高考物理一轮复习6.3机械能守恒定律--机械能守恒定律及其应用-(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习6.3机械能守恒定律--机械能守恒定律及其应用-(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了非质点类物体机械能守恒等内容，欢迎下载使用。

考向一 单物体机械能守恒
考向二 非质点类物体机械能守恒
考向三 连接体（绳杆））系统机械能守恒
考向四 含弹簧的系统机械能守恒问题
考向一 单物体机械能守恒
一、重力做功与重力势能的关系
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh.
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp.
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2).
3．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
【典例1】(2022·福建三明一中高三月考)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断不正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒
B．图乙中，斜面体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．图丙中，连接A、B的绳子不可伸长，不计任何阻力和定滑轮及绳子的质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【答案】B
【解析】题图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统只受重力和系统内的弹力，所以机械能守恒，故A项不符合题意；题图乙中，物块B沿A匀速下滑的过程中，B重力势能减小，动能不变，所以B的机械能减小，故B项符合题意；题图丙中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B物体只有重力做功，机械能守恒，故C项不符合题意；题图丁中，小球在做圆锥摆运动的过程中，重力势能和动能都不变，则小球的机械能守恒，故D项不符合题意。
【典例2】 (2022·山东省枣庄市高三上9月月考).如图所示是一竖直固定在水平地面上的可伸缩细管，上端平滑连接四分之一细圆弧弯管，管内均光滑，右管口切线水平。竖直细管底部有一弹射装置(高度忽略不计)，可以让静止在细管底部的小球(可视为质点)瞬间获得足够大的速度v0，通过调节竖直细管的长度h，可以改变上端管口到地面的高度，从而改变小球平抛的水平距离，重力加速度为g，则小球平抛的水平距离的最大值是( )
A.eq \f(v02,g) B.eq \f(v02,2g) C.eq \f(v02,3g) D.eq \f(v02,4g)
【答案】B
【解析】设管口到地面的高度是H，小球从管口射出的速度为v，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv02＝mgH＋eq \f(1,2)mv2，小球离开管口后做平抛运动，则x＝vt，H＝eq \f(1,2)gt2，联立方程，可得x＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq \r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函数的特点可知当H＝eq \f(v02,4g)时x取最大值，xmax＝eq \f(v02,2g)。
练习1、(多选)(2022·四川内江月考)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，则经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
【答案】BD
【解析】空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。
练习2、(2022·江苏如皋中学模拟)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1，在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g，则FN1－FN2的值为( )
A.3mg B.4mg
C.5mg D.6mg
【答案】D
【解析】在最高点，根据牛顿第二定律可得FN2＋mg＝meq \f(veq \\al(2,2),r)，在最低点，根据牛顿第二定律可得FN1－mg＝meq \f(veq \\al(2,1),r)，从最高点到最低点过程中，机械能守恒，故有mg·2r＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，联立三式可得FN1－FN2＝6mg，选项D正确。
【巧学妙记】
1.对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程中机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)利用守恒条件判断。
(3)利用能量转化判断：若系统与外界没有能量交换，系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。
3．判断机械能守恒的“三点”注意
(1)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能不一定守恒。
(2)合外力所做的功等于零，或者合外力等于零时，机械能不一定守恒。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
考向二 非质点类物体机械能守恒
绳索，链条类物体的机械能守恒问题
“绳(考虑重力)”“链条”“过山车”等类物体，它们在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理．
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置及其高度变化量，根据初、末状态物体重力势能的减少量等于动能的增加量列式求解．
像“液柱”“链条”“过山车”类物体，在其运动过程中会发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。
【典例3】(2022·贵州安顺调研)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为va、vb、vc，则关于va、vb、vc的关系，下列判断中正确的是( )
A．va＝vb＝vc B．vaC．vc>va>vb D．va>vb>vc
【答案】C
【解析】设桌面下方L处为零势能面。链条由静止释放之后，到整根刚离开桌面，由于桌面无摩擦，对三种情况，则释放前，系统的重力势能为：图a中，Ep1＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＝eq \f(7,8)mgL，图b中，Ep2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m＋m))gL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＝eq \f(15mgL,8)，图c中，Ep3＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＋mg·eq \f(L,2)＝eq \f(11,8)mgL。释放后，整根链条刚离开桌面时，系统的重力势能为：图a中，Ep1′＝mgeq \f(L,2)，图b中，Ep2′＝mgL＋mg·eq \f(L,2)＝eq \f(3,2)mgL，图c中，Ep3′＝eq \f(1,2)mgL。则系统损失的重力势能ΔEp1＝eq \f(3,8)mgL，ΔEp2＝eq \f(3,8)mgL，ΔEp3＝eq \f(7,8)mgL，而ΔEp1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，ΔEp2＝eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,b)，ΔEp3＝eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,c)，解得：veq \\al(2,a)＝eq \f(3,4)gL，veq \\al(2,b)＝eq \f(3,8)gL，veq \\al(2,c)＝eq \f(7,8)gL，显然veq \\al(2,c)>veq \\al(2,a)>veq \\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正确。
【典例4】(多选)(2022·河北张家口质检)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中
( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是eq \f(1,4)ρgS(h1－h2)2
【答案】ACD
【解析】把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高eq \f(h1－h2,2)的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降eq \f(h1－h2,2)，重力所做正功：WG＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h2,2)))ρgS·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h2,2)))＝eq \f(1,4)ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确，B错误。
练习3、(2022浙江宁波模拟)如图所示，AB是半径为R的四分之一圆弧轨道，轨道底端B点与一水平轨道BC相切，水平轨道又在C点与足够长的斜面轨道CD平滑连接，轨道B处有一挡板(厚度不计)．在圆弧轨道上静止摆放着N个半径为r(r≪R)的光滑刚性小球，恰好将AB轨道铺满，小球从A到B依次标记为1、2、3、…、N号．现将B处挡板抽走，N个小球均开始运动，不计一切摩擦，考虑小球从AB向CD运动的过程，下列说法正确的是( )
A．N个小球在离开圆弧轨道的过程中均做匀速圆周运动
B．1号小球第一次经过B点的速度一定小于eq \r(2gR)
C．1号小球第一次经过B点的向心加速度大小一定等于2g
D．N号小球第一次沿CD斜面上升的最大高度为R
【答案】B
【解析】通过受力分析可知，AB轨道上的小球在下滑的过程中要做加速运动，故A错误；若只有重力对1号小球做功，则在其运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv2＝mgR，解得v＝eq \r(2gR)，但是1号小球在下滑过程中，始终受到二号小球对它的弹力，该弹力对它做负功，所以1号小球第一次经过B点的速度v′练习4、(2022·山西太原一中质检)如图所示，露天娱乐场的空中列车由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)?
【答案】eq \r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4πR,L))))
【解析】当列车进入圆形轨道后，其动能逐渐减小，重力势能逐渐增大，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时列车的速度最小，设此时列车的速度为v，列车的质量为M，圆轨道上那部分列车的质量M′＝eq \f(M,L)·2πR
由机械能守恒定律可得：eq \f(1,2)Mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)Mv2＋M′gR
又因列车运行速度最小时，圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝meq \f(v2,R)，m为圆形轨道顶部车厢的质量．
联立解得：v0＝eq \r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4πR,L)))).
【巧学妙记】
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的各部分的重心位置及重心高度的变化量，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
分析非质点类物体的动能时，要看物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为eq \f(1,2)mv2。
考向三 连接体（绳杆））系统机械能守恒
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
【典例5】（湖北省2022年普通高中学业水平等级考试）16. 打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
【答案】（1）；（2）6.5mg；（3）
【解析】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知
解得
CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
解得F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知
令
对上式求导数可得
当时解得
即
此时
于是有
解得
此时C的最大动能为
【典例6】(2022·东北三省三校质检)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(可视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为eq \r(2＋\r(2)gl)
D．a球的最大速度为eq \r(\r(2)gl)
【答案】C
【解析】a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A项错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcsθ＝vasinθ，则vb＝vatanθ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B项错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由机械能守恒定律有mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)l＋l))＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)，解得vb＝eq \r(2＋\r(2)gl)，C项正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·eq \f(\r(2),2)l＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，解得va＝eq \r(\r(2)gl)，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D项错误。
练习5.(多选)(2022·黑龙江重点中学联考)如图所示，有质量为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(eq \r(3)－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
解析：选CD 对于P、Q组成的系统，由于弹簧对Q要做功，所以系统的机械能不守恒；但对P、Q和弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故A错误；将P、Q的速度进行分解，如图所示，
当α＝45°时，根据P、Q沿轻杆方向的分速度相等得vQcs 45°＝vPcs 45°，可得vP＝vQ，但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B错误；根据系统机械能守恒可得Ep＝2mgL(cs 30°－cs 60°)，弹性势能的最大值为Ep＝(eq \r(3)－1)mgL，故C正确；P下降过程中动能达到最大前，P加速下降，对P、Q整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3mg－N＝2ma，则有N＜3mg，故D正确。
练习6、（2022年河北省普通高中学业水平选择性考试）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体和用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量，时刻将两物体由静止释放，物体的加速度大小为。时刻轻绳突然断开，物体能够达到的最高点恰与物体释放位置处于同一高度，取时刻物体所在水平面为零势能面，此时物体的机械能为。重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A. 物体和的质量之比为B. 时刻物体的机械能为
C. 时刻物体重力的功率为D. 时刻物体的速度大小
【答案】BCD
【解析】A．开始释放时物体Q的加速度为，则，
解得 选项A错误；
B．在T时刻，两物体的速度
P上升的距离
细线断后P能上升的高度
可知开始时PQ距离为
若设开始时P所处位置为零势能面，则开始时Q的机械能为
从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为
则此时物体Q的机械能
此后物块Q的机械能守恒，则在2T时刻物块Q的机械能仍为，选项B正确；
CD．在2T时刻，重物P的速度
方向向下；此时物体P重力的瞬时功率
选项CD正确。
故选BCD。
【巧学妙记】
绳连物体系统机械能守恒
求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
杆连物体系统机械能守恒
求解这类问题时，由于二者角速度相等或沿杆方向速率相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，最后根据ΔEk＝－ΔEp列出机械能守恒的方程求解．
考向四 含弹簧的系统机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
【典例7】(多选)(2022·东北三省三校质检)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是( )
A．B受到细线的拉力保持不变
B．A、B组成的系统机械能不守恒
C．B机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
D．当弹簧的拉力等于B的重力时，A的动能最大
【答案】 BD
【解析】对A有FT－kx＝mAa，对B有mBg－FT＝mBa，联立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度达到最大的过程中，B的加速度逐渐减小，可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误；A、弹簧与B组成的系统机械能守恒，而A、B组成的系统机械能不守恒，B正确；B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力等于B的重力时，B的速度最大，A的速度也达到最大，则动能最大，D正确。
【典例8】 (2022·河南洛阳质检)如图所示，质量为mB＝3.5 kg的物体B通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数k＝100 N/m。一轻绳一端与物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O2、O1后，另一端与套在光滑直杆顶端质量为mA＝1.6 kg的小球A连接。已知直杆固定，杆长L＝0.8 m，且与水平面的夹角θ＝37°。初始时使小球A静止不动，与A端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F＝45 N，已知AO1＝0.5 m，重力加速度g＝10 m/s2，绳子不可伸长，现将小球A从静止释放，求：
(1)在释放小球A前弹簧的形变量；
(2)若直线CO1与杆垂直，求小球A运动到C点的过程中绳子拉力对小球A所做的功；
(3)小球A运动到底端D点时的速度。
【答案】：(1)0.1 m (2)7 J (3)2 m/s
【解析】(1)释放小球A前，物体B处于平衡状态，由于绳子中的张力F>mBg，则弹簧处于伸长状态，设伸长量为x，则有F＝kx＋mBg，代入数值得x＝0.1 m，即弹簧被拉长了0.1 m。
(2)物理过程分析：在小球A由A→C过程中，小球A到O1间的距离逐渐减小，物体B向下运动，由于直线CO1与杆垂直，当小球A运动到C处时，沿绳子方向的速度为0，即此时B的速度为0。小球A从杆顶端运动到C点的过程，对A由动能定理得WF＋mAgh＝eq \f(1,2)mAvA2－0，小球A下降的高度h＝CO1cs 37°＝AO1sin 37°cs 37°＝0.24 m。这一过程中B下降的高度h′＝AO1－CO1＝0.2 m，由此可知弹簧被压缩了0.1 m，则弹簧的弹性势能在初、末状态相同。由于此时vB＝0，以A、B和弹簧为系统，由机械能守恒有mAgh＋mBgh′＝eq \f(1,2)mAvA2。
解得WF＝mBgh′＝7 J。
(3)因杆长L＝0.8 m，故∠CDO1＝θ＝37°，故DO1＝AO1，弹簧的伸长量依然为0.1 m，与最初状态相比弹簧的弹性势能相同，物体B又回到了初始位置，其重力势能也与最初状态相同。在D点将A的速度沿绳和垂直绳分解，如图所示，其中沿绳方向的分速度vx与B的速度相等，即vB′＝vx＝vA′cs 37°＝0.8vA′，由机械能守恒：mAgLsin 37°＝eq \f(1,2)mAvA′2＋eq \f(1,2)mBvB′2，代入数据得小球A运动到杆的底端D点时的速度
vA′＝2 m/s。
练习7、(多选)(2022·山东师范大学附中月考)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【答案】AD
【解析】在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．
练习8、(2022·浙江温州月考)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度．求：
(1)斜面倾角α；
(2)B的最大速度v.
【答案】(1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
【解析】(1)当物体A刚离开地面时，设弹簧的伸长量为xA，对A有kxA＝mg，
此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT
三个力的作用，设B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有FT－mg－kxA＝ma，对C有4mgsin α－FT＝4ma，当B获得最大速度时，有a＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°.
(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝eq \f(mg,k)，显然xA＝xB.当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离均为xA＋xB.由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，而且物体A刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝eq \f(1,2)(4m＋m)v2，代入数值解得v＝2geq \r(\f(m,5k)).
1. (2022·湖南六校联考)关于机械能守恒定律，下列说法正确的是( )
A．物体所受合力为零，机械能一定守恒
B．物体所受合力不为零，机械能一定不守恒
C．只有重力和系统内弹力作用的系统机械能守恒
D．系统机械能守恒，说明系统只有动能和重力势能间转化且机械能总量不变
2. (多选)(2022·广东南海中学月考)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
3．(2022·重庆高三模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则( )
A．A球的最大速度为2eq \r(gl)
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为eq \r(\f(8\r(2)＋1gl,3))
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
4．(多选)(2022宁波调研)某娱乐项目中，参与者抛出一小球去撞击触发器，从而进入下一关，现在将这个娱乐项目进行简化，假设参与者从触发器的正下方以速率v竖直上抛一小球，小球恰好击中触发器，若参与者仍在刚才的抛出点，沿A、B、C、D四个不同的光滑轨道分别以速率v抛出小球，如图所示．则小球能够击中触发器的可能是( )
5．(2022·浙江温州月考)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
6.(多选)(2022·福建三明一中高三月考)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin53°＝0.8，cs53°＝0.6)( )
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
7．(多选)(2022·吉林调研)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0.7 m，bc＝0.5 m，那么在整个过程中( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．整个过程滑块与弹簧组成的系统机械能守恒
8.(多选)(2022·广东深圳高三测试)如图所示，质量为M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l0的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内．图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中点，θ＝30°.现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．下滑过程中小球的机械能守恒
B．小球滑到B点时的加速度大小为eq \f(\r(3),2)g
C．小球下滑到B点时速度最大
D．小球下滑到C点时的速度大小为eq \r(2gl0)
9、(多选)(2022·吉林调研)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
10、(2022·河北衡水中学高三月考)如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，B距地面足够高．用手托住物体B使绳子刚好伸直且没有拉力，然后由静止释放．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小．
1.(2022·山东德州月考)以下对机械能守恒的理解，正确的是( )
A．如果机械能只在系统内部物体间转移，则该系统机械能一定守恒
B．如果系统内部只有动能与势能的相互转化，则该系统机械能一定守恒
C．如果物体受力平衡，则物体与地球组成的系统机械能一定守恒
D．如果外力对一个系统所做的功为0，则该系统机械能一定守恒
2、(2022·河北衡水中学高三月考)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
3. (2022·山东青岛月考)一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初速度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A点做圆周运动，当小球到达最高点N时绳子的拉力大小为( )
A．0 B．2mg
C．3mg D．4mg
4．(2022安徽皖南八校第一次联考)(多选)如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，质量均为m的两球用轻杆连接套在圆环上，开始时轻杆竖直并同时由静止释放两球，当A球运动到B开始的位置时，轻杆刚好水平，重力加速度为g，则从开始运动到轻杆水平的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球A、B的机械能均保持守恒
B．小球A、B组成的系统机械能守恒
C．轻杆对小球A做的功为0
D．轻杆对小球B做的功为eq \f(\r(2),2)mgR
5．(2022安徽名校联考)如图所示，竖直平面内固定着一光滑的直角杆，水平杆和竖直杆上分别套有质量为mP＝0.8 kg和mQ＝0.9 kg的小球P和Q，两球用不可伸长的轻绳相连，开始时轻绳水平伸直．小球Q由顶角位置O处静止释放，当轻绳与水平杆的夹角θ＝37°时，小球P的速度为3 m/s.已知两球均可视为质点．重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则连接P、Q的轻绳长度为( )

A．0.8 m B．1.2 m
C．2.0 m D．2.5 m
6．(多选)(2021年8省联考·河北卷)如图，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是[弹簧的长度为l时弹性势能为eq \f(1,2)k(l－l0)2]( )
A．金属环的最大加速度为eq \r(2)g
B．金属环的最大速度为g eq \r(\f(m,2k))
C．金属环与细杆之间的最大压力为eq \f(3\r(2),2)mg
D．金属环达到最大速度时重力的功率为mg2eq \r(\f(m,2k))
7、(多选)(2022吉林长春检测)如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上．轻绳跨过光滑的滑轮O和O′，一端与物体P相连，另一端与质量同为m的物体Q相连，用手托住物体Q使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABA．当物体P运动到B处时，物体Q的速度最大
B．在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减少、Q的机械能增加
C．物体P运动的最大速度为eq \r(2gL－h)
D．开始运动后，当物体P速度再次为零时，物体Q回到原来的位置
8.(多选)(2022·山东德州月考)如图，竖直墙面和水平面均光滑，可视为质点的质量分别为m1、m2的A、B两球用轻杆连接，开始时A球靠在竖直墙面上，B球放在水平面上，杆与竖直方向的夹角θ＝37°。由静止释放两球，当杆与竖直方向的夹角为53°时，B球仍在做加速运动，此时小球B的速度为v。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，A、B两球始终在同一竖直面内运动，在A球落地之前的运动过程中，下列判断正确的是( )
A．小球A不会一直沿着墙面向下运动
B．小球A沿墙面向下运动的加速度不可能大于g
C．当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球A的速度大小为eq \f(3,4)v
D．轻杆的长度为eq \f(516m1＋9m2v2,18m1g)
9、(2022·陕西商洛调研)如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B．eq \f(5\r(2),2) m/s
C．eq \r(5) m/s D．eq \f(\r(35),2) m/s
10．(2022·福建三明一中高三月考)质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1＝0.3 m，OB长为L2＝0.6 m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m＝1 kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°＝0.8，cs53°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)小球Q的质量M；
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力。
11．(2022福建厦门质检)一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q.轻绳跨过定滑轮O，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m．初始时在外力作用下，物块P在A点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50 N．已知物块P质量为m1＝0.8 kg，物块Q质量为m2＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2.现将物块P由静止释放，求：
(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x1；
(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
(3)物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功．
1.(2021·海南高考)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m。取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( )
A．4.0 m B．4.5 m C．5.0 m D．5.5 m
2.(2020山东卷)(多选)如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连．现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零．轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态．以下判断正确的是( )
A．M<2m
B．2mC．在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功
D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
3. (2017·江苏高考)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则此下降过程中( )
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于eq \f(3,2)mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于eq \f(3,2)mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为eq \f(\r(3),2)mgL
4、(2020江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
新课程标准
1.理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。 定性了解弹性势能。
2．通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律， 体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
命题趋势
考查的内容主要体现对能量观念的认识、模型建构和科学推理等物理学科的核心素养。通常从以下角度命题：机械能守恒定律及其应用，有时会与电场、磁场、电磁感应等知识综合考查。
试题情境
生活实践类
能量观点是高中物理解决问题的三大方法之一，既在选择题中出现，也在综合性的计算题中应用，常将动能、势能等基础知识融入其他问题中考查，也常将机械能守恒定律作为解题工具在综合题中应用。
学习探究类
单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题
常见情境
三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
常见情境
三大特点
(1)用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒
(1)对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
考点19机械能守恒定律--机械能守恒定律及其应用
考向一 单物体机械能守恒
考向二 非质点类物体机械能守恒
考向三 连接体（绳杆））系统机械能守恒
考向四 含弹簧的系统机械能守恒问题
考向一 单物体机械能守恒
一、重力做功与重力势能的关系
1．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关．
(2)重力做功不引起物体机械能的变化．
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh.
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关．
3．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量．即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.
二、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．
2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加．即W＝－ΔEp.
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＝mgh2＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,2).
3．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
【典例1】(2022·福建三明一中高三月考)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断不正确的是( )
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒
B．图乙中，斜面体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C．图丙中，连接A、B的绳子不可伸长，不计任何阻力和定滑轮及绳子的质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【答案】B
【解析】题图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统只受重力和系统内的弹力，所以机械能守恒，故A项不符合题意；题图乙中，物块B沿A匀速下滑的过程中，B重力势能减小，动能不变，所以B的机械能减小，故B项符合题意；题图丙中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B物体只有重力做功，机械能守恒，故C项不符合题意；题图丁中，小球在做圆锥摆运动的过程中，重力势能和动能都不变，则小球的机械能守恒，故D项不符合题意。
【典例2】 (2022·山东省枣庄市高三上9月月考).如图所示是一竖直固定在水平地面上的可伸缩细管，上端平滑连接四分之一细圆弧弯管，管内均光滑，右管口切线水平。竖直细管底部有一弹射装置(高度忽略不计)，可以让静止在细管底部的小球(可视为质点)瞬间获得足够大的速度v0，通过调节竖直细管的长度h，可以改变上端管口到地面的高度，从而改变小球平抛的水平距离，重力加速度为g，则小球平抛的水平距离的最大值是( )
A.eq \f(v02,g) B.eq \f(v02,2g) C.eq \f(v02,3g) D.eq \f(v02,4g)
【答案】B
【解析】设管口到地面的高度是H，小球从管口射出的速度为v，由机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv02＝mgH＋eq \f(1,2)mv2，小球离开管口后做平抛运动，则x＝vt，H＝eq \f(1,2)gt2，联立方程，可得x＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(v02,g)－2H))×2H)＝eq \r(－4H2＋\f(2v02,g)H)，由二次函数的特点可知当H＝eq \f(v02,4g)时x取最大值，xmax＝eq \f(v02,2g)。
练习1、(多选)(2022·四川内江月考)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，则经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)( )
A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
【答案】BD
【解析】空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。
练习2、(2022·江苏如皋中学模拟)如图，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m的小球沿轨道做完整的圆周运动。已知小球在最低点时对轨道的压力大小为FN1，在最高点时对轨道的压力大小为FN2。重力加速度大小为g，则FN1－FN2的值为( )
A.3mg B.4mg
C.5mg D.6mg
【答案】D
【解析】在最高点，根据牛顿第二定律可得FN2＋mg＝meq \f(veq \\al(2,2),r)，在最低点，根据牛顿第二定律可得FN1－mg＝meq \f(veq \\al(2,1),r)，从最高点到最低点过程中，机械能守恒，故有mg·2r＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)，联立三式可得FN1－FN2＝6mg，选项D正确。
【巧学妙记】
1.对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程中机械能减少。
2．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。
(2)利用守恒条件判断。
(3)利用能量转化判断：若系统与外界没有能量交换，系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。
3．判断机械能守恒的“三点”注意
(1)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能不一定守恒。
(2)合外力所做的功等于零，或者合外力等于零时，机械能不一定守恒。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
考向二 非质点类物体机械能守恒
绳索，链条类物体的机械能守恒问题
“绳(考虑重力)”“链条”“过山车”等类物体，它们在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理．
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置及其高度变化量，根据初、末状态物体重力势能的减少量等于动能的增加量列式求解．
像“液柱”“链条”“过山车”类物体，在其运动过程中会发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理了。
【典例3】(2022·贵州安顺调研)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量也为m的小球分别拴在链条左端或右端，如图b、图c所示，约束链条的挡板光滑，三种情况下链条均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，设它们的速度分别为va、vb、vc，则关于va、vb、vc的关系，下列判断中正确的是( )
A．va＝vb＝vc B．vaC．vc>va>vb D．va>vb>vc
【答案】C
【解析】设桌面下方L处为零势能面。链条由静止释放之后，到整根刚离开桌面，由于桌面无摩擦，对三种情况，则释放前，系统的重力势能为：图a中，Ep1＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＝eq \f(7,8)mgL，图b中，Ep2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m＋m))gL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＝eq \f(15mgL,8)，图c中，Ep3＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mg·eq \f(3,4)L＋mg·eq \f(L,2)＝eq \f(11,8)mgL。释放后，整根链条刚离开桌面时，系统的重力势能为：图a中，Ep1′＝mgeq \f(L,2)，图b中，Ep2′＝mgL＋mg·eq \f(L,2)＝eq \f(3,2)mgL，图c中，Ep3′＝eq \f(1,2)mgL。则系统损失的重力势能ΔEp1＝eq \f(3,8)mgL，ΔEp2＝eq \f(3,8)mgL，ΔEp3＝eq \f(7,8)mgL，而ΔEp1＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，ΔEp2＝eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,b)，ΔEp3＝eq \f(1,2)(2m)veq \\al(2,c)，解得：veq \\al(2,a)＝eq \f(3,4)gL，veq \\al(2,b)＝eq \f(3,8)gL，veq \\al(2,c)＝eq \f(7,8)gL，显然veq \\al(2,c)>veq \\al(2,a)>veq \\al(2,b)，所以vc>va>vb，故C正确。
【典例4】(多选)(2022·河北张家口质检)内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中
( )
A．水柱的重力做正功
B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒
D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是eq \f(1,4)ρgS(h1－h2)2
【答案】ACD
【解析】把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，等效于把左管高eq \f(h1－h2,2)的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降eq \f(h1－h2,2)，重力所做正功：WG＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h2,2)))ρgS·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h1－h2,2)))＝eq \f(1,4)ρgS(h1－h2)2，故A、C、D正确，B错误。
练习3、(2022浙江宁波模拟)如图所示，AB是半径为R的四分之一圆弧轨道，轨道底端B点与一水平轨道BC相切，水平轨道又在C点与足够长的斜面轨道CD平滑连接，轨道B处有一挡板(厚度不计)．在圆弧轨道上静止摆放着N个半径为r(r≪R)的光滑刚性小球，恰好将AB轨道铺满，小球从A到B依次标记为1、2、3、…、N号．现将B处挡板抽走，N个小球均开始运动，不计一切摩擦，考虑小球从AB向CD运动的过程，下列说法正确的是( )
A．N个小球在离开圆弧轨道的过程中均做匀速圆周运动
B．1号小球第一次经过B点的速度一定小于eq \r(2gR)
C．1号小球第一次经过B点的向心加速度大小一定等于2g
D．N号小球第一次沿CD斜面上升的最大高度为R
【答案】B
【解析】通过受力分析可知，AB轨道上的小球在下滑的过程中要做加速运动，故A错误；若只有重力对1号小球做功，则在其运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得eq \f(1,2)mv2＝mgR，解得v＝eq \r(2gR)，但是1号小球在下滑过程中，始终受到二号小球对它的弹力，该弹力对它做负功，所以1号小球第一次经过B点的速度v′练习4、(2022·山西太原一中质检)如图所示，露天娱乐场的空中列车由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)?
【答案】eq \r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4πR,L))))
【解析】当列车进入圆形轨道后，其动能逐渐减小，重力势能逐渐增大，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时列车的速度最小，设此时列车的速度为v，列车的质量为M，圆轨道上那部分列车的质量M′＝eq \f(M,L)·2πR
由机械能守恒定律可得：eq \f(1,2)Mveq \\al(2,0)＝eq \f(1,2)Mv2＋M′gR
又因列车运行速度最小时，圆形轨道顶部车厢应满足：mg＝meq \f(v2,R)，m为圆形轨道顶部车厢的质量．
联立解得：v0＝eq \r(gR\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(4πR,L)))).
【巧学妙记】
在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的各部分的重心位置及重心高度的变化量，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。
分析非质点类物体的动能时，要看物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为eq \f(1,2)mv2。
考向三 连接体（绳杆））系统机械能守恒
1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．
2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式．
【典例5】（湖北省2022年普通高中学业水平等级考试）16. 打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
【答案】（1）；（2）6.5mg；（3）
【解析】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知
解得
CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
解得F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知
令
对上式求导数可得
当时解得
即
此时
于是有
解得
此时C的最大动能为
【典例6】(2022·东北三省三校质检)如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L1、L2，两杆不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a、b(可视为质点)质量均为m，a球套在竖直杆L1上，b球套在水平杆L2上，a、b通过铰链用长度为l的刚性轻杆L连接，将a球从图示位置(轻杆与L2杆夹角为45°)由静止释放，不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是( )
A．a球和b球所组成的系统机械能不守恒
B．b球的速度为零时，a球的加速度大小为零
C．b球的最大速度为eq \r(2＋\r(2)gl)
D．a球的最大速度为eq \r(\r(2)gl)
【答案】C
【解析】a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球所组成的系统机械能守恒，A项错误；设轻杆L和水平杆L2的夹角为θ，由运动关联可知vbcsθ＝vasinθ，则vb＝vatanθ，可知当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置且与杆L2平行，则此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B项错误；当杆L和杆L1第一次平行时，a球运动到最下方，b球运动到L1和L2交点位置，b球的速度达到最大，此时a球的速度为0，因此由机械能守恒定律有mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)l＋l))＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,b)，解得vb＝eq \r(2＋\r(2)gl)，C项正确；当轻杆L和杆L2第一次平行时，b球的速度为零，由系统机械能守恒有mg·eq \f(\r(2),2)l＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，解得va＝eq \r(\r(2)gl)，此时a球具有向下的加速度g，故此时a球的速度不是最大，a球将继续向下做加速度减小的加速运动，到加速度为0时速度达到最大，D项错误。
练习5.(多选)(2022·黑龙江重点中学联考)如图所示，有质量为2m、m的小滑块P、Q，P套在固定竖直杆上，Q放在水平地面上。P、Q间通过铰链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与Q相连，右端固定在竖直杆上，弹簧水平，α＝30°时，弹簧处于原长。当α＝30°时，P由静止释放，下降到最低点时α变为60°，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中( )
A．P、Q组成的系统机械能守恒
B．当α＝45°时，P、Q的速度相同
C．弹簧弹性势能最大值为(eq \r(3)－1)mgL
D．P下降过程中动能达到最大前，Q受到地面的支持力小于3mg
解析：选CD 对于P、Q组成的系统，由于弹簧对Q要做功，所以系统的机械能不守恒；但对P、Q和弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故A错误；将P、Q的速度进行分解，如图所示，
当α＝45°时，根据P、Q沿轻杆方向的分速度相等得vQcs 45°＝vPcs 45°，可得vP＝vQ，但速度方向不同，所以P、Q的速度不同，故B错误；根据系统机械能守恒可得Ep＝2mgL(cs 30°－cs 60°)，弹性势能的最大值为Ep＝(eq \r(3)－1)mgL，故C正确；P下降过程中动能达到最大前，P加速下降，对P、Q整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有3mg－N＝2ma，则有N＜3mg，故D正确。
练习6、（2022年河北省普通高中学业水平选择性考试）如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体和用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，质量，时刻将两物体由静止释放，物体的加速度大小为。时刻轻绳突然断开，物体能够达到的最高点恰与物体释放位置处于同一高度，取时刻物体所在水平面为零势能面，此时物体的机械能为。重力加速度大小为，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。下列说法正确的是（ ）
A. 物体和的质量之比为B. 时刻物体的机械能为
C. 时刻物体重力的功率为D. 时刻物体的速度大小
【答案】BCD
【解析】A．开始释放时物体Q的加速度为，则，
解得 选项A错误；
B．在T时刻，两物体的速度
P上升的距离
细线断后P能上升的高度
可知开始时PQ距离为
若设开始时P所处位置为零势能面，则开始时Q的机械能为
从开始到绳子断裂，绳子的拉力对Q做负功，大小为
则此时物体Q的机械能
此后物块Q的机械能守恒，则在2T时刻物块Q的机械能仍为，选项B正确；
CD．在2T时刻，重物P的速度
方向向下；此时物体P重力的瞬时功率
选项CD正确。
故选BCD。
【巧学妙记】
绳连物体系统机械能守恒
求解这类问题时，由于二者速率相等或相关，所以关键是寻找两物体间的位移关系，进而找到系统重力势能的变化．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．
杆连物体系统机械能守恒
求解这类问题时，由于二者角速度相等或沿杆方向速率相等，所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系，根据两物体间的位移关系，寻找到系统重力势能的变化，最后根据ΔEk＝－ΔEp列出机械能守恒的方程求解．
考向四 含弹簧的系统机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
【典例7】(多选)(2022·东北三省三校质检)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是( )
A．B受到细线的拉力保持不变
B．A、B组成的系统机械能不守恒
C．B机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
D．当弹簧的拉力等于B的重力时，A的动能最大
【答案】 BD
【解析】对A有FT－kx＝mAa，对B有mBg－FT＝mBa，联立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度达到最大的过程中，B的加速度逐渐减小，可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误；A、弹簧与B组成的系统机械能守恒，而A、B组成的系统机械能不守恒，B正确；B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力等于B的重力时，B的速度最大，A的速度也达到最大，则动能最大，D正确。
【典例8】 (2022·河南洛阳质检)如图所示，质量为mB＝3.5 kg的物体B通过一轻弹簧固连在地面上，弹簧的劲度系数k＝100 N/m。一轻绳一端与物体B连接，绕过无摩擦的两个轻质小定滑轮O2、O1后，另一端与套在光滑直杆顶端质量为mA＝1.6 kg的小球A连接。已知直杆固定，杆长L＝0.8 m，且与水平面的夹角θ＝37°。初始时使小球A静止不动，与A端相连的绳子保持水平，此时绳子中的张力F＝45 N，已知AO1＝0.5 m，重力加速度g＝10 m/s2，绳子不可伸长，现将小球A从静止释放，求：
(1)在释放小球A前弹簧的形变量；
(2)若直线CO1与杆垂直，求小球A运动到C点的过程中绳子拉力对小球A所做的功；
(3)小球A运动到底端D点时的速度。
【答案】：(1)0.1 m (2)7 J (3)2 m/s
【解析】(1)释放小球A前，物体B处于平衡状态，由于绳子中的张力F>mBg，则弹簧处于伸长状态，设伸长量为x，则有F＝kx＋mBg，代入数值得x＝0.1 m，即弹簧被拉长了0.1 m。
(2)物理过程分析：在小球A由A→C过程中，小球A到O1间的距离逐渐减小，物体B向下运动，由于直线CO1与杆垂直，当小球A运动到C处时，沿绳子方向的速度为0，即此时B的速度为0。小球A从杆顶端运动到C点的过程，对A由动能定理得WF＋mAgh＝eq \f(1,2)mAvA2－0，小球A下降的高度h＝CO1cs 37°＝AO1sin 37°cs 37°＝0.24 m。这一过程中B下降的高度h′＝AO1－CO1＝0.2 m，由此可知弹簧被压缩了0.1 m，则弹簧的弹性势能在初、末状态相同。由于此时vB＝0，以A、B和弹簧为系统，由机械能守恒有mAgh＋mBgh′＝eq \f(1,2)mAvA2。
解得WF＝mBgh′＝7 J。
(3)因杆长L＝0.8 m，故∠CDO1＝θ＝37°，故DO1＝AO1，弹簧的伸长量依然为0.1 m，与最初状态相比弹簧的弹性势能相同，物体B又回到了初始位置，其重力势能也与最初状态相同。在D点将A的速度沿绳和垂直绳分解，如图所示，其中沿绳方向的分速度vx与B的速度相等，即vB′＝vx＝vA′cs 37°＝0.8vA′，由机械能守恒：mAgLsin 37°＝eq \f(1,2)mAvA′2＋eq \f(1,2)mBvB′2，代入数据得小球A运动到杆的底端D点时的速度
vA′＝2 m/s。
练习7、(多选)(2022·山东师范大学附中月考)如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【答案】AD
【解析】在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．
练习8、(2022·浙江温州月考)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上．用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行．已知A、B的质量均为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后C沿斜面下滑，A刚离开地面时，B获得最大速度．求：
(1)斜面倾角α；
(2)B的最大速度v.
【答案】(1)30° (2)2geq \r(\f(m,5k))
【解析】(1)当物体A刚离开地面时，设弹簧的伸长量为xA，对A有kxA＝mg，
此时B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线拉力FT
三个力的作用，设B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有FT－mg－kxA＝ma，对C有4mgsin α－FT＝4ma，当B获得最大速度时，有a＝0，由此解得sin α＝0.5，所以α＝30°.
(2)开始时弹簧压缩的长度为xB＝eq \f(mg,k)，显然xA＝xB.当物体A刚离开地面时，B上升的距离以及C沿斜面下滑的距离均为xA＋xB.由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，而且物体A刚离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v，由机械能守恒定律得4mg(xA＋xB)sin α－mg(xA＋xB)＝eq \f(1,2)(4m＋m)v2，代入数值解得v＝2geq \r(\f(m,5k)).
1. (2022·湖南六校联考)关于机械能守恒定律，下列说法正确的是( )
A．物体所受合力为零，机械能一定守恒
B．物体所受合力不为零，机械能一定不守恒
C．只有重力和系统内弹力作用的系统机械能守恒
D．系统机械能守恒，说明系统只有动能和重力势能间转化且机械能总量不变
【答案】 C
【解析】物体所受合力为零，可能有除了重力以外的力做功，如物体匀速下降，机械能不守恒，选项A错误；物体所受的合力不等于零，它的机械能可能守恒，例如物体自由下落，选项B错误；系统内如果只受重力和系统内弹力作用，即只有重力和系统内弹力做功，没有其他力做功，系统机械能守恒，选项C正确；系统机械能守恒，说明系统只有动能和势能间转化且机械能总量不变，选项D错误．
2. (多选)(2022·广东南海中学月考)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为参考平面且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
A．物体落到海平面时的重力势能为mgh
B．物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做功为mgh
C．物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh
D．物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)
【答案】BCD
【解析】物体运动过程中，机械能守恒，所以任意一点的机械能相等，都等于抛出时的机械能，物体在地面上的重力势能为零，动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，故整个过程中的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，所以物体在海平面上的机械能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，在海平面上的重力势能为－mgh，根据机械能守恒定律可得－mgh＋eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)，所以物体在海平面上的动能为eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＋mgh，从抛出点到落到海平面，重力做功为mgh，所以B、C、D三项正确，A项错误。
3．(2022·重庆高三模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则( )
A．A球的最大速度为2eq \r(gl)
B．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为eq \r(\f(8\r(2)＋1gl,3))
D．A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
【答案】B
【解析】根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝2∶1，D错误；由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B正确；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得mg·2lcs θ－2mg·l(1－sin θ)＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)×2mvB2，解得vA2＝eq \f(8,3)gl(sin θ＋cs θ)－eq \f(8,3)gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cs θ有最大值，最大值为vA＝eq \r(\f(8\r(2)－1gl,3))，A、C错误。
4．(多选)(2022宁波调研)某娱乐项目中，参与者抛出一小球去撞击触发器，从而进入下一关，现在将这个娱乐项目进行简化，假设参与者从触发器的正下方以速率v竖直上抛一小球，小球恰好击中触发器，若参与者仍在刚才的抛出点，沿A、B、C、D四个不同的光滑轨道分别以速率v抛出小球，如图所示．则小球能够击中触发器的可能是( )
【答案】CD
【解析】竖直上抛时小球恰好击中触发器，则由－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2，h＝2R得v＝2eq \r(gR)，沿图A中轨道以速率v抛出小球，小球沿光滑圆弧内表面做圆周运动，到达最高点的速率应大于或等于eq \r(gR)，所以小球不能到达圆弧最高点，即不能击中触发器．沿图B中轨道以速率v抛出小球，小球沿光滑斜面上滑一段后做斜抛运动，最高点具有水平方向的速度，所以也不能击中触发器．图C及图D中小球在轨道最高点速度均可以为零，由机械能守恒定律可知小球能够击中触发器．
5．(2022·浙江温州月考)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是( )
A．2R B．eq \f(5R,3) C．eq \f(4R,3) D．eq \f(2R,3)
【答案】C
【解析】设B球质量为m，则A球质量为2m，A球刚落地时，两球速度大小都为v，根据机械能守恒定律得2mgR－mgR＝eq \f(1,2)(2m＋m)v2，得v2＝eq \f(2,3)gR，B球继续上升的高度h＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(R,3)，B球上升的最大高度为h＋R＝eq \f(4,3)R，故选C.
6.(多选)(2022·福建三明一中高三月考)如图所示，质量为m的小环(可视为质点)套在固定的光滑竖直杆上，一足够长且不可伸长的轻绳一端与小环相连，另一端跨过光滑的定滑轮与质量为M的物块相连，已知M＝2m。与定滑轮等高的A点和定滑轮之间的距离d＝3 m，定滑轮大小及质量可忽略。现将小环从A点由静止释放，小环运动到C点速度为0，重力加速度取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(sin53°＝0.8，cs53°＝0.6)( )
A．A、C间距离为4 m
B．小环最终静止在C点
C．小环下落过程中减少的重力势能始终等于物块增加的机械能
D．当小环下滑至绳与杆的夹角为60°时，小环与物块的动能之比为2∶1
【答案】AD
【解析】小环运动到C点时，由机械能守恒定律得mgLAC＝Mg(eq \r(d2＋L\\al(2,AC))－d)，解得LAC＝4 m，故A项正确；由几何关系知，小环在C点时轻绳与水平方向的夹角为53°，假设小环最终静止在C点，则绳中的拉力大小等于2mg，在C点对小环有FT＝eq \f(mg,sin53°)＝eq \f(5,4)mg≠2mg，所以假设不成立，小环不能静止在C点，故B项错误；由机械能守恒定律可知，小环下落过程中减少的重力势能转化为物块增加的机械能和小环增加的动能，故C项错误；将小环的速度沿绳和垂直绳方向分解，沿绳方向的速度即为物块的速度vM＝vmcs60°，由Ek＝eq \f(1,2)mv2可知，小环与物块的动能之比为2∶1，故D项正确。
7．(多选)(2022·吉林调研)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知ab＝0.7 m，bc＝0.5 m，那么在整个过程中( )
A．滑块动能的最大值是6 J
B．弹簧弹性势能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．整个过程滑块与弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】BCD
【解析】以滑块和弹簧组成的系统为研究对象，在滑块的整个运动过程中，只发生动能、重力势能和弹性势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D正确；滑块从a到c重力势能减少了G(ab＋bc)sin 30°＝6 J，全部转化为弹簧的弹性势能，B正确；以c点所在水平面为参考平面，系统的机械能为6 J，滑块动能最大时，弹簧处于压缩状态，A错误；从c到b弹簧恢复原长，弹簧的弹力对滑块做功，将6 J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，C正确．
8.(多选)(2022·广东深圳高三测试)如图所示，质量为M的小球套在固定倾斜的光滑杆上，原长为l0的轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内．图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，O′在O的正下方，C是AO′段的中点，θ＝30°.现让小球从A处由静止释放，重力加速度为g，下列说法正确的有( )
A．下滑过程中小球的机械能守恒
B．小球滑到B点时的加速度大小为eq \f(\r(3),2)g
C．小球下滑到B点时速度最大
D．小球下滑到C点时的速度大小为eq \r(2gl0)
【答案】BD
【解析】下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化，因此小球的机械能不守恒，故A错误；因为在B点，弹簧恢复原长，因此重力沿杆的分力提供加速度，根据牛顿第二定律可得mgcs 30°＝ma，解得a＝eq \f(\r(3),2)g，故B正确；到达B点时加速度与速度方向相同，因此小球还会加速，故C错误；因为C是AO′段的中点，θ＝30°，所以当小球到C点时，弹簧的长度与在A点时相同，故在A、C两位置弹簧弹性势能相等，小球重力做的功全部转化为小球的动能，所以得mgl0＝eq \f(1,2)mvC2，解得vC＝eq \r(2gl0)，故D正确．
9、(多选)(2022·吉林调研)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则( )
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为eq \r(2gh)
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
【答案】BD
【解析】设杆与竖直方向夹角为θ，某一时刻a、b速度分别为va、vb，则vacs θ＝vbsin θ.当a落到地面时，θ＝90°，cs θ＝0，故vb为0，可知a下落过程中b先加速后减速，轻杆对b先做正功后做负功，A错误．轻杆对a的作用力先为支持力后为拉力，故a的加速度先小于g后大于g，C错误．由于a、b系统只有重力和系统内杆的弹力做功，故a、b机械能守恒，a落地时b速度为零，由机械能守恒定律得mgh＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,a)，得va＝eq \r(2gh)，B正确．当a机械能最小时，b的机械能最大，即动能最大，此时F杆＝0，故FN＝mg，D正确．
10、(2022·河北衡水中学高三月考)如图所示，在倾角为θ＝30°的光滑斜面上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端固定在挡板C上，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，B距地面足够高．用手托住物体B使绳子刚好伸直且没有拉力，然后由静止释放．取重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力大小；
(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；
(3)物体A的最大速度的大小．
【答案】 (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s
【解析】(1)弹簧恢复原长时，
对B：mg－FT＝ma
对A：FT－mgsin 30°＝ma
代入数据可求得：FT＝30 N.
(2)初态弹簧压缩量x1＝eq \f(mgsin 30°,k)＝10 cm
当A速度最大时有FT′＝mg＝kx2＋mgsin 30°
弹簧伸长量x2＝eq \f(mg－mgsin 30°,k)＝10 cm
所以A沿斜面向上运动x1＋x2＝20 cm时获得最大速度．
(3)因x1＝x2，
故弹簧弹性势能的改变量ΔEp＝0
由机械能守恒定律有
mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin 30°＝eq \f(1,2)×2mv2
解得v＝1 m/s.
1.(2022·山东德州月考)以下对机械能守恒的理解，正确的是( )
A．如果机械能只在系统内部物体间转移，则该系统机械能一定守恒
B．如果系统内部只有动能与势能的相互转化，则该系统机械能一定守恒
C．如果物体受力平衡，则物体与地球组成的系统机械能一定守恒
D．如果外力对一个系统所做的功为0，则该系统机械能一定守恒
【答案】B
【解析】如果系统内部只有动能与势能的相互转化，不发生机械能与其他形式能的转化，则该系统机械能一定守恒，A错误，B正确；如果物体受力平衡，匀速上升，动能不变，但是重力势能增大，机械能不守恒，C错误；如果外力对一个系统所做的功为0，说明是动能不变，但是机械能可能变化，比如物体匀速上升，动能不变，但是重力势能增大，机械能不守恒，D错误。
2、(2022·河北衡水中学高三月考)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
【答案】C
【解析】小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动，系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒；小球从A点至到达槽最低点过程中，小球先失重，后超重；小球由最低点向右侧最高点运动的过程中，半圆形槽也向右移动，半圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒，故选项C正确．
3. (2022·山东青岛月考)一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点，在最低点先给小球一水平初速度，小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，仍在最低点给小球同样的初速度，则小球向上通过P点后将绕A点做圆周运动，当小球到达最高点N时绳子的拉力大小为( )
A．0 B．2mg
C．3mg D．4mg
【答案】 C
【解析】小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动，则在最高点有mg＝eq \f(mv2,R)，解得v＝eq \r(gR)，从最低点到最高点，由机械能守恒定律可知eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝2mgR＋eq \f(1,2)mv2，解得初速度v0＝eq \r(5gR)；若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子，设小球到最高点N时速度为v′，根据机械能守恒定律，有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝eq \f(3,2)mgR＋eq \f(1,2)mv′2，根据向心力公式有T＋mg＝eq \f(mv′2,\f(R,2))，联立解得T＝3mg，故C正确。
4．(2022安徽皖南八校第一次联考)(多选)如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，质量均为m的两球用轻杆连接套在圆环上，开始时轻杆竖直并同时由静止释放两球，当A球运动到B开始的位置时，轻杆刚好水平，重力加速度为g，则从开始运动到轻杆水平的过程中，下列说法正确的是( )
A．小球A、B的机械能均保持守恒
B．小球A、B组成的系统机械能守恒
C．轻杆对小球A做的功为0
D．轻杆对小球B做的功为eq \f(\r(2),2)mgR
【答案】BD
【解析】由于圆环是光滑的，因此对于A、B组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，B正确；当杆水平时，设A、B两球的速度均为v，由题意可知，A球下落的高度h＝eq \r(2)R，则对系统由动能定理有mg×eq \r(2)R＝eq \f(1,2)×2mv2，则v＝eq \r(\r(2)gR)，因此从开始到轻杆水平时，B球的机械能增加，则A球的机械能减少，根据动能定理，对A球有mgh＋W1＝eq \f(1,2)mv2，解得W1＝－eq \f(\r(2),2)mgR，A、C错误；对B球，根据动能定理得W2＝eq \f(1,2)mv2＝eq \f(\r(2),2)mgR，D正确．
5．(2022安徽名校联考)如图所示，竖直平面内固定着一光滑的直角杆，水平杆和竖直杆上分别套有质量为mP＝0.8 kg和mQ＝0.9 kg的小球P和Q，两球用不可伸长的轻绳相连，开始时轻绳水平伸直．小球Q由顶角位置O处静止释放，当轻绳与水平杆的夹角θ＝37°时，小球P的速度为3 m/s.已知两球均可视为质点．重力加速度取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则连接P、Q的轻绳长度为( )

A．0.8 m B．1.2 m
C．2.0 m D．2.5 m
【答案】C
【解析】将小球P和Q的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两小球沿绳子方向的速度相等，vPcs 37°＝vQcs 53°，解得vQ＝eq \f(4,3)vP＝4 m/s.两小球组成的系统机械能守恒，则mQgh＝eq \f(1,2)mPveq \\al(2,P)＋eq \f(1,2)mQveq \\al(2,Q)，连接P、Q的绳长l＝eq \f(h,sin 37°)，联立解得l＝2 m，选项C正确．
6．(多选)(2021年8省联考·河北卷)如图，一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置。质量均为m的两金属环套在细杆上，高度相同，用一劲度系数为k的轻质弹簧相连，弹簧处于原长l0。两金属环同时由静止释放，运动过程中弹簧的伸长在弹性限度内。对其中一个金属环，下列说法正确的是[弹簧的长度为l时弹性势能为eq \f(1,2)k(l－l0)2]( )
A．金属环的最大加速度为eq \r(2)g
B．金属环的最大速度为g eq \r(\f(m,2k))
C．金属环与细杆之间的最大压力为eq \f(3\r(2),2)mg
D．金属环达到最大速度时重力的功率为mg2eq \r(\f(m,2k))
【答案】BC
【解析】刚释放时，弹簧处于原长，弹力为0，所以金属环的最大加速度为am＝gsin 45°＝eq \f(\r(2),2)g，故A错误；设平衡位置弹簧的伸长量为x1，根据平衡条件，沿杆方向有mgsin 45°＝kx1cs 45°，由机械能守恒定律得2mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,2)))＝eq \f(1,2)kx12＋eq \f(1,2)(2m)v02，解得金属环的最大速度为v0＝geq \r(\f(m,2k))，金属环达到最大速度时重力的功率为P＝mgv0cs 45°＝eq \f(mg2,2)eq \r(\f(m,k))，故B正确，D错误；当金属环下落到最低点，金属环速度为0，金属环与细杆之间的压力最大。设此时弹簧的形变量为x2，由机械能守恒定律得2mgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2,2)))＝eq \f(1,2)kx22，对金属环进行受力分析，垂直于杆方向有FN＝mgcs 45°＋kx2sin 45°，解得金属环与细杆之间的最大压力为FN＝eq \f(3\r(2),2)mg，故C正确。
7、(多选)(2022吉林长春检测)如图所示，质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上．轻绳跨过光滑的滑轮O和O′，一端与物体P相连，另一端与质量同为m的物体Q相连，用手托住物体Q使整个系统处于静止状态，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，ABA．当物体P运动到B处时，物体Q的速度最大
B．在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减少、Q的机械能增加
C．物体P运动的最大速度为eq \r(2gL－h)
D．开始运动后，当物体P速度再次为零时，物体Q回到原来的位置
【答案】CD
【解析】设AO与AO′的夹角为θ，物体P的速度为vP，物体Q的速度为vQ，根据运动的合成与分解有vPcs θ＝vQ，当物体P运动到B处时，物体Q的速度为零，故A选项错误；物体P从A运动到B的过程中，速度由零到最大，物体Q从开始下落到最低点，由系统机械能守恒可知，物体P机械能增加，物体Q的机械能减少，故B选项错误；物体P在B点时速度最大，对物体P、Q组成的系统，物体P从A滑到B的过程有mg(L－h)＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,Pmax)，得vPmax＝eq \r(2gL－h)，故C选项正确；当物体P速度再次为零时，物体Q的速度也为零，由系统机械能守恒可知，物体Q回到原位置，故D选项正确．
8.(多选)(2022·山东德州月考)如图，竖直墙面和水平面均光滑，可视为质点的质量分别为m1、m2的A、B两球用轻杆连接，开始时A球靠在竖直墙面上，B球放在水平面上，杆与竖直方向的夹角θ＝37°。由静止释放两球，当杆与竖直方向的夹角为53°时，B球仍在做加速运动，此时小球B的速度为v。已知重力加速度大小为g，sin37°＝0.6，A、B两球始终在同一竖直面内运动，在A球落地之前的运动过程中，下列判断正确的是( )
A．小球A不会一直沿着墙面向下运动
B．小球A沿墙面向下运动的加速度不可能大于g
C．当杆与竖直方向的夹角为53°时，小球A的速度大小为eq \f(3,4)v
D．轻杆的长度为eq \f(516m1＋9m2v2,18m1g)
【答案】ABD
【解析】如果小球A能一直沿着墙面向下运动，当A球刚要落地时速度向下，则B球速度为零，此过程B球一定是先向右加速运动后向右减速运动，杆对B球先推后拉，杆拉B球时一定拉A球，因此A球一定会在运动到地面前离开竖直墙面，故A正确；小球A沿墙面向下运动时，杆对球一定施加推力，因此小球A向下的加速度一定不会大于g，故B正确；当杆与竖直方向的夹角为53°时，设球A的速度为v′，则v′cs53°＝vcs37°，解得v′＝eq \f(4,3)v，故C错误；设轻杆长为L，根据机械能守恒m1g(Lcs37°－Lcs53°)＝eq \f(1,2)m1v′2＋eq \f(1,2)m2v2，解得L＝eq \f(516m1＋9m2v2,18m1g)，故D正确。
9、(2022·陕西商洛调研)如图所示，有一条长为L＝1 m的均匀金属链条，有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10 m/s2)( )
A．2.5 m/s B．eq \f(5\r(2),2) m/s
C．eq \r(5) m/s D．eq \f(\r(35),2) m/s
【答案】 A
【解析】设链条的质量为2m，以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－eq \f(1,2)×2mg·eq \f(L,4)sin 30°－eq \f(1,2)×2mg·eq \f(L,4)＋0＝－eq \f(3,8) mgL，链条全部下滑出后，动能为Ek′＝eq \f(1,2)×2mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·eq \f(L,2)，由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′，即－eq \f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A正确，B、C、D错误。
10．(2022·福建三明一中高三月考)质量不计的V形轻杆可以绕O点在竖直面内转动，AO和BO之间的夹角为53°，OA长为L1＝0.3 m，OB长为L2＝0.6 m，在轻杆的A、B两点各固定一个可视为质点的小球P和Q，小球P的质量为m＝1 kg，如图所示。将OA杆拉至O点右侧水平位置由静止释放，OB杆恰能转到O点左侧水平位置。已知sin53°＝0.8，cs53°＝0.6，g取10 m/s2，求：
(1)小球Q的质量M；
(2)小球Q运动到最低点时，BO杆对小球Q沿竖直方向的作用力。
【答案】 (1)0.5 kg (2)10.3 N
【解析】(1)从OA水平释放至OB到达水平位置的过程，系统机械能守恒，有mgL1sin53°＝MgL2sin53°
代入数据解得M＝eq \f(m,2)＝0.5 kg。
(2)小球Q从初始位置运动到最低点的过程，系统机械能守恒，有
mgL1cs53°＋MgL2(1－sin53°)
＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,1)＋eq \f(1,2)Mveq \\al(2,2)
两球同轴转动，角速度相同，所以
v1＝L1ω
v2＝L2ω
联立并代入数据可得ω＝eq \f(4\r(10),3) rad/s
小球Q运动到最低点时，由牛顿第二定律，有
F－Mg＝Mω2L2
代入数据解得F＝eq \f(31,3) N≈10.3 N。
11．(2022福建厦门质检)一劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q.轻绳跨过定滑轮O，一端与物块Q连接，另一端与套在光滑竖直杆的物块P连接，定滑轮到竖直杆的距离为d＝0.3 m．初始时在外力作用下，物块P在A点静止不动，轻绳与斜面平行，绳子张力大小为50 N．已知物块P质量为m1＝0.8 kg，物块Q质量为m2＝5 kg，不计滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2.现将物块P由静止释放，求：
(1)物块P位于A点时，弹簧的伸长量x1；
(2)物块P上升h＝0.4 m至与滑轮O等高的B点时的速度大小；
(3)物块P上升至B点过程中，轻绳拉力对其所做的功．
【答案】(1)0.1 m (2)2eq \r(3) m/s (3)8 J
【解析】(1)物块P位于A点，设弹簧伸长量为x1，对物块Q受力分析有T＝m2gsin θ＋kx1，解得x1＝0.1 m.
(2)经分析，此时OB垂直竖直杆，d＝0.3 m，此时物块Q速度为零，下降距离为Δx＝OP－d＝0.5 m－0.3 m＝0.2 m，则弹簧压缩量为x2＝0.2 m－0.1 m＝0.1 m，弹性势能不变．
对物块P、Q及弹簧，从A到B根据能量守恒定律有
m2g·Δx·sin θ－m1gh＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,B)，
代入数据可得vB＝2eq \r(3) m/s.
(3)对物块P由动能定理有WT－m1gh＝eq \f(1,2)m1veq \\al(2,B)，
代入数据得WT＝8 J.
1.(2021·海南高考)水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中。如图所示，滑梯顶端到末端的高度H＝4.0 m，末端到水面的高度h＝1.0 m。取重力加速度g＝10 m/s2，将人视为质点，不计摩擦和空气阻力。则人的落水点到滑梯末端的水平距离为( )
A．4.0 m B．4.5 m C．5.0 m D．5.5 m
【答案】A
【解析】设人滑到滑梯末端速度为v，根据机械能守恒定律可知mgH＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝4eq \r(5) m/s，从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据h＝eq \f(1,2)gt2，可知落水时间为t＝eq \r(\f(2h,g))＝eq \r(\f(2×1.0,10)) s＝eq \r(\f(1,5)) s，水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水平距离为x＝vt＝4.0 m。
2.(2020山东卷)(多选)如图所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连．现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零．轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态．以下判断正确的是( )
A．M<2m
B．2mC．在B从释放位置运动到最低点的过程中，所受合力对B先做正功后做负功
D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
【答案】ACD
【解析】由题意可知B物体可以在开始位置到最低点之间做简谐振动，故在最低点时有弹簧弹力T＝2mg；对A分析，设绳子与桌面间夹角为θ，则依题意有2mgsin θ＝Mg，故有M<2m，故A正确，B错误．由题意可知B从释放位置到最低点过程中，开始弹簧弹力小于重力，物体加速，合力做正功；后来弹簧弹力大于重力，物体减速，合力做负功，故C正确．对于B，在从释放到速度最大过程中，B机械能的减少量等于弹簧弹力所做的负功，即等于B克服弹簧弹力所做的功，故D正确．
3. (2017·江苏高考)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则此下降过程中( )
A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于eq \f(3,2)mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于eq \f(3,2)mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为eq \f(\r(3),2)mgL
【答案】AB
【解析】取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为eq \f(3,2)mg，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，此时地面对B球的支持力小于eq \f(3,2)mg，A正确；A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为eq \f(3,2)mg，B正确；弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin60°－Lsin30°＝eq \f(\r(3)－1,2)L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝eq \f(\r(3)－1,2)mgL，由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为eq \f(\r(3)－1,2)mgL，D错误
4、(2020江苏卷)如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动．在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为2R.在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物．重物由静止下落，带动鼓形轮转动．重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h.
【答案】(1)2ωR (2)eq \r(2mω2R2＋mg2)(3)eq \f(M＋16m,2Mg)(ωR)2
【解析】(1)重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω，线速度v＝ωr，得v＝2ωR.
(2)小球A所受向心力F向＝2mω2R，
设F与水平方向的夹角为α，则Fcs α＝F向 ，Fsin α＝mg
解得F＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2mω2R))2＋mg2).
(3)重物落地时的速度等于鼓形轮的线速度，则落地时，重物的速度v′＝ωR，由机械能守恒得
eq \f(1,2)Mv′2＋4×eq \f(1,2)mv2＝Mgh
解得h＝eq \f(M＋16m,2Mg)(ωR)2.
新课程标准
1.理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。 定性了解弹性势能。
2．通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律， 体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
命题趋势
考查的内容主要体现对能量观念的认识、模型建构和科学推理等物理学科的核心素养。通常从以下角度命题：机械能守恒定律及其应用，有时会与电场、磁场、电磁感应等知识综合考查。
试题情境
生活实践类
能量观点是高中物理解决问题的三大方法之一，既在选择题中出现，也在综合性的计算题中应用，常将动能、势能等基础知识融入其他问题中考查，也常将机械能守恒定律作为解题工具在综合题中应用。
学习探究类
单物体机械能守恒，用绳、杆连接的系统机械能守恒问题，含弹簧系统机械能守恒问题
常见情境
三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
常见情境
三大特点
(1)用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒
(1)对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关