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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量第3节空间直线平面的平行课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量第3节空间直线平面的平行课件新人教A版，共45页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，此平面内，相交直线，两条交线等内容，欢迎下载使用。
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.理解空间中线面平行的有关性质和判定定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.线面平行的判定定理和性质定理
“内”“外”“平行”三个条件缺一不可
误区警示在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面α内,直线b在平面α内,且a∥b,否则会出现错误.
微思考一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?
提示 不都平行.该平面内的直线有两类:一类与该直线平行,另一类与该直线异面.
2.面面平行的判定定理和性质定理
微点拨判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示 平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.
常用结论1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )2.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )3.如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.( )4.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册第142页练习第2题)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何一条直线都与β平行
解析 A不正确,如果这无穷多条直线平行,平面α与平面β可能相交;B不正确,当平面α与平面β相交时,若直线a与交线平行,则满足条件;C不正确,当直线a与直线b平行时,两个平面可能相交;D显然正确.
6.(人教A版必修第二册习题8.5第5题)如图,在四面体D-ABC中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证:(1)BD∥平面EFG;(2)AC∥平面EFG.
证明 (1)∵F,G分别是BC,CD的中点,∴FG∥BD.∵BD⊄平面EFG,FG⊂平面EFG,∴BD∥平面EFG.(2)∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC.∵AC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,∴AC∥平面EFG.
题组三连线高考7.(2006·湖南,文14)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
解析 设AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
8.(2011·福建,文15)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于 .
考点一 直线与平面平行的判定与性质(多考向探究预测)
考向1直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.
证明 (方法一)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FM∥CD,且FM= CD=2.因为AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB,且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AF∥BM.因为AF⊄平面BCE,BM⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法二)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法三)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
[对点训练1]在如图所示的圆台中,AB是下底面圆O的直径,A1B1是上底面圆O1的直径,AB∥A1B1,AB=2A1B1=4,OO1= ,△ACD为圆O的内接正三角形.证明:OO1∥平面B1CD.
证明 记AB与CD交于点F,连接B1F,OC.因为AB是下底面圆O的直径,且△ACD为圆O的内接正三角形,所以AB垂
因为AB∥A1B1,AB=2A1B1=4,所以OF∥O1B1,OF=O1B1.所以四边形OFB1O1为平行四边形,所以OO1∥FB1.又因为OO1⊄平面B1CD,FB1⊂平面B1CD,所以OO1∥平面B1CD.
考向2直线与平面平行的性质例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O,M分别为BD,PC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)求证:OM∥平面PAD.(2)求证:BC∥l.(3)在棱PC上是否存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
(1)证明 连接AC,因为底面ABCD为平行四边形,O为BD的中点,所以O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在△APC中,AP∥OM.因为OM⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,所以OM∥平面PAD.
(2)证明 因为底面ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为平面PAD与平面PBC的交线为l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.
(3)解 不存在.理由如下,假设在棱PC上存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD.在平面PDC中,过点N作PD的平行线EN,交DC于点E.因为EN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EN∥平面PAD.因为EN∩BN=N,所以平面BEN∥平面PAD.因为BE⊂平面BEN,所以BE∥平面PAD.又因为BE⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BE∥AD.另一方面,在平行四边形ABCD中,BE与AD不平行,矛盾,所以在棱PC上不存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD.
[对点训练2]如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试确定点M的位置.
解 点M为线段PA上靠近点P的四等分点.理由如下:如图,连接BD交AC于点O1,连接OM.因为PC∥平面MEF,PC⊂平面PAC,
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.又A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.
变式探究1 (变条件变结论)在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图,连接A1C,AC1,交于点M.∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点.连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.
变式探究2(变条件变结论)在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D,D1分别是棱AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求 的值.
解 连接A1B,AB1,交于点O,连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,所以D1为A1C1的中点.同理,AD1∥C1D.又AD∥C1D1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,
[对点训练3]如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l,M,N,Q分别为PC,CD,AB的中点.求证:(1)平面MNQ∥平面PAD;(2)BC∥l.
证明 (1)因为M,N,Q分别为PC,CD,AB的中点,底面ABCD为平行四边形,所以MN∥PD,NQ∥AD.又MN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,则MN∥平面PAD.同理,NQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,可得NQ∥平面PAD.又MN∩NQ=N,MN,NQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.(2)因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.
考点三 平行关系的综合应用
例4如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC= AD,E是PD的中点.(1)求证:BC∥AD;(2)求证:CE∥平面PAB;(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?说明理由.
(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,因为BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD.(2)证明 如图,取F为AP的中点,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD且EF= AD.由(1)知BC∥AD,又BC= AD,所以EF∥BC且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF.因为CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB.
(3)解 线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中点N,连接CN,EN.因为E,N分别为PD,AD的中点,所以EN∥PA.因为EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)知CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE⊂平面CEN,EN⊂平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的动点,MN⊂平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB.
[对点训练4]如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.(1)求证:GH∥平面BFC.(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出点P的具体位置并证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明 连接BD.∵四边形ABCD为平行四边形,G是AC的中点,∴G也是线段BD的中点,∴G,H分别是线段BD,DF的中点,∴GH∥BF,又BF⊂平面BFC,GH⊄平面BFC,∴GH∥平面BFC.
1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.理解空间中线面平行的有关性质和判定定理.3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.线面平行的判定定理和性质定理
“内”“外”“平行”三个条件缺一不可
误区警示在推证线面平行时,一定要强调直线a不在平面α内,直线b在平面α内,且a∥b,否则会出现错误.
微思考一条直线与一个平面平行,那么它与平面内的所有直线都平行吗?
提示 不都平行.该平面内的直线有两类:一类与该直线平行,另一类与该直线异面.
2.面面平行的判定定理和性质定理
微点拨判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示 平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.
常用结论1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.( )2.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )3.如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.( )4.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册第142页练习第2题)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥αD.α内的任何一条直线都与β平行
解析 A不正确,如果这无穷多条直线平行,平面α与平面β可能相交;B不正确,当平面α与平面β相交时,若直线a与交线平行,则满足条件;C不正确,当直线a与直线b平行时,两个平面可能相交;D显然正确.
6.(人教A版必修第二册习题8.5第5题)如图,在四面体D-ABC中,E,F,G分别是AB,BC,CD的中点,求证:(1)BD∥平面EFG;(2)AC∥平面EFG.
证明 (1)∵F,G分别是BC,CD的中点,∴FG∥BD.∵BD⊄平面EFG,FG⊂平面EFG,∴BD∥平面EFG.(2)∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC.∵AC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,∴AC∥平面EFG.
题组三连线高考7.(2006·湖南,文14)过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
解析 设AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,E1F1,EE1,FF1,E1F,EF1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
8.(2011·福建,文15)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于 .
考点一 直线与平面平行的判定与性质(多考向探究预测)
考向1直线与平面平行的判定例1如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.
证明 (方法一)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FM∥CD,且FM= CD=2.因为AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB,且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AF∥BM.因为AF⊄平面BCE,BM⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法二)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法三)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
[对点训练1]在如图所示的圆台中,AB是下底面圆O的直径,A1B1是上底面圆O1的直径,AB∥A1B1,AB=2A1B1=4,OO1= ,△ACD为圆O的内接正三角形.证明:OO1∥平面B1CD.
证明 记AB与CD交于点F,连接B1F,OC.因为AB是下底面圆O的直径,且△ACD为圆O的内接正三角形,所以AB垂
因为AB∥A1B1,AB=2A1B1=4,所以OF∥O1B1,OF=O1B1.所以四边形OFB1O1为平行四边形,所以OO1∥FB1.又因为OO1⊄平面B1CD,FB1⊂平面B1CD,所以OO1∥平面B1CD.
考向2直线与平面平行的性质例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,O,M分别为BD,PC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)求证:OM∥平面PAD.(2)求证:BC∥l.(3)在棱PC上是否存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
(1)证明 连接AC,因为底面ABCD为平行四边形,O为BD的中点,所以O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在△APC中,AP∥OM.因为OM⊄平面PAD,AP⊂平面PAD,所以OM∥平面PAD.
(2)证明 因为底面ABCD为平行四边形,所以AD∥BC.因为AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为平面PAD与平面PBC的交线为l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l.
(3)解 不存在.理由如下,假设在棱PC上存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD.在平面PDC中,过点N作PD的平行线EN,交DC于点E.因为EN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以EN∥平面PAD.因为EN∩BN=N,所以平面BEN∥平面PAD.因为BE⊂平面BEN,所以BE∥平面PAD.又因为BE⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BE∥AD.另一方面,在平行四边形ABCD中,BE与AD不平行,矛盾,所以在棱PC上不存在点N(异于点C),使得BN∥平面PAD.
[对点训练2]如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试确定点M的位置.
解 点M为线段PA上靠近点P的四等分点.理由如下:如图,连接BD交AC于点O1,连接OM.因为PC∥平面MEF,PC⊂平面PAC,
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)B,C,H,G四点共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB,A1G=EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.又A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.
变式探究1 (变条件变结论)在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图,连接A1C,AC1,交于点M.∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴M是A1C的中点.连接MD,∵D为BC的中点,∴A1B∥DM.∵A1B⊂平面A1BD1,DM⊄平面A1BD1,∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知,D1C1∥BD且D1C1=BD,
∴四边形BDC1D1为平行四边形,∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,∴DC1∥平面A1BD1,又DC1∩DM=D,DC1,DM⊂平面AC1D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.
变式探究2(变条件变结论)在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D,D1分别是棱AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求 的值.
解 连接A1B,AB1,交于点O,连接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,所以D1为A1C1的中点.同理,AD1∥C1D.又AD∥C1D1,所以四边形ADC1D1是平行四边形,
[对点训练3]如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.设平面PAD与平面PBC的交线为l,M,N,Q分别为PC,CD,AB的中点.求证:(1)平面MNQ∥平面PAD;(2)BC∥l.
证明 (1)因为M,N,Q分别为PC,CD,AB的中点,底面ABCD为平行四边形,所以MN∥PD,NQ∥AD.又MN⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,则MN∥平面PAD.同理,NQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,可得NQ∥平面PAD.又MN∩NQ=N,MN,NQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.(2)因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又BC⊂平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.
考点三 平行关系的综合应用
例4如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC= AD,E是PD的中点.(1)求证:BC∥AD;(2)求证:CE∥平面PAB;(3)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB?说明理由.
(1)证明 在四棱锥P-ABCD中,因为BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD.(2)证明 如图,取F为AP的中点,连接EF,BF.因为E是PD的中点,所以EF∥AD且EF= AD.由(1)知BC∥AD,又BC= AD,所以EF∥BC且EF=BC,所以四边形BCEF为平行四边形,故CE∥BF.因为CE⊄平面PAB,BF⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB.
(3)解 线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB,理由如下:取AD中点N,连接CN,EN.因为E,N分别为PD,AD的中点,所以EN∥PA.因为EN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EN∥平面PAB.由(2)知CE∥平面PAB,又CE∩EN=E,CE⊂平面CEN,EN⊂平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB.又M是CE上的动点,MN⊂平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以线段AD上存在点N,使得MN∥平面PAB.
[对点训练4]如图,在三棱柱BCF-ADE中,若G,H分别是线段AC,DF的中点.(1)求证:GH∥平面BFC.(2)在线段CD上是否存在一点P,使得平面GHP∥平面BCF?若存在,指出点P的具体位置并证明;若不存在,请说明理由.
(1)证明 连接BD.∵四边形ABCD为平行四边形,G是AC的中点,∴G也是线段BD的中点,∴G,H分别是线段BD,DF的中点,∴GH∥BF,又BF⊂平面BFC,GH⊄平面BFC,∴GH∥平面BFC.
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