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最新高考数学解题方法模板50讲 专题39 直线与圆的位置关系
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50
讲
专题39 直线与圆的位置关系
【高考地位】
直线与圆的位置关系一般包括直线与圆相交（与弦长有关）及直线与圆相切（切线方程，切线长等），是平面解析几何中相对基础的综合类问题，考查学生对平面几何知识的应用及运算，是进一步学习圆锥曲线综合问题的基础与准备。
类型一 直线与圆相交
例1．直线与圆相交于、两点，则__________.
例2．已知曲线：.
（1）当为何值时，曲线表示圆；
（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.
【来源】青海省西宁市普通高中五校2020-2021学年高三上学期期末联考数学（理）试题
【变式演练1】已知圆：，斜率为1的直线与圆交于、两点.
（1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；
（2）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；
（3）当直线平行移动时，求面积的最大值.
类型二 直线与圆相切
例3. 过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【来源】百师联盟全国卷2021届高三开年摸底联考数学（理）试题
例4．已知圆与倾斜角为的直线相切于点，且与曲线相外切，则圆的方程为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【来源】河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考数学（理）试题
【变式演练2】已知圆在，两点处的切线均与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021新高考高考最后一卷数学第五模拟
【变式演练3】在平面直角坐标系中，已知点是上的动点，过点作圆的切线，切点为，当直线的斜率为正时，直线在轴和轴上的截距之和的最大值为___________.
【来源】西南名校联盟“3 3 3”2021届高三5月份高考数学（文）诊断性试题（三）
【高考再现】
1．（多选）（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
【反馈练习】
1．已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题
2．已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江苏省淮安市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
3．已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021届高三三模数学（文）试题
4．直线与圆交于M､N两点，O为坐标原点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【来源】河北省“五个一名校联盟”2021届高三下学期第二次诊断考试数学试题
5．已知直线：与圆：相交于，两点，点，分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年高三二轮复习讲练测（文理通用）
6．已知圆的方程为，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为
A．B．C．D．
【来源】西藏日喀则市南木林高级中学2021届高三第六次月考数学（理）试题
7．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知过的直线与圆交于两点（点在轴上方），若，直线的斜率为_______
9．已知直线与圆，若，直线与圆相交于，两点，则______，若直线与圆相切，则实数______.
10．已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【来源】江苏省南通市如皋中学2021-2022学年高三上学期期初测试数学试题
11．在平面直角坐标系中，已知点是直线上的动点，直线过点（-1，1），直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0，过点作圆的切线，切点为，，当直线的斜率为正时，直线在轴和轴上的截距之和的最大值为______．
【来源】西南名校联盟2021届高三下学期5月“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（三）数学（理）试题
12．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【来源】2021年天津高考数学试题
13．已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第五模拟）
14．已知为直线上一点，过点引圆的切线，若切线长的最小值为，则实数___________；
【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期五月联考文科数学试题
15．若圆的内接矩形的周长最大值为．
(1)求圆O的方程；
(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．
【来源】江西省赣州市南康区第三中学2021届高三数学（理）期中考试模拟试题
16．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
万能模板
内 容
使用场景
直线与圆相交
解题模板
第一步 确定直线与圆的位置关系，利用垂径定理、设参，点，引入直线方程；
第二步 求参，解方程。
万能模板
内 容
使用场景
直线与圆相切
解题模板
第一步 确定直线与圆相切，切点是否可知；
第二步 设参，引入切线方程，由点到线距离求参。
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专题39 直线与圆的位置关系
【高考地位】
直线与圆的位置关系一般包括直线与圆相交（与弦长有关）及直线与圆相切（切线方程，切线长等），是平面解析几何中相对基础的综合类问题，考查学生对平面几何知识的应用及运算，是进一步学习圆锥曲线综合问题的基础与准备。
类型一 直线与圆相交
例1．直线与圆相交于、两点，则__________.
例2．已知曲线：.
（1）当为何值时，曲线表示圆；
（2）若曲线与直线交于、两点，且（为坐标原点），求的值.
【来源】青海省西宁市普通高中五校2020-2021学年高三上学期期末联考数学（理）试题
【变式演练1】已知圆：，斜率为1的直线与圆交于、两点.
（1）化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；
（2）是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由；
（3）当直线平行移动时，求面积的最大值.
类型二 直线与圆相切
例3. 过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【来源】百师联盟全国卷2021届高三开年摸底联考数学（理）试题
例4．已知圆与倾斜角为的直线相切于点，且与曲线相外切，则圆的方程为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【来源】河南省顶级名校2021-2022学年高三上学期9月开学联考数学（理）试题
【变式演练2】已知圆在，两点处的切线均与直线平行，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021新高考高考最后一卷数学第五模拟
【变式演练3】在平面直角坐标系中，已知点是上的动点，过点作圆的切线，切点为，当直线的斜率为正时，直线在轴和轴上的截距之和的最大值为___________.
【来源】西南名校联盟“3 3 3”2021届高三5月份高考数学（文）诊断性试题（三）
【高考再现】
1．（多选）（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A．B．C．D．
【反馈练习】
1．已知直线与圆相交于，两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【来源】湖北省恩施州2021-2022学年高三上学期第一次教学质量监测数学试题
2．已知圆与轴交于两点，点的坐标为．圆过三点，当实数变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值，则此定直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【来源】江苏省淮安市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题
3．已知直线与圆相交于不同的两点、，为坐标原点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2021届高三三模数学（文）试题
4．直线与圆交于M､N两点，O为坐标原点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【来源】河北省“五个一名校联盟”2021届高三下学期第二次诊断考试数学试题
5．已知直线：与圆：相交于，两点，点，分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【来源】2021年高三二轮复习讲练测（文理通用）
6．已知圆的方程为，圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），则实数的值为
A．B．C．D．
【来源】西藏日喀则市南木林高级中学2021届高三第六次月考数学（理）试题
7．过点作圆与圆的切线，切点分别为､，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知过的直线与圆交于两点（点在轴上方），若，直线的斜率为_______
9．已知直线与圆，若，直线与圆相交于，两点，则______，若直线与圆相切，则实数______.
10．已知点Q是直线：上的动点，过点Q作圆：的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点___________.
【来源】江苏省南通市如皋中学2021-2022学年高三上学期期初测试数学试题
11．在平面直角坐标系中，已知点是直线上的动点，直线过点（-1，1），直线在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0，过点作圆的切线，切点为，，当直线的斜率为正时，直线在轴和轴上的截距之和的最大值为______．
【来源】西南名校联盟2021届高三下学期5月“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（三）数学（理）试题
12．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．
【来源】2021年天津高考数学试题
13．已知直线与圆相切于点，设直线与轴的交点为，点为圆上的动点，则的最大值为______．
【来源】2021年浙江省高考最后一卷数学（第五模拟）
14．已知为直线上一点，过点引圆的切线，若切线长的最小值为，则实数___________；
【来源】河南省九师联盟2021届高三下学期五月联考文科数学试题
15．若圆的内接矩形的周长最大值为．
(1)求圆O的方程；
(2)若过点的直线与圆O交于A，B两点，如图所示，且直线的斜率，求的取值范围．
【来源】江西省赣州市南康区第三中学2021届高三数学（理）期中考试模拟试题
16．已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
万能模板
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使用场景
直线与圆相交
解题模板
第一步 确定直线与圆的位置关系，利用垂径定理、设参，点，引入直线方程；
第二步 求参，解方程。
万能模板
内 容
使用场景
直线与圆相切
解题模板
第一步 确定直线与圆相切，切点是否可知；
第二步 设参，引入切线方程，由点到线距离求参。
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