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最新高考数学解题方法模板50讲 专题13 利用导数解决函数的极值、最值
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高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%。
无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险！也只有“三基”过关，才有能力去做难题。
二、建构知识网络
数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。
三、注重通性通法
近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途径多、方法活、注重发散思维的考查。在复习中千万不要过多“玩技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信心尽失”。
四、提高运算能力
运算能力是最基础的能力。由于高三复习时间紧、任务重，老师和学生都不重视运算能力的培养，一个问题，看一看知道怎样解就行了。这是我们高三学生运算能力差的直接原因。其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生考试成绩的好坏起到至关重要的作用。因此，运算能力要进一步加强，让学生自己体悟运算的重要性和书写的规范性。同时，在运算中不断地反思自己解题过程的合理性，转化的等价性等等。
专题13 利用导数解决函数的极值、最值
【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
类型一 利用导数研究函数的极值
例1 已知函数，求函数的极值.
【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020届月考】下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题
【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题
【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020届高三高考数学（理科）三诊】已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题
【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
类型二 求函数在闭区间上的最值
例2 【河南省天一大联考2020届高三阶段性测试】 已知函数， .
（1）求函数在上的最值；
（2）求函数的极值点.
【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期12月联考】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市2020届高三下学期六月模拟】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中】已知函数
（1）若为单调增函数，求实数的值；
（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.
【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题
【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
3.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为__________．
4.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是_____________．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
6．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
7．【2018年全国卷Ⅲ理数】已知函数fx=2+x+ax2ln1+x−2x．
（1）若a=0，证明：当−10时，fx>0；
（2）若x=0是fx的极大值点，求a．
8．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
9．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】
设函数f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)，其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
（I）若t2=0,d=1, 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（II）若d=3，求f(x)的极值；
（III）若曲线y=f(x) 与直线 y=−(x−t2)−63有三个互异的公共点，求d的取值范围.
【反馈练习】
1．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
【来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模数学（理）试题
2．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（理）押题试题（三）
3．设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）
A．B．C．D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试试题
4．已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（二）
5．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（九）数学（理）试题
6．若是函数的极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省凉山州2021届高三三模数学（文）试题
7．下列函数中，的最小值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县2021届高三5月联考数学试题
8．若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（三）
9．函数在上的最小值为（ ）
A．B．-1C．0D．
【来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学（文）试题
10．函数，.若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．3D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测理科数学试题
11．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】湖北省黄冈中学2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题
12．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（八）数学（理）试题
13．关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
【来源】安徽省皖江联盟2021届高三下学期最后一卷理科数学试题
14．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省雅安市2021届高三三模数学（理）试题
15．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R.
（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.
16．【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考】已知函数
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.
17．【西南地区名师联盟2020届高三入学调研考试】已知函数，、为常数，且，.
（1）证明：；
（2）若是函数的一个极值点，试比较与的大小.
18．【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.
（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；
（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.
19．【江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；
（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．
20．【陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数．
（1）当时，求f(x)的最小值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
万能模板
内 容
使用场景
一般函数类型
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 求方程的根；
第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步 利用结论写出极值.
万能模板
内 容
使用场景
一般函数类型
解题模板
第一步 求出函数在开区间内所有极值点；
第二步 计算函数在极值点和端点的函数值；
第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%。
无论是一轮、二轮，还是三轮复习都把“三基”即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，死握一些难题的做法非常危险！也只有“三基”过关，才有能力去做难题。
二、建构知识网络
数学教学的本质，是在数学知识的教学中，把大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，形成越来越有层次的数学知识网络结构，使学生体验整个学习过程中所蕴涵的数学思想、数学方法，形成解决问题的产生方式，因此，在高考复习中，在夯实基础知识的基础上，把握纵横联系，构建知识网络。在加强各知识块的联系之后，抓主干知识，理清框架。
三、注重通性通法
近几年的高考题都注重对通性通法的考查，这样避开了过死、过繁和过偏的题目，解题思路不依赖特殊技巧，思维方向多、解题途径多、方法活、注重发散思维的考查。在复习中千万不要过多“玩技巧”，过多的用技巧，会使成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信心尽失”。
四、提高运算能力
运算能力是最基础的能力。由于高三复习时间紧、任务重，老师和学生都不重视运算能力的培养，一个问题，看一看知道怎样解就行了。这是我们高三学生运算能力差的直接原因。其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生考试成绩的好坏起到至关重要的作用。因此，运算能力要进一步加强，让学生自己体悟运算的重要性和书写的规范性。同时，在运算中不断地反思自己解题过程的合理性，转化的等价性等等。
专题13 利用导数解决函数的极值、最值
【高考地位】
导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.
类型一 利用导数研究函数的极值
例1 已知函数，求函数的极值.
【变式演练1】（极值概念）【西藏日喀则市拉孜高级中学2020届月考】下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
【变式演练2】（图像与极值）已知函数的定义域为，其图象大致如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【来源】福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题
【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为B．的极小值点为1
C．的极大值为D．的最小值为
【来源】河北省沧州市2021届高三三模数学试题
【变式演练4】（解析式中含参数的极值）【四川省德阳市2020届高三高考数学（理科）三诊】已知函数，．
（1）求函数的极值；
（2）当时，证明：．
【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】广西桂林市、崇左市2021届高三5月份数学（理）第二次联考试题
【变式演练6】（由极值求其他）【四川省江油中学2020-2021学年高三上学期开学考试】已知函数在处取得极大值为9.
（1）求，的值；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
类型二 求函数在闭区间上的最值
例2 【河南省天一大联考2020届高三阶段性测试】 已知函数， .
（1）求函数在上的最值；
（2）求函数的极值点.
【变式演练7】（极值与最值关系）【安徽省皖江联盟2019-2020学年高三上学期12月联考】已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式演练8】（由最值求参数范围）【湖北省武汉市2020届高三下学期六月模拟】若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练9】（不含参数最值）【安徽省江淮十校2020-2021学年高三上学期第一次联考】已知函数，若存在实数，对任意都有成立.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练10】（含参最值）【重庆市经开礼嘉中学2020届高三下学期期中】已知函数
（1）若为单调增函数，求实数的值；
（2）若函数无最小值，求整数的最小值与最大值之和.
【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】安徽省宿州市2021届高三下学期第三次模拟考试文科数学试题
【变式演练12】（构造函数求最值）函数，.若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题
【高考再现】
1．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
3.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】若函数f(x)=2x3−ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为__________．
4.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是_____________．
5．【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．
（1）讨论在区间的单调性；
（2）证明：；
（3）设，证明：．
6．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
7．【2018年全国卷Ⅲ理数】已知函数fx=2+x+ax2ln1+x−2x．
（1）若a=0，证明：当−1
（2）若x=0是fx的极大值点，求a．
8．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科】设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
9．【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷）】
设函数f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)，其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.
（I）若t2=0,d=1, 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
（II）若d=3，求f(x)的极值；
（III）若曲线y=f(x) 与直线 y=−(x−t2)−63有三个互异的公共点，求d的取值范围.
【反馈练习】
1．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）
A．
B．在上存在零点，则a的最小值为
C．在上单调递增
D．在有且仅有一个极大值点
【来源】内蒙古赤峰二中2021届高三三模数学（理）试题
2．已知函数在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】全国Ⅰ卷2021届高三高考数学（理）押题试题（三）
3．设函数，若，则函数的各极大值之和为（ ）
A．B．C．D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021届高三下学期5月第四次模拟考试数学（文）试试题
4．已知函数f（x）＝﹣ex，则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）无极大值，也无极小值
B．f（x）有极大值，也有极小值
C．f（x）有极大值，无极小值
D．f（x）无极小值，有极大值
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（二）
5．已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（九）数学（理）试题
6．若是函数的极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
【来源】四川省凉山州2021届高三三模数学（文）试题
7．下列函数中，的最小值为的是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】吉林省松原市前郭县、长岭县、乾安县2021届高三5月联考数学试题
8．若不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【来源】全国2021届高三5月份数学模拟试题（三）
9．函数在上的最小值为（ ）
A．B．-1C．0D．
【来源】河南省2021届高三仿真模拟考试（三）数学（文）试题
10．函数，.若，则的最小值为（ ）
A．B．
C．3D．
【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测理科数学试题
11．若不等式对一切恒成立，其中为自然对数的底数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【来源】湖北省黄冈中学2021届高三下学期第三次模拟考试数学试题
12．已知函数，当时，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（八）数学（理）试题
13．关于x的不等式在恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
【来源】安徽省皖江联盟2021届高三下学期最后一卷理科数学试题
14．设，若存在正实数x，使得不等式成立，则的最大值为 （ ）
A．B．C．D．
【来源】四川省雅安市2021届高三三模数学（理）试题
15．【北京五中2020届高三（4月份）高考数学模拟】设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R.
（1）如果f（x）同时满足下面三个条件中的两个：①f（x）是偶函数；②m＝1；③f（x）在（0，1）单调递减.指出这两个条件，并求函数h（x）＝xf（x）的极值；
（2）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有三个零点，求m的取值范围.
16．【辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考】已知函数
（1）若，证明：；
（2）若在上有两个极值点，求实数a的取值范围.
17．【西南地区名师联盟2020届高三入学调研考试】已知函数，、为常数，且，.
（1）证明：；
（2）若是函数的一个极值点，试比较与的大小.
18．【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中】某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为千米，到的距离为千米.现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域为矩形，养殖区域为，且均在圆弧上，均在线段上，设.
（Ⅰ）用分别表示矩形和的面积，并确定的范围；
（Ⅱ）根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在内养殖鱼类，在内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为.求当为何值时，能使年总产值最大.
19．【江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对给定的，函数有零点，求的取值范围；
（3）当，时，，记在区间上的最大值为m，且，求n的值．
20．【陕西省西安中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】已知函数．
（1）当时，求f(x)的最小值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
万能模板
内 容
使用场景
一般函数类型
解题模板
第一步 计算函数的定义域并求出函数的导函数；
第二步 求方程的根；
第三步 判断在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步 利用结论写出极值.
万能模板
内 容
使用场景
一般函数类型
解题模板
第一步 求出函数在开区间内所有极值点；
第二步 计算函数在极值点和端点的函数值；
第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
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