣2＝4，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的解，
故选：C．
【点评】本题考查了无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要检验．
9．下列说法中，正确的是（ ）
A．x2﹣4x＝0 是二项方程
B． 是分式方程
C． 是无理方程
D． 是二元二次方程组
【考点】无理方程；分式方程的定义；高次方程．
【专题】二次根式；一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元二次方程及应用；数感．
【答案】D
【分析】分别根据一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程的左边是二次二项式，不能说方程是二项方程，故本选项不符合题意；
B．方程是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；
C．方程是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；
D．方程组是二元二次方程组，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，能熟记定义是解此题的关键，①分母中含有未知数的方程叫分式方程，②根号内含有未知数的方程叫无理方程．
10．下列说法正确的是（ ）
A．1分式方程
B．x2+3y＝1是二元二次方程
C．x2x﹣1＝0是无理方程
D．x2+x＝0是二项方程
【考点】无理方程；高次方程．
【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义对A、B、C进行判断；根据二元二次方程的定义对B进行判断，
【解答】解：A、1为一元二次方程，所以A选项的说法错误；
B、x2+3y＝1为二元二次方程，所以B选项的说法正确；
C、x2x﹣1＝0是一元二次方程，所以C选项的说法错误；
D、x2+x＝0是一元二次方程，所以D选项的说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查了无理方程，解题的关键是掌握分式方程、二元二次方程及无理方程的概念．
11．在下列方程中，有实数根的方程的个数有（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤x2﹣2x+4＝0；
⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】无理方程；分式方程的解；解分式方程；解一元二次方程﹣配方法；根的判别式．
【专题】二次根式；分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】①移项后根据算术平方根的非负性判断即可；
②根据二次根式有意义的条件即可判断；
③把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可；
④根据二次根式的非负性求出x即可；
⑤方程两边都乘（x+1）（x﹣1）得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：①，
3，
∵不论x为何值，不能为﹣3，
∴此方程无实数根；
②，
要使有意义，必须x﹣4≥0且3﹣x≥0，
解得：x≥4且x≤3，
此时的x不存在，
即方程无实数根；
③，
两边平方得：x+1＝x2，
即x2﹣x﹣1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
所以x，
经检验x是原方程的解，x不是原方程的解，
即方程有实数根；
④，
2x﹣3≥0且3﹣2x≥0，
解得：x，即方程有实数根；
⑤x2﹣2x+4＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，
所以此方程无实数根；
⑥，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，即此方程无实数根；
综合上述，有实数根的方程有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了解无理方程，解分式方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把无理方程转化成有理方程，能把分式方程转化成转化成整式方程和熟记根的判别式内容是解此题的关键．
二．填空题（共2小题）
12．方程•0的解为 x＝5 ．
【考点】无理方程．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x＝5．
【分析】根据已知得出0或0，两边平方得出x﹣5＝0或x+3＝0，求出x的值，再进行检验即可．
【解答】解：∵0，
∴0或0，
∴x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x＝5或x＝﹣3，
经检验：x＝5是原方程的解，x＝﹣3不是原方程的解，
所以原方程的解是x＝5，
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
13．若2x+1＝0，那么x＝ 或1 ．
【考点】无理方程．
【专题】运算能力．
【答案】或1．
【分析】把方程变形，化为有理方程，求出x的值后再检验．
【解答】解：∵2x+1＝0，
∴（）2＝0，
∴（1）＝0，
∴0或10，
∴2x﹣1＝0或1＝2x﹣1，
解得x或x＝1，
经检验，x或x＝1都是原方程的解，
故答案为：或1．
【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是把方程变形，化为有理方程．
三．解答题（共2小题）
14．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x0，就可以利用该思维方式，设y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题：
（1）解方程：x2+2x+45＝0；
（2）解方程：（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0．
【考点】无理方程；解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1），；
（2）x1＝﹣2，x2＝3．
【分析】（1）设，则可把原方程转化为y2+4y﹣5＝0，再利用因式分解解方程，再把y的值代入，再解方程并检验即可；
（2）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0，利用因式分解的方法求解y，再代入y＝x2﹣x，再解方程即可．
【解答】解：（1）设，
则原方程转化为y2+4y﹣5＝0，
解得，y1＝1，y2＝﹣5，
∵，
∴y2＝﹣5不合题意，舍去，
∴x2+2x＝1，即x2+2x﹣1＝0，
解得，，．
（2）设y＝x2﹣x，
原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0，
因式分解为：（y﹣6）（y+2）＝0．
∴y＝6或y＝﹣2，
∴x2﹣x＝6或x2﹣x＝﹣2，
对于方程x2﹣x＝6，解得x1＝﹣2，x2＝3，
对于方程x2﹣x＝﹣2，∵Δ＝﹣7＜0，
∴此方程无解，
∴原方程的解为：x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查的是利用换元法解方程，一元二次方程的解法，熟练的进行换元是解本题的关键．
15．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+45＝0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2，原方程可化为：t2+4t﹣5＝0．
（1）续解：
（2）用上面的思想方法解方程：3．
【考点】无理方程；换元法解分式方程．
【专题】转化思想；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）解一元二次方程后可得1，再求解方程即可；
（2）设t，则原方程化为t2﹣3t+2＝0，解得t＝2或t＝1，当t＝1时，1，解得x＝2或x＝﹣1，当t＝2时，2，解得x＝1或x＝1，并对每个根进行检验即可求解．
【解答】解：（1）解：设t（t≥0），则有x2+2x＝t2，
∴原方程可化为：t2+4t﹣5＝0，
解得t＝﹣5（舍）或t＝1，
∴1，
∴x2+2x﹣1＝0，
解得x1或x1；
（2）设t，
∴原方程化为t3，
∴t2﹣3t+2＝0，
解得t＝2或t＝1，
当t＝1时，1，解得x＝2或x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1或x＝2是方程的解；
当t＝2时，2，解得x＝1或x＝1，
经检验，x＝1或x＝1是方程的解；
综上所述：方程的解为x＝2或x＝﹣1或x＝1或x＝1．
【点评】本题考查无理方程的解法，熟练掌握换元法解无理方程的方法，注意对所求的根进行检验是解题的关键．
考点卡片
1．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
2．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
3．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
4．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
5．换元法解一元二次方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
6．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
7．高次方程
（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．
8．无理方程
（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程． （3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程． 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等． （4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
9．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
10．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
11．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
12．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
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