河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份河南省南阳市华龙高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题。本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在等差数列中，，则（ ）
A．18B．22C．23D．26
2．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12B．10C．5D．
3．已知等差数列的前项和为，且则数列的公差为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．《海岛算经》有如下问题：某地有一佛塔共13层，每层塔的高度依次构成等差数列，下面7层塔的高度之和为25.9米，自下而上第5层塔的高度为3.6米，则最上层的塔高为（ ）
A．3米B．2.9米C．2.8米D．2.7米
5．已知数列满足：，，则（ ）
A．19B．21C．23D．25
6．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21B．18C．15D．12
7．已知等差数列和的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10B．
C．D．10，8，6，4，2
10．下列数列为等比数列的是（ ）
A．B．C．D．
11．某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料：
根据表中的数据可得到经验回归方程为. 则（ ）
A．
B．y与x的样本相关系数
C．表中维修费用的第60百分位数为6
D．该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元
12．深圳某中学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务绘出满意或不满意的评价，得到如表所示的列联表，经计算，则下列结论正确的是（ ）
A．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为；
B．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意：
C．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；
D．根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．数列满足，，则 ．
14．数列满足，则数列的通项公式为 .
15．在等比数列中，与是方程的两根，则＝ ．
16．已知等差数列的前项和为，若公差，；则的值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其余12分。
17．记为数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
18．等比数列的公比为2，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
19．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
21．为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表：
(1)从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率.
(2)试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由.
附：，其中.
22．某民营学校为增强实力与影响力，大力招揽名师、建设校园硬件设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
(2)求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
满意
不满意
男
30
20
女
40
10
0.100
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.535
男大学生
女大学生
合计
关注原创音乐剧
250
300
550
不关注原创音乐剧
250
200
450
合计
500
500
1000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份序号x
1
2
3
4
5
招生人数y/千人
0.8
1
1.3
1.7
2.2
参考答案：
1．D
【解析】设等差数列的公差为，根据，求得：，再代入等差数列通项公式求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，
所以，
解得：，
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
3．B
【分析】
根据等差数列的前项和公式列出等式即可求解.
【详解】设等差数列的公差为.
因为，
所以，.
又因为，
所以，解得：.
故选：B.
4．C
【分析】
将问题转化为等差数列问题，再利用等差数列的通项公式、性质与求和公式即可得解.
【详解】设该塔从下到上每层高度依次排列构成等差数列，且的公差为d，前n项和为．
由题意得，，
因为，得，
所以，
则.
故选：C.
5．B
【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得.
【详解】在数列中，，，
所以.
故选：B
6．A
【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案.
【详解】因为为等比数列的前项和且，
所以成等比数列，即3，6，成等比数列，
所以，所以．
故选：A．
7．A
【分析】利用等差数列下标和进行转化，构造出前项和的形式求解即可.
【详解】易知.
故选：A
8．D
【分析】根据散点的分布可得出合适的回归方程类型.
【详解】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢.
A中，是直线型，均匀增长，不符合要求；
B中，是二次函数型，函数对称轴为轴，
当时，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求；
当时，图象呈现上凸，呈递减趋势，不符合要求；
C中，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求；
D中，是对数型，增长缓慢，符合要求.
故对数型最适宜该回归模型.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果.
【详解】根据等差数列的定义，可得：
A中，满足(常数)，所以是等差数列；
B中，满足(常数)，所以是等差数列；
C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足(常数)，所以是等差数列.
故选：ABD.
10．CD
【分析】根据等比数列的定义，判断是否为定值且首项不为0，即可判断各项是否为等比数列.
【详解】A：，则不为定值，不满足；
B：，则不为定值，不满足；
C：，则为定值，且，满足；
D：，则为定值，且，满足.
故选：CD
11．ABC
【分析】对A，计算出样本中心，代入方程计算出，对B，根据相关系数的概念可判断，对C，根据百分位数的定义求解，对D，根据回归分析概念判断.
【详解】根据题意可得，，，
所以样本中心点为，
对于A，将样本中心点代入回归方程，可得，故A正确；
对于B，由表中数据可得随着增大而增大，与正相关，所以相关系数，故B正确；
对于C，维修费用从小到大依次为，第60百分位数为，故C正确；
对于D，根据回归分析的概念，机床投入生产的时间为 10年时，所需要支出的维修费用大概是12.38万元，故D错误.
故选：ABC.
12．AC
【分析】根据列联表计算男、女生对食堂服务满意的概率的估计值，即可判断A，B；根据独立性检验的原则，结合，与临界值表比较，可判断C，D.
【详解】对于A，由列联表可知该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为，正确；
对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为，
即该学校女生比男生对食堂服务更满意，B错误；
对于C，D，由于，
故根据小概率值的独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异；
根据小概率值的独立性检验，不能认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，C正确，D错误，
故选：AC
13．
【分析】
利用累乘法求得正确答案.
【详解】
，
也符合上式，
所以.
故答案为：
14．
【分析】根据等差数列定义写出的通项公式，进而可得的通项公式.
【详解】由题设是首项、公差均为1的等差数列，则，故.
故答案为：
15．2
【分析】利用韦达定理和下标和性质求解可得.
【详解】因为与是方程的两根，
所以，
所以，且均为正数，
所以,
故，.
故答案为：2
16．
【分析】设等差数列的奇数项的和为，偶数项之和为，可得出，再由可求出、的值，即为所求结果.
【详解】设，，
因为数列是等差数列，且公差，，
所以，解得，，
所以.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用，再结合等比数列的概念，即可求出结果；
（2）由（1）可知数列是以为首项，公差为的等差数列，根据等差数列的前项和公式，即可求出结果.
【详解】（1）解：当时，，解得；
当且时，
所以
所以是以为首项，为公比的等比数列所以；
（2）解：由（1）可知，
所以，
又 ,
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以数列的前项和.
18．(1)
(2)
【分析】(1)运用等差中项求出 ，再根据等比数列的通项公式求出 ；
(2)根据条件求出 的通项公式，再分组求和.
【详解】（1）已知等比数列的公比为2，且成等差数列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
综上，
19．（1）；（2）.
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等比数列的下标性质进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
20．(1)；；
(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
21．(1)
(2)有关联，理由见解析
【分析】（1）直接计算概率即可.
（2）计算，对比数据得到答案.
【详解】（1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，这人是女大学生的概率为.
（2）零假设为：是否关注原创音乐剧与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到，
当时，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.
22．(1)证明见解析
(2)，2.8千人．
【分析】
（1）求出，代入求出相关系数即可；
（2）根据公式求出，再求出，则得到回归直线方程，再代入数据预测即可.
【详解】（1）由题意知，，
，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
（2），，
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为2.8千人．