适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列第2节等差数列课件新人教A版

这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列第2节等差数列课件新人教A版，共53页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，同一个常数，a+b，n-md，n2-2n，ACD，选②作条件证明①等内容，欢迎下载使用。

1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.理解等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
an+1-an=d(n∈N*,d为常数)
微点拨1.在等差数列{an}中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项,即{an}成等差数列⇔an+1+an-1=2an (n∈N*,n≥2).2.任何两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.
证明一个数列是等差数列的“等差中项法”
2.等差数列的有关公式
公差d的几何意义是点(1,a1),…,(n,an)所在直线的斜率
微思考1.在等差数列{an}中,通项an是关于n的一次函数吗?2.等差数列前n项和公式是如何推导的?这种方法通常称为什么方法?
提示 an不一定是关于n的一次函数,事实上,在等差数列{an}中, an=kn+b(k,b∈R),当k=0,即数列为常数列时,an不是关于n的一次函数.
3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+　　　　(m,n∈N*). (2)若{an}是等差数列,且m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
　但若am+an=ap+aq,却不一定有m+n=p+q
特别地,当m+n=2p时,am+an=2ap.
ap为am和an的等差中项
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为　　　　的等差数列. 
在等差数列中下标成等差的 项组成的新数列仍为等差数列
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…是　　 　　数列. (5)S2n-1=(2n-1)an.(6)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列 是　　　　数列. 
误区警示等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列,即数列的片断和成等差数列,注意不是Sm,S2m,S3m,…构成等差数列.
常用结论1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(p,q∈R),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是Sn=an2+bn(a,b∈R).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)2.在等差数列{an}中,若m+n=p,则am+an=ap.(　　)3.等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)4.“数列{an}为等差数列”的充要条件是“数列{an}的通项公式是关于n的一次函数”.(　　)
题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第二册4.2.2节例8改编)某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则该剧场总共的座位数为　　　　. 
解析 设第n排的座位数为an(n∈N*),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,则剧场总共的座位数为 =820个.
6.(人教A版选择性必修第二册习题4.2第6题改编)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100,则数列{an+bn}的前100项的和为　　　　　. 
解析 依题意{an+bn}为等差数列,其首项a1+b1=5+15=20.又a100+b100=100,所以{an+bn}前100项的和为 =6 000.
7.(人教B版选择性必修第三册5.2.2节练习B第4题改编)已知一个凸n边形内角的度数按从小到大构成等差数列,且最小角为40°,公差为20°,则n=　　　　. 
解析 根据凸n边形内角和以及等差数列的前n项和公式可知n·40°+ 20°=(n-2)·180°,整理得(n-3)(n-12)=0,∴n=3或n=12.当n=12时,最大的内角为40°+11×20°=260°>180°,故舍去;当n=3时,最大的内角为40°+2×20°=80°<180°,符合实际情况,∴n=3.
题组三连线高考8.(2022·全国乙,文13)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　　. 
解析 设等差数列的公差为d.由题意得2(3a1+3d)=3(2a1+d)+6,即3d=6,解得d=2.
9.(2020·全国Ⅱ,理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块
解析 由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{an}.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{an}为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+ 9=3 402.故选C.
考点一 等差数列的基本量运算(多考向探究预测)
考向1求解等差数列的基本量例1(1)(2024·山东聊城模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5, a1+S11=67,则a3a10是{an}中的(　　)A.第30项B.第36项C.第48项D.第60项
解析 设等差数列{an}的公差为d,由a5=5,得a1+4d=5;①由a1+S11=67,得12a1+ d=67,即12a1+55d=67.②由①②解得a1=1,d=1,所以an=n,于是a3a10=3×10=30,而a30=30,故a3a10是{an}中的第30项.故选A.
(2)(2024·湖南张家界模拟)已知{an}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,若ln a1,ln a3,ln a6也是等差数列,则其公差为(　　)
(3)(2024·福建福州模拟)“二十四节气”是上古农耕文明的产物,它是上古先民顺应农时,通过观察天体运行,认知一岁中时令、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度,日晷长即为所测量影子的长度,二十四个节气及日晷长变化如图所示,相邻两个节气日晷长的变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中立春到夏至的日晷长的和为(　　)
A.58.5尺B.59.5尺C.60尺D.60.5尺
解析 设冬至日晷长为a1,小寒日晷长为a2,以此类推芒种日晷长为a12,因此a1=13.5,a12=2.5,设从冬至到夏至过程中,日晷长的变化量为d,则2.5=13.5+(12-1)d,解得d=-1,立春日晷长为a4=13.5+3×(-1)=10.5,夏至日晷长为a13=13.5+12×(-1)=1.5,所以一年中立春到夏至的日晷长的和为
[对点训练1](2023·全国乙,文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
考向2两个等差数列的公共项问题例2(2020·新高考Ⅰ,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　　. 
解析 (方法一　观察归纳法)数列{2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…;数列{3n-2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列,则an=1+6(n-1)=6n-5.故前n项和
(方法二　不定方程法)令bn=2n-1,cm=3m-2,bn=cm,则2n-1=3m-2,即3m=2n+1,m必为奇数.令m=2t-1(t=1,2,3,…),则n=3t-2.at=b3t-2=c2t-1=6t-5,即
[对点训练2](多选题)(2024·山东德州模拟)我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩二,七七数之剩二,问物几何?”根据这一数学思想,所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an},所有被5除余2的自然数从小到大组成数列{bn},把{an}和{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},则下列结论中错误的有(　 　)A.a3+b5=c3B.b28=c10C.a5b2>c8D.c9-b9=a26
解析 根据题意,数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,an=2+3(n-1)=3n-1,数列{bn}是首项为2,公差为5的等差数列,bn=2+5(n-1)=5n-3,数列{an}与{bn}的公共项从小到大排列得到数列{cn},故数列{cn}是首项为2,公差为15的等差数列,cn=2+15(n-1)=15n-13.对于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30, c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,故A错误;对于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,故B正确;对于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13 =107,a5b2=14×7=98<107=c8,故C错误;对于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,故D错误.故选ACD.
考点二 等差数列的判定与证明
例3(2021·全国甲,理18改编)已知数列{an}的各项均为正数,且a2=3a1,记Sn为{an}的前n项和.从下面①②中选取其中一个作为条件,证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列;②数列{ }是等差数列.
解 选①作条件证明②:因为a2=3a1,{an}是等差数列,所以公差d=a2-a1=2a1,所以
当n=1时,a1=S1=(b+c)2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(bn+c)2-(bn-b+c)2=b(2bn-b+2c);
当c=0时,a1=b2,an=b2(2n-1),当n≥2时,an-an-1=2b2满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;
n=1时,满足上式,故{an}的通项公式为an=(2n-1)a1,所以an-1=(2n-3)a1,an-an-1=2a1,所以数列{an}是等差数列.
考点三 等差数列的性质及其应用(多考向探究预测)
考向1等差数列项的性质例4(1)(2023·全国甲,文5)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5=(　　)A.25B.22C.20D.15
解析 (方法一　基本量法)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,依题意可得,a2+a6=a1+d+a1+5d=10,即a1+3d=5,又a4a8=(a1+3d)(a1+7d)=45,解得d=1,a1=2,所以S5=5a1+ d=5×2+10=20.(方法二　应用项的性质)a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以a4=5,a8=9,从而d= =1,于是a3=a4-d=5-1=4,所以S5=5a3=20.
(2)(2024·河北邢台模拟)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1-3b1=4,a6-3b6=9,则a2 022-3b2 022=　　　　　. 
解析 因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以{an-3bn}是等差数列.设{an-3bn}的公差为d,又a1-3b1=4,a6-3b6=9,所以5d=a6-3b6-(a1-3b1)=5,解得d=1,所以a2 022-3b2 022=4+2 021=2 025.
考向2等差数列前n项和的性质例5(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,S9=18,S3=3,则S6=(　　)
解析 由已知S3,S6-S3,S9-S6,即3,S6-3,18-S6成等差数列,所以2×(S6-3)=3+(18-S6),所以S6=9.
(2)已知等差数列{an}共有2n+1项,其中奇数项之和为290,偶数项之和为261,则an+1的值为(　　)A.30B.29C.28D.27
(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2 018, =6,则S2 025=　　　　　. 
变式探究1(变结论)若本例(3)中的条件不变,则 的值等于　　　　　. 
[对点训练4](1)(2024·安徽合肥高三联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sk=1,S4k=16,则S6k=(　　)A.18B.36C.40D.42
(2)项数为奇数的等差数列{an},其奇数项和为44,偶数项和为33,则该数列的中间项是　　　　　. 
考向3等差数列前n项和的最值问题例6设Sn为等差数列{an}的前n项和,且满足a1<0,S3=S9,则当Sn取得最小值时,n的值为(　　)A.3B.6C.9D.12
(方法二　利用性质邻项变号)设{an}的公差为d,由S3=S9得a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7)=0.因此a6+a7=0.由于a1<0,所以d>0.从而a6<0,a7>0,所以当Sn取得最小值时,n的值为6.故选B.(方法三　利用通项邻项变号)设{an}的公差为d,由S3=S9得
变式探究(变条件)本例的条件下,将“S3=S9”改为“S7=S17”,求Sn取得最小值时n的值.
解 (方法一)设{an}的公差为d,由S7=S17,得2a1+23d=0,即(a1+11d)+(a1+12d)=0,故a12+a13=0.又由a1<0,S7=S17,可知d>0,所以a12<0,a13>0,所以当n=12时,Sn取得最小值 .