新高考数学二轮复习 专题6 第4讲　导数与不等式（练） 【新教材·新高考】

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高考数学一轮靠老师勤奋、学生努力；高考数学二轮主要看老师的把握水平(课标、考纲)，研究水平(选题、集体备课)，辅导水平(课堂辅导，课后个辅)。
二、高考数学二轮复习要注意明确两个做法：抓审题，抓个辅
抓审题：让学生说出来，让思维呈现出来。充分调动学生审题、变题能力;
抓个辅：教师要有个辅学生问题清单，让辅导有针对性;个辅全程性，个辅不只在课后，课堂个辅也是关键。
三、高考数学二轮复习要注意坚持三个过关：必须记忆过关;必须限时过关;必须心理过关
1、高考数学每节课必须花5分钟过关记忆性知识。
2、学生训练最大的状态就是能限时过关，应试能力也是数学解题能力，极大限度地减少题海战术。
3、学生最大的障碍就是就是心理问题。
四、高三数学二轮复习要注意避免四个重复：
重复一轮复习老路；重复成套试题训练；重复迷信名校资料；重复个人喜好方向。

第4讲 导数与不等式（练·教师版）
1．（2021·福建龙岩市高三三模）已知函数
（1）证明：在区间存在唯一极小值点；
（2）证明：.
【解析】（1）证明：，
当，则，，，又因为，
所以，所以在单调递增.
当，，
令，，
又因为，所以在单调递减，
所以，所以，即，又因为，
所以，所以在单调递减.
又因为，所以在区间存在唯一极小值点
（2）因为，①，
令，则，所以在递减，
所以，即当.
要证①，只需证
令，
，
令，所以，
所以在单调递减，
又因为，，
所以，使，即，，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以，
所以原不等式得证
2．（2021·山东聊城一中高三一模）已知函数，其中e是自然对数的底数．
（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；
（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）设切点为，其中，
有，且
得，所以，易解得：，则；
（2）记，有，
当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；
当时，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，
则有，记，
有，
易知在单调递增，在单调递减，
则，所以，得.
3．（2021·广西桂林市高三二模（理））已知实数，设函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若对任意的，均有，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，由，解得．
当时，，故在内单调递增；
当时，，故在内单调递减．
函数在取得极小值，无极大值．
（2）由，则有．
令，得．
当时，不等式显然成立，
当时，两边取对数，即恒成立．
令函数，
即在内恒成立．
由，
得．
故当时，单调递增；
当时，单调递减．
因此．
令函数，其中，
则，得，
故当时，单调递减；
当时，单调递增．
又，
故当时，恒成立，因此恒成立，
即当时，对任意的，均有成立．
4．（2021·山东日照市高三一模）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若且，证明：，．
【解析】（1）函数的定义域为，
∵，∴
∴由得或
由得；
∴的单调递增区间为和；单调递减区间为．
（2）欲证，，即证，，
令，，则，
令，则，
因为，所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以欲证，，只需证，①
因为，所以，
即，②
令，则，当时，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，故②式可等价变形为：
所以，欲证①式成立，只需证成立
所以仅需证，
令，（），则，
∴在上单调递增，
故，即，
∴结论得证．
5．(2020·高考全国卷Ⅱ) 已知函数f(x)＝sin2xsin 2x.
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
(2)证明：|f(x)|≤eq \f(3\r(3),8) ；
(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤eq \f(3n,4n).
(1)解：f′(x)＝2sin xcs xsin 2x＋2sin2xcs 2x
＝2sin xsin 3x.
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))时，f′(x)>0；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))时，f′(x)<0.
所以f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))上单调递增，
在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))上单调递减．
(2)证明：因为f(0)＝f(π)＝0，
由(1)知，f(x)在区间[0，π]上的最大值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝eq \f(3\r(3),8)，
最小值为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－eq \f(3\r(3),8).
而f(x)是周期为π的周期函数，
故|f(x)|≤eq \f(3\r(3),8).
(3)证明：由于
＝|sin3xsin32x…sin32nx|
＝|sin x||sin2xsin32x…sin32n－1xsin 2nx||sin22nx|
＝|sin x||f(x)f(2x)…f(2n－1x)||sin22nx|
≤|f(x)f(2x)…f(2n－1x)|，
所以sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤＝eq \f(3n,4n).
6．（2021·四川成都市高三三模（理））已知函数，其中，．
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数在上恰有两个极小值点，，求的取值范围；并判断是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）当时，，则．
设，则，．显然．
在上单调递增．
又，当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
，，函数的值域为．
（2），
是上的偶函数．
“函数在上恰有两个极小值点”等价于“函数在上恰有一个极小值点”．
因，设，则．
①当时，，则在上单调递减．．
则，此时在上单调递减，无极小值．
②当时，，则在上单调递增．．
则，此时在上单调递增，无极小值．
③当时，存在，使．
当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
，．又，
（i）当，即时，．
，此时在上单调递减，无极小值．
（ii）当，即时，．
则存在，使得．……（*）
当时，；当时，．
在上单调递减，在上单调递增．
函数在上恰有一个极小值点．此时，是函数的极大值点．
当函数在上恰有两个极小值点时，的取值范围为．
，
若，则
由（*）式，知．．
整理得．
，，．
存在，使得成立．
7．（2021·河北高三二模）已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求证：.
【解析】（1）定义域为
①当，，令，解得，令，解得，
的增区间为，减区间为；
②当，令，解得或，令，解得，
的增区间为，，减区间为；
③当，恒成立，的增区间为，无减区间；
④当，令，解得或，令，解得，
的增区间为，，减区间为；
（2），因为，所以在上单调递增
，
（设，，则，所以单调递增，所以，即）
，使得，即，
且当，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增
所以
设，，则
所以在上单调递减，
所以，命题得证.
8.（2021·山东泰安市高三一模）已知函数.
（1）讨论函数的极值点的个数；
（2）已知函数有两个不同的零点，且.证明：.
【思路导引】1）易知函数的定义域为，求导可得，令，则，由的单调性可得 ，再分和讨论即可得解；
（2）由题意知，，
由的单调性可得，若要函数有两个不同零点
则有，即，再根据，
令，可得，令，可得，作差即可得解.
【解析】（1）解：函数的定义域为，
.
令，
则
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，
，
在上单调递减，
此时，无极值点；
当时，，
，
在上有且只有一个零点.
在上有且只有一个极值点.
又，，
在上有且只有一个零点，
在上有且只有一个极值点.
综上所述，当时，无极值点；
当时，有个极值点；
（2）证明：，则
.
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
.
函数有两个不同零点，且，
，即，
.
又，
令，
则.
令，
则，
单调递增，
，
，
单调递增，
，
，
.
令，
则.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，
即，
.
令，则，
，
.