2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之二次根式的加减

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之二次根式的加减，共16页。试卷主要包含了下列计算中，结果错误的是，下列计算正确的是，化简，已知，，则　 　等内容，欢迎下载使用。

1．下列计算中，结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．C．4D．6
3．下列计算正确的是（ ）
A．2B．2C．2D．22
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．2D．
5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
二．填空题（共5小题）
6．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ ．
7．化简： ．
8．若与最简二次根式可以合并，则m＝ ．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为 ．
10．已知，，则 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知，，求下列各式的值．
（1）a+b和ab；
（2）a2+ab+b2．
12．计算：
（1）；
（2）．
13．计算：
（1）；
（2）．
14．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求y的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y
当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较34和2的大小；
（2）求y的最大值和最小值．
15．新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴ ．
根据海伦公式可得： ．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之二次根式的加减
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列计算中，结果错误的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、523，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．C．4D．6
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：（2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2B．2C．2D．22
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的加减法对A、D进行判断；利用二次根式的性质对B、C进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项正确；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、2与不能合并，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．2D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；数感．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：A、与是同类二次根式，故符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、2与不是同类二次根式，故不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答．
5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．4D．6
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积＝大矩形面积﹣正方形面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为3，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为（3）＝4．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题）
6．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝ 7 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，
解得：m＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
7．化简： 2 ．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵4＜5，
∴2，
∴原式2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
8．若与最简二次根式可以合并，则m＝ 2 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质得出2，根据同类二次根式的定义得出m+1＝3，再求出m即可．
【解答】解：2，
∵与最简二次根式可以合并，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1＝3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为 ﹣a﹣b ．
【考点】二次根式的加减法；实数与数轴；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣a﹣b．
【分析】根据绝对值、二次根式的性质即可得答案．
【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴


＝﹣a﹣b．
故答案为：﹣a﹣b．
【点评】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质，能正确根据数轴得出和和化简绝对值是解此题的关键．
10．已知，，则 10 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x1、x2的值代入，再根据完全平方公式计算可得．
【解答】解：当，时，
原式＝（）2+（）2
＝5﹣25+2
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
三．解答题（共5小题）
11．已知，，求下列各式的值．
（1）a+b和ab；
（2）a2+ab+b2．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；2；（2）18．
【分析】（1）直接进行二次根式的加法和乘法运算即可；
（2）先利用完全平方公式将a2+ab+b2进行变形，再代入数值计算即可．
【解答】解：（1）a+b2；
ab＝（）（）
＝（）2﹣（）2
＝5﹣3
＝2；
（2）a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（2）2﹣2
＝20﹣2
＝18．
【点评】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式的变形，掌握二次根式的加法和乘法运算法则，完全平方公式的变形是解题的关键．
12．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）12；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）


＝12；
（2）


．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
13．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】（1）；
（2）1．
【分析】（1）先根据实数的乘除法则进行计算，再进行实数的加减即可；
（2）先利用完全平方公式计算，然利用平方差计算即可．
【解答】解：（1）


；
（2）



＝25﹣24
＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，各种运算律的灵活应用是解决此题的关键；
14．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求y的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y
当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较34和2的大小；
（2）求y的最大值和最小值．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；二次根式的定义；分母有理化．
【专题】二次根式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用分子有理化得到34，2，然后比较34和2的大小即可得到34与2的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y，利用当x＝0时，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值1，有最下值0得到y的最小值．
【解答】解：（1）34，
2，
而32，4，
∴34＞2，
∴34＜2；
（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，
y，
当x＝0时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；
当x＝1时，有最大值，则有最小值1，此时有最下值0，所以y的最小值为1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴ 9 ．
根据海伦公式可得： ．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）9，；
（2）．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求解；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
【解答】解：（1），
，
故答案为：9，．
（2）∵，，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7，
∴




．
【点评】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
考点卡片
1．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
2．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
3．二次根式的定义
二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”称为二次根号
②a（a≥0）是一个非负数；
学习要求：
理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
4．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①0； a≥0（双重非负性）．
②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
③|a|（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
•（a≥0，b≥0）（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
5．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
6．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①；②．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：的有理化因式可以是，也可以是a（），这里的a可以是任意有理数．
7．同类二次根式
同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
8．二次根式的加减法
（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
9．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
11．二次根式的应用
把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．
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