新高考数学二轮复习 专题6 第2讲　基本初等函数、函数与方程（讲） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第2讲 基本初等函数、函数与方程（讲·学生版）
高考定位
1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型，一般出现在第5～8题的位置，有时难度较大．
2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，函数零点的个数判断及参数取值范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．
核心整合
1．利用指数函数与对数函数的性质比较大小
(1)底数相同、指数不同的幂用指数函数的————进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的————进行比较．
(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入————或结合图象进行比较．
2．对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑————，其次利用性质求解．
2．函数的零点及其与方程根的关系
对于函数f(x)，使f(x)＝0的————叫做函数f(x)的零点．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的————．
3．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是————的一条曲线，并且有————，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根
4. 解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答．
真题体验
1．（2021•天津高考）若，则（ ）
A．B．C．1D．
2.（2021•新高考全国II卷）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021•高考全国甲卷文、理科）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6
4.（2021•天津高考）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021•北京高考）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有两个零点；
②，使得有一个零点；
③，使得有三个零点；
④，使得有三个零点．
以上正确结论得序号是_______．
能力突破
考点一 基本初等函数的图象与性质
【例1】 1. (2020·高考全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))单调递增
B．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减
C．是偶函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递增
D．是奇函数，且在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))单调递减
2.（2021•天津高考）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3.（一题多解）(2020·高考全国Ⅰ卷)若2a＋lg2a＝4b＋2lg4 b，则( )
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a【规律方法】
基本初等函数的图象与性质的应用技巧
(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和01时，两函数在定义域内都为增函数；当0(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断；
(3)对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
【对点训练1】
1．（2021•全国高考乙卷理科）设，，．则（ ）
A. B. C. D.
2.（多选题）（2021·辽宁丹东市高三月考）设，则（ ）
A．B．C．D．
3.（2021·宁夏中卫市高三三模（理））已知函数是定义域为上的奇函数，且对任意，都有成立，当时，，则_______.当时，_______.
考点二 函数与方程
命题角度1 函数零点个数或所在区间判断
【例2—1】 1.（2021·山西太原五中高三月考（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
2.(2020·湖南长沙市调研) 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xex，x≤0，,2－|x－1|，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点x1，x2，则x1＋x2等于( )
A．2 B．2或2＋eq \f(1,e)
C．2或3 D．2或3或2＋eq \f(1,e)
2.(2020·辽宁沈阳市教学质量监测(一)) 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－1）2，0＜x≤2，,f（x－2）＋1，x＞2，))则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【规律方法】
(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；
②利用零点存在性定理进行判断；
③画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
(2)判断函数零点个数的方法
①直接求零点：令f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
②利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．
命题角度2 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围
【例2—2】 1.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2\r(x)，0≤x≤1，,\f(1,x)，x>1.))若关于x的方程f(x)＝－eq \f(1,4)x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(9,4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(9,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1} D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(9,4)))∪{1}
2.（2021·北京高三二模）已知函数，().若函数是偶函数，则___________；若函数存在两个零点，则的一个取值是___________.
【规律方法】
利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

【对点训练2】
1.（2021·富川瑶族自治县高级中学高三期中 ）函数在上的零点个数为（ ）
A．2B．4C．5D．6
2.(多选题）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2a，x<0，,x2－ax，x≥0，))若关于x的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a的值可能为( )
A．－6 B．8 C．9 D．12
3．（2021·天津高三二模）已知定义在上的偶函数，当时，若函数恰有六个零点，且分别记为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点三 函数的实际应用
命题角度1 三角函数的单调性
【例3—1】1. (2020·高考全国Ⅲ卷) Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.23（t－53）)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
2.已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝eq \f(x,4)，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝eq \f(a,2)eq \r(x)(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为( )
A.eq \r(5) B．5
C.eq \r(2) D．2
【规律方法】
1、应用函数模型解决实际问题的常见类型
(1)应用所给函数模型解决实际问题；
(2)构建函数模型解决实际问题．
2、应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键
(1)一般程序：eq \f(读题,文字语言)⇒eq \f(建模,数学语言)⇒eq \f(求解,数学应用)⇒eq \f(反馈,检验作答).
(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
【对点训练3】
1．（2021·海南高三二模）渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度与其出水后时间（分）满足的函数关系式为．若出水后分钟，这种鱼失去的新鲜度为，出水后分钟，这种鱼失去的新鲜度为．那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知，结果取整数）（ ）
A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟
2．(2019·北京高考) 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
3．（2021·山东威海市高三期末）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．