2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图形的相似

这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图形的相似，共14页。试卷主要包含了下列各组线段中是成比例线段的是，下列各组图形中，不相似的是，下列结论不正确的是，生活中到处可见黄金分割的美等内容，欢迎下载使用。

1．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cmD．1cm，2cm，2cm，3cm
3．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cmB．2（1）cmC．4（1）cmD．6（1）cm
4．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正五边形都相似
二．填空题（共5小题）
6．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 ．
7．若，则 ．
8．已知线段b是线段a，c的比例中项，a＝4cm，b＝6cm，那么c＝ cm．
9．已知（b﹣d≠0），则 ．
10．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为4米，则a约为 米．（结果精确到一位小数）
三．解答题（共5小题）
11．如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
12．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
13．已知2，且b+d+f≠0．
（1）求的值；
（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．
14．已知：线段a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）如果线段a，b，c，满足a+b+c＝36，求a，b，c的值．
15．古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC•AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”．
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长为20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取1.4，1.7，2.2）
2023—2024学年下学期初中数学人教新版九年级期中必刷常考题之图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是（ ）
A．B．C．D．
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】由黄金分割知：，由此可求得AB的长．
【解答】解：∵P为AB的黄金分割点，
∴，
即．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．
2．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．1cm，2cm，2cm，4cm
C．3cm，5cm，9cm，13cmD．1cm，2cm，2cm，3cm
【考点】比例线段．
【答案】B
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
【解答】解：∵1×4≠2×3，
∴选项A不成比例；
∵1×4＝2×2，
∴选项B成比例；
∵3×13≠5×9，
∴选项C不成比例；
∵3×1≠2×2，
∴选项D不成比例
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（ ）
A．cmB．2（1）cmC．4（1）cmD．6（1）cm
【考点】黄金分割．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割点的概念得：ACAB＝4（1）cm．
故选：C．
【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．
4．下列各组图形中，不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】相似图形．
【答案】C
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，以选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意；
C、形状不同，不符合相似定义，故此选项符合题意；
D、形状相同，但大小不同，符合相似定义，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
5．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的正方形都相似
B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的正五边形都相似
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
【解答】解：A．所有的正方形都相似，正确，故此选项不符合题意；
B．所有的菱形不一定相似，故此选项符合题意；
C．所有的等腰直角三角形都相似，正确，故此选项不符合题意；
D．所有的正五边形都相似，正确，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
二．填空题（共5小题）
6．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，则∠D′的度数为 48° ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】48°．
【分析】利用相似多边形的性质以及四边形的内角和定理求解．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′＝102°，
∴∠D′＝360′﹣102°﹣90°﹣120°＝48°．
故答案为：48°．
【点评】本题考查相似多边形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是掌握相似多边形的性质．
7．若，则 ．
【考点】比例的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用比例的性质得出ab，进而代入求出答案．
【解答】解：∵，
∴ab，
则．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数代替另一个未知数是解题关键．
8．已知线段b是线段a，c的比例中项，a＝4cm，b＝6cm，那么c＝ 9 cm．
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例中项的定义得到b2＝ac，然后把a、b的值代入计算即可．
【解答】解：根据题意得b2＝ac，
即62＝4c，
解得c＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了比例线段：正确理解比例中项的定义是解决问题的关键．
9．已知（b﹣d≠0），则 ．
【考点】比例线段；比例的性质．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据比例的性质得ab，cd，再代入所求的式子计算即可．
【解答】解：∵，
∴ab，cd，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．
10．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为4米，则a约为 2.5 米．（结果精确到一位小数）
【考点】黄金分割；近似数和有效数字．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2.5．
【分析】由题意得0.618，即可得出答案．
【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，
∴0.618，
∴a＝0.618b＝0.618×4≈2.5（米），
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，其中AC＝0.618AB．
三．解答题（共5小题）
11．如果，且3a﹣2b+c＝12，求a﹣b+c的值．
【考点】比例的性质．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】令k，从而表示出a，b，c．再代入3a﹣2b+c＝12，即可求出k的值，于是可以解决问题．
【解答】解：令k，
∴a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵3a﹣2b+c＝12，
∴9k﹣8k+5k＝12，
∴k＝2，
∴a＝3k＝6，b＝4k＝8，c＝5k＝10，
∴a﹣b+c＝6﹣8+10＝8．
【点评】本题考查比例的有关知识，设k，是解题的关键．
12．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高？
【考点】黄金分割．
【答案】见试题解答内容
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：设雕像的下部高为x m，则题意得：
，
整理得：x2+2x﹣4＝0，
解得x11，x21（舍去），
经检验x1是原方程的解，
答：雕像的下部高为1 m．
【点评】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
13．已知2，且b+d+f≠0．
（1）求的值；
（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）的值为2；
（2）a﹣2c+3e的值为10．
【分析】（1）利用等比性质，进行计算即可解答；
（2）利用等比性质，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵2，且b+d+f≠0，
∴2，
∴的值为2；
（2）∵2，
∴2，
∴2，
∵b﹣2d+3f＝5，
∴a﹣2c+3e＝2×5＝10，
∴a﹣2c+3e的值为10．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．
14．已知：线段a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）如果线段a，b，c，满足a+b+c＝36，求a，b，c的值．
【考点】比例线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）；
（2）a＝9，b＝12，c＝15．
【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；
（2）首先设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，利用a+b+c＝36求出k的值即可得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）设，
则a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a+b+c＝36，
∴3k+4k+5k＝36，
∴k＝3，
∴a＝9，b＝12，c＝15．
【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．
15．古希腊的毕达哥拉斯，在2500年前曾经大胆断言，一条线段（AB）的某一短线段（比如AC）与另一长线段（比如BC）之比，如果正好等于另一长线段（比如BC）同整个线段（AB）的比（即BC2＝AC•AB），那么这样的比例会给人一种美感，后来我们将分割这条线段（AB）的点C称为线段AB的“黄金分割点”．
在主持节目时，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，那么在长为20米的舞台AB上，主持人从A点到B点走多少米，他的站台最得体？（取1.4，1.7，2.2）
【考点】黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】8米或12米．
【分析】首先设主持人从A点到B点走x米的C点时最为得体，则AC＝x米，BC＝AB﹣AC＝（20﹣x）米，依题意得点C为线段AB的黄金分割点，此时有以下两种情况：①当BC2＝AC•AB时，则（20﹣x）2＝20x，由此解出x即可；②当AC2＝BC•AB时，则x2＝20（20﹣x），由此解出x即可．综上所述即可得出答案．
【解答】解：设主持人从A点到B点走x米的C点时，最为得体．
则AC＝x米，BC＝AB﹣AC＝（20﹣x）米，
依题意得：点C为线段AB的黄金分割点，
∴有以下两种情况：
①当BC2＝AC•AB时，
∴（20﹣x）2＝20x，
整理得：x2﹣60x+400＝0，
解得x1＝30﹣10，x2＝30+10（不合题意，舍去），
当2.2时，x＝30﹣1030﹣10×2.2＝8，
∴此时主持人从A点到B点走8米，最为得体．
②当AC2＝BC•AB时，
∴x2＝20（20﹣x），
整理得：x2+20x﹣400＝0，
解得x1＝1010，x2＝10+10（不合题意，舍去），
当2.2时，x＝10+1010×2.2﹣10＝12，
∴此时主持人从A点到B点走12米，最为得体．
综上所述，主持人从A点到B点走8m或12m时他的站台最得体，
答：主持人从A点到B点走8米或12米时他的站台最得体．
【点评】此题主要考查了黄金分割的实际应用，理解题意，熟练掌握黄金分割的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
考点卡片
1．近似数和有效数字
（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
（3）规律方法总结：
“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
2．比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若，则ad＝bc．
②合比性质．若，则．
③分比性质．若，则．
④合分比性质．若，则．
⑤等比性质．若（b+d+…+n≠0），则．
3．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
4．黄金分割
（1）黄金分割的定义：
如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．
黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．
（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为．
5．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
6．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 15:55:28；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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