2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之勾股定理

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之勾股定理，共22页。试卷主要包含了如图等内容，欢迎下载使用。

1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
3．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15B．25C．50D．无法计算
4．如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（ ）
A．166B．186C．196D．256
二．填空题（共5小题）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 ．
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 ．
9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是 ．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝ 秒．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形；
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若EF＝2，求CF的长．
13．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
14．如图，已知∠AOB＝90°，线段OA＝18m，OB＝6m，C为线段OA上一点，且BC＝AC，求：线段BC的长．
15． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版八年级期中必刷常考题之勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16B．25C．144D．169
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
【考点】勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】由勾股定理求出AB长，由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长，由线段中点定义求出BE长，即可得到DE＝BE﹣BD＝0.7．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB5，
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积BC•CAAB•CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4，
∴BD1.8，
∵E是AB的中点，
∴BEAB＝2.5，
∴DE＝BE﹣BD＝0.7．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长．
3．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（ ）
A．15B．25C．50D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质可得AB2+AC2＝BC2＝25，即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2＝25，
∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键．
4．如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【答案】D
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BDBC＝5，
∴AD12，
又∵DE⊥AB，
∴BD•ADAB•ED，
∴ED，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
5．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（ ）
A．166B．186C．196D．256
【考点】勾股定理；平行线的性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义、平角的定义得到∠ECF＝90°，根据平行线的性质、等腰三角形的判定分别求出EM、FM，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE∠ACB，∠ACF＝∠DCF∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACD）＝90°，即∠ECF＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠MEC＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠MEC，
∴EM＝CM＝7，
同理可得：FM＝CM＝7，
∴EF＝14，
∴CE2+CF2＝EF2＝142＝196，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二．填空题（共5小题）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 13 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边长13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 14或4 ．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 2π ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】2π．
【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．
【解答】解：由题意，得，，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
故答案为：2π．
【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是 ．
【考点】勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】连接AN，则AN＝AB＝4，在Rt△ACN中，利用勾股定理求出CN即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AN，
由题意知：AN＝AB＝4，
在Rt△ACN中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，求出CN的长是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝ 5或或4 秒．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】5或或4．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，
由勾股定理得：，
当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴，
∴t＝10÷2＝5；
当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝24，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：，
∴；
当BF＝AB＝20时，
∵BF＝20，BC＝12，
∴CF＝BF﹣BC＝8，
由勾股定理得：，
∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF＝AC＝16，
∴，
∴t＝8÷2＝4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或或4，
故答案为：5或或4．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形；
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【分析】（1）根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立；
（2）根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°，
∵∠BME＝∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD＝90°，
∴∠CDB＝∠CMD，
∴CM＝CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解：作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB＝90°，BD平分∠ABC，
∴DC＝DF，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC6，
∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD＝DF＝3，
由（1）知：CM＝CD，
∴CM＝3，
即CM的长度为3．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若EF＝2，求CF的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）见解析；（2）4．
【分析】（1）由∠BAC＝90°，∠C＝30°可得∠ABC＝60°，根据BF平分∠ABC得∠CBF＝∠ABF＝30°，根据∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，得∠AFE＝∠AEF＝60°，即可得△AEF是等边三角形；
（2）可得∠BAE＝∠ABF＝30°，则AE＝BE，由（1）知△AEF是等边三角形，得AE＝EF，由此可得CF的长．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∴BF＝CF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，
∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，
∴∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）解：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABF＝30°，
∴AE＝BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝2，
∴BE＝EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
由（1）知，CF＝BF＝4．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
【考点】勾股定理的应用；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】E站应建在离A站10km处．
【分析】根据土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
答：E站应建在离A站10km处．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2得出是解决问题的关键．
14．如图，已知∠AOB＝90°，线段OA＝18m，OB＝6m，C为线段OA上一点，且BC＝AC，求：线段BC的长．
【考点】勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】BC＝10m．
【分析】设BC＝x m，可得OC＝（18﹣x）m，在Rt△OBC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：设BC＝x m，
∵BC＝AC，
∴OC＝OA﹣CA＝OA﹣BC＝（18﹣x）m，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即62+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BC＝10m．
【点评】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
15． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）25．
【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；
（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；
（3）根据小正方形的为1得出2ab＝12，再结合c2＝13即可求解．
【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4，
整理得，c2＝a2+b2；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵，
∴CD；
（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
即（a+b）2的值为25．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．
考点卡片
1．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
2．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
7．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
8．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
9．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
10．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
11．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
12．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
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