2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之实数的运算

这是一份2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之实数的运算，共14页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列运算一定正确的是，下列计算中，正确的是，计算，用四舍五入法取近似数等内容，欢迎下载使用。
1．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.051（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位）
D．0.0505（精确到0.0001）
2．一个数a精确到十分位的结果是3.6，那么这个数a的范围满足（ ）
A．3.55≤a≤3.65B．3.55＜a≤3.65
C．3.55＜a＜3.65D．3.55≤a＜3.65
3．下列说法正确的是（ ）
A．是最小的正无理数
B．绝对值最小的实数不存在
C．两个无理数的和不一定是无理数
D．有理数与数轴上的点一一对应
4．下列运算一定正确的是（ ）
A．±7B．（）2＝7C．7D．7
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．0
二．填空题（共7小题）
6．计算： ．
7．计算： ．
8．用四舍五入法取近似数：0.751≈ （精确到0.1）．
9．用四舍五入法将3.1415926精确到百分位的近似值为 ．
10．对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，则m＝ ．
11．根据最新数据显示，今年高考报名人数共计一千一百九十三万零六百零三，横线上的数写作 ，改写成用“万”做单位的数保留一位小数是 ．
12．已知x，y为有理数，且满足，则x2023﹣y2023＝ ．
三．解答题（共3小题）
13．计算：
（1）（﹣1）2023|﹣5|；
（2）（）31．
14．计算：
（1）（π﹣3.14）0；
（2）．
15．在实数范围内定义运算“※”：a※b＝ab﹣ab，例如：3※2＝3×2﹣32＝4．
（1）若a＝5，b＝﹣4，计算a※b的值．
（2）若（﹣2）※x＝1，求x的值．
（3）若a﹣b＝2022，求a※b﹣b※a的值．
2023—2024学年下学期初中数学沪教新版七年级期中必刷常考题之实数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.051（精确到千分位）
C．0.05（精确到百分位）
D．0.0505（精确到0.0001）
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．
【解答】解：A．0.05049≈0.1（精确到0.1），所以A选项不符合题意；
B．0.05049≈0.050（精确到千分位），所以B选项符合题意；
C．0.05049≈0.05（精确到百分位），所以C选项不符合题意；
D．0.05049≈0.0505（精确到0.0001），所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
2．一个数a精确到十分位的结果是3.6，那么这个数a的范围满足（ ）
A．3.55≤a≤3.65B．3.55＜a≤3.65
C．3.55＜a＜3.65D．3.55≤a＜3.65
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】利用近似数的精确度，一个数a精确到十分位的结果是3.6，则这个数最小为3.55，最大小于3.65．
【解答】解：根据题意，这个数a的范围满足3.55≤a＜3.65．
故选：D．
【点评】本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．
3．下列说法正确的是（ ）
A．是最小的正无理数
B．绝对值最小的实数不存在
C．两个无理数的和不一定是无理数
D．有理数与数轴上的点一一对应
【考点】实数的运算；实数与数轴．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】利用正无理数，绝对值，以及数轴的性质判断即可．
【解答】解：A、不存在最小的正无理数，不符合题意；
B、绝对值最小的实数是0，不符合题意；
C、两个无理数的和不一定是无理数，例如：π+（﹣π）＝0，符合题意；
D、实数与数轴上的点一一对应，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，实数与数轴，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
4．下列运算一定正确的是（ ）
A．±7B．（）2＝7C．7D．7
【考点】实数的运算；立方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平方根、立方根的定义判断即可．
【解答】解：A．7，此选项错误，不符合题意；
B．（）2＝7，此选项正确，符合题意；
C．7，此选项错误，不符合题意；
D．7，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根、立方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考基础题．
5．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．0
【考点】实数的运算；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据实数的运算逐项计算即可得到答案．
【解答】解：A．3，故A不符合题意；
B．3，故B不符合题意；
C．2，故C不符合题意；
D．0，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的运算，掌握算术平方根，立方根的意义是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
6．计算： 2 ．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式第一项利用立方根的定义化简，第二项利用二次根式的化简公式化简，即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2+4
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了实数的运算，涉及的知识有：立方根定义，以及二次根式的化简公式，熟练掌握定义及公式是解本题的关键．
7．计算： ．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】运算能力．
【答案】．
【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
8．用四舍五入法取近似数：0.751≈ 0.8 （精确到0.1）．
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数．
【答案】0.8．
【分析】将百分位的5，四舍五入到十分位即可求解．
【解答】解：0.751≈0.8，
故答案为：0.8．
【点评】此题主要考查近似数的求解，解题的关键是熟知四舍五入的方法．
9．用四舍五入法将3.1415926精确到百分位的近似值为 3.14 ．
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】把千分位上的数字1进行四舍五入得到精确到百分位的近似值即可．
【解答】解：3.1415926精确到百分位的近似值是3.14，
故答案为：3.14．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
10．对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，则m＝ 4或﹣3 ．
【考点】实数的运算；完全平方公式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案．
【解答】解：∵a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．
∴（m+2）*（m﹣3）＝24，
∴（m+2+m﹣3）2﹣（m+2﹣m+3）2＝24，
则（2m﹣1）2﹣25＝24，
则2m﹣1＝±7，
解得：m1＝4，m2＝﹣3．
故答案为：4或﹣3．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确解方程是解题关键．
11．根据最新数据显示，今年高考报名人数共计一千一百九十三万零六百零三，横线上的数写作 11930603 ，改写成用“万”做单位的数保留一位小数是 1193.1万 ．
【考点】近似数和有效数字．
【专题】实数；数感．
【答案】11930603 1193.1万．
【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字，再四舍五入，据此解答．
【解答】解：一千一百九十三万零六百零三写作：11930603
11930603≈1193.1万
故答案为：11930603，1193.1万．
【点评】本题主要考查整数的写法和改写及求近似数，解决本题的关键是熟练掌握近似数．
12．已知x，y为有理数，且满足，则x2023﹣y2023＝ ﹣2 ．
【考点】实数的运算；非负数的性质：算术平方根．
【专题】运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】直接利用绝对值的性质以及算术平方根的定义得出1+x＝0，1﹣y＝0，进而求出答案．
【解答】解：根据题意可得：
1+x＝0，1﹣y＝0，
解得：x＝﹣1，y＝1，
把x＝﹣1，y＝1代入x2023﹣y2023＝﹣1﹣1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了绝对值以及算术平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．
三．解答题（共3小题）
13．计算：
（1）（﹣1）2023|﹣5|；
（2）（）31．
【考点】实数的运算；绝对值；有理数的乘方；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）0.875．
【分析】（1）利用有理数的乘方，算术平方根，绝对值的性质，立方根的定义进行计算即可；
（2）利用算术平方根的定义，算术平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+3﹣5﹣（﹣3）
＝﹣1+3﹣5+3
＝0；
（2）原式0.1251
＝﹣0.5﹣0.125+2.5﹣1
＝0.875．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
14．计算：
（1）（π﹣3.14）0；
（2）．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）6﹣3．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用平方差公式、二次根式的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝23﹣1
＝4；
（2）原式＝12﹣6﹣4
＝12﹣6
＝12﹣6﹣3
＝6﹣3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．在实数范围内定义运算“※”：a※b＝ab﹣ab，例如：3※2＝3×2﹣32＝4．
（1）若a＝5，b＝﹣4，计算a※b的值．
（2）若（﹣2）※x＝1，求x的值．
（3）若a﹣b＝2022，求a※b﹣b※a的值．
【考点】实数的运算；解一元一次方程．
【专题】新定义；整体思想；实数；整式；运算能力．
【答案】（1）﹣27；（2）x；（3）﹣3033．
【分析】（1）利用新定义的规定列式运算即可；
（2）利用新定义的规定得到一元一次方程，解方程即可得出结论；
（3）利用新定义的规定化简后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）原式＝5×（﹣4）﹣5（﹣4）
＝﹣20﹣5﹣2
＝﹣27；
（2）∵（﹣2）※x＝1，
∴，
解得：；
（3）原式＝ab﹣ab﹣（ab﹣ba）
＝ab﹣ab﹣ab+ba
（a﹣b），
当a﹣b＝2022时，
上式2022
＝﹣3033．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，解一元一次方程，本题是新定义型，正确理解并熟练运用新定义的规定是解题的关键．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．有理数的乘方
（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
（3）方法指引：
①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；
②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．
3．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
4．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
5．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
6．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
7．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
8．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
9．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
10．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
11．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
12．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．
（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．
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