新高考数学二轮复习 专题1 第2讲 三角恒等变换与解三角形（讲·） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第2讲 三角恒等变换与解三角形（讲·学生版）
高考定位
1.三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
2．解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度.
核心整合
1．三角求值的“三大类型”：“给角求值”“给值求值”“给值求角”．
2．三角恒等变换“四大策略”：
(1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降次与升次：正用二倍角公式————次，逆用二倍角公式————次．
(4)弦、切互化．
3．正、余弦定理及三角形面积公式
(1)eq \f(a,sin A)＝————＝————＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝————，c＝————；
sin A＝————，sin B＝————，sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a2＝————，b2＝a2＋c2－2accs B，c2＝————.
推论：cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝————，cs C＝————.
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，a2＋c2－b2＝————，a2＋b2－c2＝————.
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝————＝————.
（4）二级结论要用好
(1)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
(2)△ABC中，内角A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.
(3)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．
(4)S△ABC＝eq \f(abc,4R)(R为△ABC外接圆半径)．
真题体验
1．【2021•全国高考乙卷文科】 （ ）
A. B. C. D.
2.【2021•全国新高考Ⅰ卷】若，则（ ）
A. B. C. D.
3.【2021•全国高考甲卷文、理科】若，则（ ）
A. B. C. D.
4．【2021•全国高考甲卷文科】在中，已知，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
5.【2021•全国高考乙卷理科】魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A. 表高B. 表高
C. 表距D. 表距
6.【2021•全国高考乙卷文、理科】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
7.【2021•浙江省高考】在中，，M是的中点，，则___________，___________.
能力突破
考点一 三角恒等变换
【例1】 1．（2021·江西九江市九江一中高三期中）已知()，则（ ）
A．B．C．D．
2．(一题多解)已知sin α＋cs α＝eq \f(2\r(3),3)，则sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝________．
【规律方法】
三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
【易错警示】
(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况．
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
【对点训练1】
1．（2021·福建高三模拟）已知，且，则（ ）．
A．B．C．D．
2．（多选题）设，，若，则有（ ）
A．B．
C．D．
考点二 利用正、余弦定理解三角形
命题角度1 利用正、余弦定理解三角形
【例2—1】 1.（2021·重庆市实验中学高三月考）已知的内角的对边分别为，若，，则（ ）
A．B．C．6D．
2.（2021·宁夏青铜峡市高级中学高三期中（理））在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【规律方法】
应用正、余弦定理解题的技巧
(1)求边：利用公式a＝eq \f(bsin A,sin B)，b＝eq \f(asin B,sin A)，c＝eq \f(asin C,sin A)或其他相应变形公式求解．
(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝eq \f(asin B,b)，sin B＝eq \f(bsin A,a)，sin C＝eq \f(csin A,a)或其他相应变形公式求解．
(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．
(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．
命题角度2 利用正、余弦定理进行面积计算
【例2—2】 1.（2021·安徽六安二中高三月考）已知在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
2.在下列条件：
①(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C；②asin B＝bcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))；③bsineq \f(B＋C,2)＝asin B中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＋c＝6，a＝2eq \r(6)，____________．求△ABC的面积．
【规律方法】
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．三角形面积公式还可用其它几何量表示S＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)r，其中a＋b＋c为三角形的周长，r为三角形内切圆的半径．
命题角度3 解三角形中的最值、范围问题
【例2—3】（1）（2021·四川高三月考（文））在中，设，，分别为角，，对应的边，若，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
（2）在：①a＝eq \r(3)csin A－acs C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝eq \r(3)，而且________．
(1)求角C；
(2)求△ABC周长的最大值．
【规律方法】
(1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．
(2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．
命题角度4 正余弦定理的实际应用
【例2—4】（1）（2021·重庆一中高三月考）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离（如图），其中为雷达天线架设高度，为探测目标高度，为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，等效取，故远大于，．假设某探测目标高度为，为保航母的安全，须在直视距离外测探到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
(2)（多选题）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ）
A．处与处之间的距离是；B．灯塔与处之间的距离是；
C．灯塔在处的西偏南60°；D．在灯塔的北偏西30°．
【规律方法】
正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面.解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解.注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验.
【对点训练2】
1.（2021·四川成都市双流中学高三三模（理））在中，角所对的边分别为，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·河南驻马店高三月考（文））黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·浙江丽水外国语实验学校高三期末）锐角中，内角A,B,所对的边分别为，，，且，则角A的大小为___________；若，则面积S的取值范围是___________．
考点三 三角恒等变换与解三角形的综合应用
命题角度1 三角函数图象、性质与三角恒等变换
【例3—1】 【2021•浙江省高考】设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【规律方法】
三角函数图象、性质与三角恒等变换主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.
命题角度2 三角函数的图象、性质与解三角形
【例3—2】 （2021•天津高考）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【规律方法】
三角函数的图象、性质与解三角形问题一般涉及三角形的角度、边长、面积、周长等的问题.一般可选择适当的参数将问题转化为三角形函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y＝Asinωx＋φ或y＝Acsωx＋φ的函数问题，然后根据参数的范围求解或者借助正余弦定理，化角的正余弦函数为边，然后借助三角函数的图象、性质来求解
命题角度3 三角函数、解三角形及平面向量的综合应用
【例3-3】（2021·哈尔滨市呼兰区第一中学校高三模拟（文））的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求角和边长；
（2）设为边上一点，且为角的平分线，试求三角形的面积；
（3）在（2）的条件下，点为线段的中点，若，分别求和的值．

【解题关键】在解决第（2）问时，要注意内角角平分线定理的使用，这是解决这题的关键.
【对点训练3】
1．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，向量，，且.
（1）求A的值；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.
2.（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）已知函数.
（1）利用“五点法”列表，并画出在上的图象；
（2），，分别是锐角中角，，的对边.若，，求面积的取值范围.
3.（2021·珠海市第二中学高三月考）从下面三个条件：①函数的图象关于直线对称；
②函数的图象关于点对称；
③函数在区间上单调递增
从中任选一个补充在下面的问题中，若问题中的正实数存在，求出的值；若不存在，说明理由．
已知函数的最小正周期不小于，且满足_______，是否存在正实数，使得函数在区间的最大值为？