四川省成都市第四十九中学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 下列叙述正确的是（ ）
A. 数列是递增数列
B. 数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
C. 数列0，0，0，1，…常数列
D. 数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
2. 已知数列，则是这个数列的（ ）
A 第20项B. 第21项
C. 第22项D. 第23项
3. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 4B. 8C. 10D. 12
4. 椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的左焦点和中心分别是，已知是，的等比中项，则此椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
6. 数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C D.
7. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ）
A. 20B. 24C. 36D. 40
8. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A. 第6天B. 第7天C. 第8天D. 第9天
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知是等差数列前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 可能是等差数列B. 一定是等差数列
C. 一定是等比数列D. 不一定是等差数列
10. 已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在圆内
B. 圆上的点到直线的最小距离为1
C. 圆和圆的公切线长为2
D. 圆和圆的公共弦所在的直线方程为
11. 已知数列满足，则（ ）
A. 为等比数列
B. 为递增数列
C. 数列的前100项和为
D. 数列的前8项和为10000
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 样本数据13，12，6，7，14，7，10，13的分位数为________．
13. 学数学人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃.欲将轻骑逐，大雪满弓刀.”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情.这首诗历代传诵，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归.月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想（，1，2，…）是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设（，2，…），，则数列的前n项和________．
14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，将这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次“扩展”得到数列1，4，4；第二次“扩展”，得到数列1，4，4，16，4；……；第n次“扩展”，得到数列1，，，…，，4，并记，其中，．则数列的通项公式______．
四、解答题（本题共5小题）
15. 有一辆公交车，依次设了A，B，C，D，E，F，G共7个站，甲乙二人都从A站上车，假设他们从后面每个站下车是等可能的.
（1）求这两个人在不同站点下车的概率；
（2）求这两个人都没有坐到终点站的概率.
16. 已知数列的前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17. 如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
18. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设，定义，且记，求数列的前n项和．
19. 已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．