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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量第4节空间直线平面的垂直课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量第4节空间直线平面的垂直课件新人教A版，共49页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，a⊥α，提示存在如图，直二面角，b⊥α等内容，欢迎下载使用。
1.了解空间中线线、线面、面面垂直的关系,认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同
(2)判定定理与性质定理
微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.
微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?
2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件
微点拨在性质定理中要注意两点:一是“在平面内”,二是“垂直于交线”,缺一不可.它是作平面垂线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
3.直线与平面所成的角如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
4.二面角及其平面角如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α.( )2.若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )3.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( )4.若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册第159页练习第2题)已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β
解析 α⊥γ,β⊥γ⇒α与β相交或平行,故A不正确;∵α∩β=a,b⊥a,b⊂β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正确;a∥β,a∥α⇒α与β相交或平行,故C不正确;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一条直线垂直于β,∴α⊥β,故D正确.
6.(人教A版必修第二册第152页练习第4题)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心. (2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的 点. (3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的 心.
解析 (1)∵过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,图略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴点O是△ABC的外心.(2)由(1)知,点O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如图,∴点O是斜边AB的中点.
(3)连接AO并延长交BC于一点E,∵PA,PB,PC两两垂直,即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC于点O,BC⊂平面ABC,∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA⊂平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵AE⊂平面APE,∴BC⊥AE.同理可证HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.
7.(人教B版必修第四册习题11-4B第2题)如图,已知AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C为圆上不同于A,B的任意一点.求证:BC⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是圆的直径,∴AC⊥BC.∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
题组三连线高考8.(2011·浙江,理4)下列命题中错误的是( )A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析 对于A,设平面α∩平面β=a,设直线b⊂α,直线b⊄平面β,且b∥a,根据线面平行的判定定理可得直线b∥β,故A正确;对于B,如果α内存在直线与β垂直,则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β,与已知矛盾,故B正确;对于C,设平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ内作直线m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性质定理可得m⊥α,n⊥β,又直线l⊂α,l⊂β,∴m⊥l,n⊥l,又α∩β=l,∴m,n为相交直线,又m,n⊂平面γ,∴l⊥平面γ,故C正确;平面α⊥平面β,设平面α∩平面β=a,在平面α内与a平行的直线都不与平面β垂直,故D错误.
9.(2021·浙江,6)如图,已知正方体ABCD -A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则( )A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
解析 连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,所以M为AD1的中点.又N是D1B的中点,所以MN∥AB.MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以选项B,D不正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D, AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABD1,D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B,且直线A1D,D1B是异面直线,所以选项C错误,选项A正确.
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
例1(2021·全国甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F-EBC的体积;(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.
(1)解 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.
(2)证明 如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.∵E,M分别为AC,BC中点,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE⊂平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1⊂平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.
[对点训练1](2024·内蒙古赤峰模拟)如图1,在五边形ABCDE中,四边形ABCE为正方形,CD⊥DE,CD=DE,如图2,将△ABE沿BE折起,使得点A至点A1处,且A1B⊥A1D.(1)证明:DE⊥平面A1BE;(2)若四棱锥A1-BCDE的体积为4,求CD的长.
因为AB⊥AE,所以A1B⊥A1E.又A1B⊥A1D,A1E∩A1D=A1,A1E,A1D⊂平面A1ED,所以A1B⊥平面A1ED.又DE⊂平面A1ED,则DE⊥A1B.又DE⊥BE,A1B∩BE=B,A1B⊂平面A1BE,BE⊂平面A1BE,所以DE⊥平面A1BE.
(2)解 取BE的中点O,连接A1O,由正方形ABCD可得A1O⊥BE.又A1O⊂平面A1BE,由(1)可得DE⊥A1O.又DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BCDE,则A1O⊥平面BCDE.即A1O为四棱锥A1-BCDE的高.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2(2023·全国甲,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1,过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C.∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D.∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC,∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2,则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边CC1=2,∴A1D= CC1=1.即四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
[对点训练2] (2024·河南郑州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中, AD∥BC,AB⊥AD,平面APD⊥平面ABCD,E,F分别为棱PD,AD的中点,
(1)证明:平面CEF⊥平面PAD;(2)若AB=2,求几何体PABCEF的体积.
因为AD∥BC,所以四边形ABCF为平行四边形,所以AB∥CF.因为AB⊥AD,所以CF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CF⊂平面ABCD,所以CF⊥平面PAD.又CF⊂平面CEF,所以平面CEF⊥平面PAD.
(2)解 连接PF.因为PA=PD,F为AD的中点,所以PF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PF⊂平面PAD,所以PF⊥平面ABCD.因为AB=2,所以AD=4,
考点三 平行与垂直的综合问题
解 (1)取AD的中点G,连接PG,GB,如图所示.在△PAD中,PA=PD,G是AD的中点,所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,即PG为四棱锥P-ABCD的高.又GB⊂平面ABCD,所以PG⊥GB.
因为CN∥AD,AD⊂平面PAD,CN⊄平面PAD,所以CN∥平面PAD.因为MN∥PA,PA⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.又CN∩MN=N,CN,MN⊂平面CMN,所以平面PAD∥平面CMN.又CM⊂平面CMN,所以CM∥平面PAD.
[对点训练3](2024·四川南充模拟)如图所示,已知AC,BD是圆锥SO底面的两条直径,M为劣弧BC的中点.(1)证明:SM⊥AD;(2)若∠BOC= ,E为线段SM上的一点,且SE=2EM,求证:平面BCE∥平面SAD.
证明 (1)连接MO并延长交AD于点N,如图所示.
∵M为劣弧 的中点,∴MO是∠BOC的平分线,∴MN平分∠AOD.∵OA=OD,∴MN⊥AD.又在圆锥SO中,SO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴SO⊥AD.∵MN,SO⊂平面SMN,且MN∩SO=O,∴AD⊥平面SMN.又SM⊂平面SMN,∴AD⊥SM.
(2)设MO交BC于点F,显然OF平分∠BOC,且OF⊥BC.
1.了解空间中线线、线面、面面垂直的关系,认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.
1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 .直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.
与“所有直线”是同义的,但与“无数条直线”不同
(2)判定定理与性质定理
微点拨定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直.如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直.
微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?
2.平面与平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直.
一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件
微点拨在性质定理中要注意两点:一是“在平面内”,二是“垂直于交线”,缺一不可.它是作平面垂线的一个重要依据,我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
3.直线与平面所成的角如图,一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
4.二面角及其平面角如图,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.棱为AB,面分别为α,β的二面角记作二面角α-AB-β.有时为了方便,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角α-l-β或二面角P-l-Q.
如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.
常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.直线l与平面α内无数条直线都垂直,则l⊥α.( )2.若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )3.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.( )4.若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( )
题组二回源教材5.(人教A版必修第二册第159页练习第2题)已知直线a,b与平面α,β,γ,能使α⊥β的充分条件是( )A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β
解析 α⊥γ,β⊥γ⇒α与β相交或平行,故A不正确;∵α∩β=a,b⊥a,b⊂β,∴b不一定垂直于α,∴α不一定垂直于β,故B不正确;a∥β,a∥α⇒α与β相交或平行,故C不正确;∵a⊥β,a∥α,∴α中一定有一条直线垂直于β,∴α⊥β,故D正确.
6.(人教A版必修第二册第152页练习第4题)过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 心. (2)若PA=PB=PC,∠C=90°,则点O是AB边的 点. (3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都为P,则点O是△ABC的 心.
解析 (1)∵过△ABC所在平面α外一点P,作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC,图略,∵PA=PB=PC,∴OA=OB=OC,∴点O是△ABC的外心.(2)由(1)知,点O是△ABC的外心,又∠ACB=90°,如图,∴点O是斜边AB的中点.
(3)连接AO并延长交BC于一点E,∵PA,PB,PC两两垂直,即PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,∴PA⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,∴BC⊥PA.∵PO⊥平面ABC于点O,BC⊂平面ABC,∴PO⊥BC.又PO∩PA=P,PO,PA⊂平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵AE⊂平面APE,∴BC⊥AE.同理可证HC⊥AB,BG⊥AC,∴O是△ABC的垂心.
7.(人教B版必修第四册习题11-4B第2题)如图,已知AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C为圆上不同于A,B的任意一点.求证:BC⊥平面PAC.
证明 ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是圆的直径,∴AC⊥BC.∵PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.
题组三连线高考8.(2011·浙江,理4)下列命题中错误的是( )A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析 对于A,设平面α∩平面β=a,设直线b⊂α,直线b⊄平面β,且b∥a,根据线面平行的判定定理可得直线b∥β,故A正确;对于B,如果α内存在直线与β垂直,则由面面垂直的判定定理可知平面α⊥平面β,与已知矛盾,故B正确;对于C,设平面α∩平面γ=a,平面β∩平面γ=b,在γ内作直线m⊥a,n⊥b,由面面垂直的性质定理可得m⊥α,n⊥β,又直线l⊂α,l⊂β,∴m⊥l,n⊥l,又α∩β=l,∴m,n为相交直线,又m,n⊂平面γ,∴l⊥平面γ,故C正确;平面α⊥平面β,设平面α∩平面β=a,在平面α内与a平行的直线都不与平面β垂直,故D错误.
9.(2021·浙江,6)如图,已知正方体ABCD -A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则( )A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCDB.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCDD.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
解析 连接AD1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中点,所以M为AD1的中点.又N是D1B的中点,所以MN∥AB.MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因为AB不垂直BD,所以MN不垂直BD,则MN不垂直平面BDD1B1,所以选项B,D不正确;在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D, AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABD1,D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B,且直线A1D,D1B是异面直线,所以选项C错误,选项A正确.
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
例1(2021·全国甲,文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.(1)求三棱锥F-EBC的体积;(2)已知D为棱A1B1上的点,证明:BF⊥DE.
(1)解 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥A1B1,∵BF⊥A1B1,BB1∩BF=B,BB1,BF⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥BC.
(2)证明 如图,连接A1E,取BC中点M,连接B1M,EM.∵E,M分别为AC,BC中点,∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,则点A1,B1,M,E四点共面,故DE⊂平面A1B1ME.又在侧面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1⊂平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.
[对点训练1](2024·内蒙古赤峰模拟)如图1,在五边形ABCDE中,四边形ABCE为正方形,CD⊥DE,CD=DE,如图2,将△ABE沿BE折起,使得点A至点A1处,且A1B⊥A1D.(1)证明:DE⊥平面A1BE;(2)若四棱锥A1-BCDE的体积为4,求CD的长.
因为AB⊥AE,所以A1B⊥A1E.又A1B⊥A1D,A1E∩A1D=A1,A1E,A1D⊂平面A1ED,所以A1B⊥平面A1ED.又DE⊂平面A1ED,则DE⊥A1B.又DE⊥BE,A1B∩BE=B,A1B⊂平面A1BE,BE⊂平面A1BE,所以DE⊥平面A1BE.
(2)解 取BE的中点O,连接A1O,由正方形ABCD可得A1O⊥BE.又A1O⊂平面A1BE,由(1)可得DE⊥A1O.又DE∩BE=E,DE,BE⊂平面BCDE,则A1O⊥平面BCDE.即A1O为四棱锥A1-BCDE的高.
考点二 平面与平面垂直的判定与性质
例2(2023·全国甲,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC, ∠ACB=90°.(1)证明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)设AB=A1B,AA1=2,求四棱锥A1-BB1C1C的高.
(1)证明 ∵A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥CA.∵A1C∩CA=C,A1C,CA⊂平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC⊂平面BB1C1C,∴平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)解 平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,且这两个平面的交线为CC1,过A1作A1D⊥CC1,垂足为点D,则A1D⊥平面BB1C1C.∴四棱锥A1-BB1C1C的高为A1D.∵BC⊥CA,BC⊥CA1,BA=BA1,BC=BC,∴Rt△BCA≌Rt△BCA1.∴CA=CA1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形ACC1A1为平行四边形,有AC=A1C1,∠ACA1=∠C1A1C=90°,CC1=AA1=2,则△CA1C1为等腰直角三角形,且底边CC1=2,∴A1D= CC1=1.即四棱锥A1-BB1C1C的高为1.
[对点训练2] (2024·河南郑州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中, AD∥BC,AB⊥AD,平面APD⊥平面ABCD,E,F分别为棱PD,AD的中点,
(1)证明:平面CEF⊥平面PAD;(2)若AB=2,求几何体PABCEF的体积.
因为AD∥BC,所以四边形ABCF为平行四边形,所以AB∥CF.因为AB⊥AD,所以CF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CF⊂平面ABCD,所以CF⊥平面PAD.又CF⊂平面CEF,所以平面CEF⊥平面PAD.
(2)解 连接PF.因为PA=PD,F为AD的中点,所以PF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PF⊂平面PAD,所以PF⊥平面ABCD.因为AB=2,所以AD=4,
考点三 平行与垂直的综合问题
解 (1)取AD的中点G,连接PG,GB,如图所示.在△PAD中,PA=PD,G是AD的中点,所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,即PG为四棱锥P-ABCD的高.又GB⊂平面ABCD,所以PG⊥GB.
因为CN∥AD,AD⊂平面PAD,CN⊄平面PAD,所以CN∥平面PAD.因为MN∥PA,PA⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD.又CN∩MN=N,CN,MN⊂平面CMN,所以平面PAD∥平面CMN.又CM⊂平面CMN,所以CM∥平面PAD.
[对点训练3](2024·四川南充模拟)如图所示,已知AC,BD是圆锥SO底面的两条直径,M为劣弧BC的中点.(1)证明:SM⊥AD;(2)若∠BOC= ,E为线段SM上的一点,且SE=2EM,求证:平面BCE∥平面SAD.
证明 (1)连接MO并延长交AD于点N,如图所示.
∵M为劣弧 的中点,∴MO是∠BOC的平分线,∴MN平分∠AOD.∵OA=OD,∴MN⊥AD.又在圆锥SO中,SO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴SO⊥AD.∵MN,SO⊂平面SMN,且MN∩SO=O,∴AD⊥平面SMN.又SM⊂平面SMN,∴AD⊥SM.
(2)设MO交BC于点F,显然OF平分∠BOC,且OF⊥BC.
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