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2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之平方根
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这是一份2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之平方根，共12页。试卷主要包含了4的算术平方根是，下列说法正确的是，81的算术平方根为，49的平方根是，若，则ab的值为，化简，有一个数值转换器，原理如图，的算术平方根是 等内容，欢迎下载使用。
1．4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．﹣10是100的一个平方根
D．﹣1的平方根是﹣1
3．81的算术平方根为（ ）
A．±3B．3C．±9D．9
4．49的平方根是（ ）
A．±7B．7C．±D．
5．若，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
二．填空题（共5小题）
6．化简： ．
7．有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
8．的算术平方根是 ．
9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 ．
10．已知，则 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．
12．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
13．某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
14．在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
15．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝64．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之平方根
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
【考点】算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．﹣10是100的一个平方根
D．﹣1的平方根是﹣1
【考点】平方根．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】直接利用平方根的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的性质是解题关键．
3．81的算术平方根为（ ）
A．±3B．3C．±9D．9
【考点】算术平方根．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵92＝81，
∴81的算术平方根为9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
4．49的平方根是（ ）
A．±7B．7C．±D．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：49的平方根是±7．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键．
5．若，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先运用非负数的性质求得a，b的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
2a﹣4＝0，b+1＝0，
解得a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝2×（﹣1）＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行运算．
二．填空题（共5小题）
6．化简： 4 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
7．有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】．
【分析】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算即可．
【解答】解：第1次计算得，4，而4是有理数，
因此第2次计算得，2，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
8．的算术平方根是 3 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：∵9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 4 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，
解得：m＝1，
∴2m﹣4＝﹣2
所以这个数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
10．已知，则 0.15 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0.15．
【分析】根据“被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位”即可解答．
【解答】解：被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位，
观察可知，被开方数22500的小数点向左移动6位变成0.0225，所以算术平方根的小数点向左移动三位，
∴，
故答案为：0.15
【点评】本题考查了算术平方根，仔细观察和分析是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4s．
【分析】将h＝78.4m代入关系式，利用算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：由题意可得4.9t2＝78.4，
即t2＝16，
∵t＞0，
∴t＝4，
即它到达地面需要的时间为4s．
【点评】本题考查算术平方根的应用，结合已知条件得出t2＝16是解题的关键．
12．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】几何图形问题；实数；运算能力．
【答案】（1）80m．
（2）这些铁栅栏够用．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m），
∵80＝16×5＝1616，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【点评】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
13．某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
【考点】算术平方根．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽；
（2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据题意，
得：5x•2x＝800，
解得：x＝4或x＝﹣4（舍），
∴长＝45＝20，宽＝42＝8，
答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20米、8米；
（2）设正方形边长为y，则y2＝900，
解得：y＝30或y＝﹣30（舍），
原正方形周长为120米，
新长方形的周长为（208）×2＝56，
∵120＜56，
∴栅栏不够用，
答：这些金属栅栏不够用．
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
14．在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】方程思想；实数；运算能力．
【答案】（1）长方形的长为15cm，宽为5cm；（2）她的说法正确，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）设正方形的边长为y，根据题意可得，y2＝75，利用平方根的含义先解方程，再比较与3的大小即可．
【解答】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，
∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为y cm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，
∴，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：，
∵，
即，
∴，
所以她的说法正确．
【点评】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确地列出方程或代数式是解本题的关键．
15．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝64．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x＝±5；
（2）x＝9或x＝﹣7．
【分析】运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）移项，得x2＝25，
开平方，得x＝±5；
（2）开平方，得x﹣1＝±8，
解得x＝9或x＝﹣7．
【点评】此题考查了运用平方根解方程的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 14:57:08；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967
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1．4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．﹣10是100的一个平方根
D．﹣1的平方根是﹣1
3．81的算术平方根为（ ）
A．±3B．3C．±9D．9
4．49的平方根是（ ）
A．±7B．7C．±D．
5．若，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
二．填空题（共5小题）
6．化简： ．
7．有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
8．的算术平方根是 ．
9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 ．
10．已知，则 ．
三．解答题（共5小题）
11．已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．
12．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
13．某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
14．在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
15．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝64．
2023—2024学年下学期初中数学人教新版七年级期中必刷常考题之平方根
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．4的算术平方根是（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．
【考点】算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．﹣10是100的一个平方根
D．﹣1的平方根是﹣1
【考点】平方根．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】直接利用平方根的性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、正数的平方根是它本身，错误；
B、100的平方根是10，错误，应为±10；
C、﹣10是100的一个平方根，正确；
D、﹣1没有平方根，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的性质是解题关键．
3．81的算术平方根为（ ）
A．±3B．3C．±9D．9
【考点】算术平方根．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵92＝81，
∴81的算术平方根为9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
4．49的平方根是（ ）
A．±7B．7C．±D．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：49的平方根是±7．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键．
5．若，则ab的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】先运用非负数的性质求得a，b的值，再代入求解．
【解答】解：由题意得，
2a﹣4＝0，b+1＝0，
解得a＝2，b＝﹣1，
∴ab＝2×（﹣1）＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行运算．
二．填空题（共5小题）
6．化简： 4 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：4，
故答案为：4．
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
7．有一个数值转换器，原理如图．当输入的x＝16时，输出的y等于 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】．
【分析】根据数值转换器，输入x＝16，进行计算即可．
【解答】解：第1次计算得，4，而4是有理数，
因此第2次计算得，2，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
故答案为：．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
8．的算术平方根是 3 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．
【解答】解：∵9，
∴的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
9．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是 4 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，
解得：m＝1，
∴2m﹣4＝﹣2
所以这个数是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．
10．已知，则 0.15 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0.15．
【分析】根据“被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位”即可解答．
【解答】解：被开方数的小数点向左移动两位，则算术平方根的小数点向左移动一位，
观察可知，被开方数22500的小数点向左移动6位变成0.0225，所以算术平方根的小数点向左移动三位，
∴，
故答案为：0.15
【点评】本题考查了算术平方根，仔细观察和分析是解答本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．已知自由下落物体的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系式是h＝4.9t2，现有一物体从78.4m的高楼自由落下，求它到达地面需要的时间．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】4s．
【分析】将h＝78.4m代入关系式，利用算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：由题意可得4.9t2＝78.4，
即t2＝16，
∵t＞0，
∴t＝4，
即它到达地面需要的时间为4s．
【点评】本题考查算术平方根的应用，结合已知条件得出t2＝16是解题的关键．
12．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】几何图形问题；实数；运算能力．
【答案】（1）80m．
（2）这些铁栅栏够用．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3a m，则长为5a m．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16（m），
∵80＝16×5＝1616，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
【点评】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
13．某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：2．
（1）求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？
（2）如果把原来面积为900平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
【考点】算术平方根．
【专题】应用题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据长方形面积列出方程求出x的值，进而可知长方形长与宽；
（2）由（1）中长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：设长方形围场长为5x米，则其宽为2x米，根据题意，
得：5x•2x＝800，
解得：x＝4或x＝﹣4（舍），
∴长＝45＝20，宽＝42＝8，
答：改建后的长方形场地的长和宽分别为20米、8米；
（2）设正方形边长为y，则y2＝900，
解得：y＝30或y＝﹣30（舍），
原正方形周长为120米，
新长方形的周长为（208）×2＝56，
∵120＜56，
∴栅栏不够用，
答：这些金属栅栏不够用．
【点评】本题主要考查一元二次方程的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长是解题的关键．
14．在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
【考点】算术平方根．
【专题】方程思想；实数；运算能力．
【答案】（1）长方形的长为15cm，宽为5cm；（2）她的说法正确，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）设正方形的边长为y，根据题意可得，y2＝75，利用平方根的含义先解方程，再比较与3的大小即可．
【解答】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，
∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为y cm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，
∴，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：，
∵，
即，
∴，
所以她的说法正确．
【点评】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，准确地列出方程或代数式是解本题的关键．
15．求下列各式中x的值．
（1）x2﹣25＝0；
（2）（x﹣1）2＝64．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）x＝±5；
（2）x＝9或x＝﹣7．
【分析】运用平方根知识进行求解．
【解答】解：（1）移项，得x2＝25，
开平方，得x＝±5；
（2）开平方，得x﹣1＝±8，
解得x＝9或x＝﹣7．
【点评】此题考查了运用平方根解方程的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
4．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
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