适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第8章立体几何与空间向量第5节空间向量及其运算课件新人教A版

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1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距离公式.2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
1.空间向量的有关概念
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时,与平面向量的相关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
2.空间向量中的有关定理
微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础.2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.
3.空间向量的数量积(1)两向量的夹角①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 =a, =b,则_________　　　　叫做向量a,b的夹角,记作. 
(1)两个向量有相同的起点;(2)向量的方向
②范围:0≤≤π.(2)两个非零向量a,b的数量积:a·b=　　　　　　　　. 
误区警示向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即a·b=b·a,(a+b)·c=a·c+b·c成立,(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
|a||b|cs
4.空间向量的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
常用结论1.证明空间任意三点共线的方法对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
2.证明空间四点共面的方法对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明共面:
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.空间中任意两个非零向量a,b共面.(　　)2.空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(　　)3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 .(　　)4.若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第一册习题1.2第2题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　)A.b+c,b,b-cB.a,a+b,a-bC.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c
6.(人教B版选择性必修第一册1.1.3节例4(1))已知a=(1,-1,1),b=(x,y,z),且a∥b,则x,y,z满足的关系式是　　　　　　　. 
7.(人教A版选择性必修第一册第22页练习第3题改编)M为z轴上一点,且点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等,则点M的坐标是　　　　. 
题组三连线高考8.(2014·广东,理5)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°角的是(　　)A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)
考点一 空间向量的运算
A.(2,3,3)B.(-2,-3,-3)C.(5,-2,1)D.(-5,2,-1)
解析 如图,取AC的中点M,连接ME,MF,如图.
[对点训练1](1)已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= c-2a,则c=(　　)A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)
解析 ∵向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= c-2a,∴c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
考点二 空间向量有关定理的应用
例2(1)已知向量a=(x,2,4),b=(3,y,-2),c=(1,-1,0),若(a+c)∥b,则x+y=(　　)A.-1B.-3C.D.-8
解析 a+c=(x,2,4)+(1,-1,0)=(x+1,1,4).因为(a+c)∥b,所以可设b=m(a+c),
考点三 空间向量的数量积及其应用(多考向探究预测)
考向1求空间向量的数量积例3(1)如图,在四面体ABCD中,∠BAC=60°,∠BAD=∠CAD=45°,
考向2空间向量数量积的应用例4如图,已知空间四边形ABCD每条边长和对角线长都等于1,E,F,G分别是AB,AD,CD的中点.(1)求证:EG⊥AB;(2)求EG的长;(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
(3)解 由题意得△ABC,△ACD,△ABD均为等边三角形且边长为1,
规律方法空间向量数量积的三个应用
[对点训练4]已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的面积;