最新高考数学解题方法模板50讲 专题12 利用导数解决函数的单调性

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模
板
50
讲
专题12 导数与函数的单调性问题
【高考地位】
在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.
类型一 求无参函数的单调区间
例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．
【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题
【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.
【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）
【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
类型二 判定含参数的函数的单调性
例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数.
（1）讨论的单调性；
【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数.
（I）讨论的单调性；
【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数，.
（1）讨论的单调性；
【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数，其中k∈R.
（1）当时，求函数的单调区间；
【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题
类型三 由函数单调性求参数取值范围
例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若在上是减函数，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数在上单调递增，则的最小值为（ ）
A．4B．16C．20D．18
【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数的单调递减区间是，则的值为（ ）
A．-4B．-2C．2D．4
【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f（x）2ax在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是( )
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
3．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题
4.【2017山东文，10】若函数(e=2.71828,是自然对数的底数)在的定义域上单调递增,则称函数具有M性质,下列函数中具有M性质的是
A . B. C. D.
5.【2017江苏，11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,则实数的取值范围是 ▲ .
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
9.（2018年新课标I卷文）已知函数fx=aex−lnx−1．
（1）设x=2是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；
（2）证明：当a≥1e时，fx≥0．
10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数f(x)=1x−x+alnx．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：fx1−fx2x1−x2