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高考物理分题型多维刷题练专题10带电粒子在电场中的运动(原卷版+解析)
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这是一份高考物理分题型多维刷题练专题10带电粒子在电场中的运动(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了库仑定律，电场强度，静电力做功，电势，电势差，电容，6，求等内容，欢迎下载使用。
1.库仑定律：；
2.电场强度：，；
3.静电力做功：，，；
4.电势：；
5.电势差：，，；
6.电容：，；
在解与带电粒子在电场中的运动有关的计算题时，首先要确定研究对象，一般情况下，可以把带电粒子（不计重力）或者带点小球作为研究对象；其次要判断是电加速模型、电偏转模型还是电加速+电偏转模型；然后对模型分别进行受力分析（要画出受力分析图）、运动分析（匀加速直线运动、类平抛运动）和能量分析（电场力做的功等于动能的变化量）；最后结合已知量和待求量，列出方程求解。
一、带电粒子在匀强电场中的加速
带电粒子在电场中运动时，重力一般远小于静电力，因此重力可以忽略。
如图所示，匀强电场中有一带正电q的粒子（不计重力），在电场力作用下从A点加速运动到B点，速度由v0增加到v.，A、B间距为d，电势差为UAB.
（1）用动力学观点分析：， ，
（2）用能量的观点（动能定理）分析：
能量观点既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，对匀强电场又有。
二、带电粒子在匀强电场中的偏转
1.带电粒子以垂直于电场线方向的初速度v0进入匀强电场时，粒子做类平抛运动。垂直于场强方向的匀速直线运动，沿场强方向的匀加速直线运动。
2.偏转问题的处理方法，类似于平抛运动的研究方法，粒子沿初速度方向做匀速直线运动，可以确定通过电场的时间。
粒子沿电场线方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度；
穿过电场的位移侧移量：；
穿过电场的速度偏转角： 。
三、电场中的功能关系：
1.只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。
2.只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。
3.除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
4.电场力做功的计算方法
①由公式计算，此公式只在匀强电场中使用，即。
②用公式计算，此公式适用于任何形式的静电场。
③静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。
由动能定理计算电场力做的功。
四、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
1.带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即 恒定值
2.带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
五、解决带电粒子在电场中的运动问题方法与技巧
1.分析粒子的运动规律，区分是在电场中的直线运动还是曲线运动问题。
2.对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理。
①如果是带电粒子在恒定电场力作用下做直线运动的问题，应用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。
②如果是非匀强电场中的直线运动，一般利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。
3.对于曲线运动问题，一般是类平抛运动模型，通常采用运动的合成与分解处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，应用动力学方法或功能方法求解。
典例1：（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
典例2：（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
典例3：（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
典例4：（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。
1．（2022·四川雅安·模拟预测）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小、方向水平向右的匀强电场；一条长且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O点，另一端系一质量kg、带电荷量的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C点竖直放置一足够长、半径的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界共线，直径MN与直径CD垂直，圆筒内左半边MNCHJK区域Ⅱ中存在大小N/C、方向垂直纸面向里的匀强电场。把小球a拉至A点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a运动到O点正下方B点时，轻绳恰好断裂。小球a进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C点竖直向下离开电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取，绳断前、断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力；
（2）小球a运动到C点时速度的大小和小球a从B到C过程电势能的变化量；
（3）若小球a刚进入圆筒时，另一绝缘小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b的质量kg，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能是多大。
2．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，光滑斜面倾角为37°，一质量、电荷量的小物块置于斜面上，当加上水平方向的匀强电场时，该物体恰能静止在斜面上，g取，，，求：
（1）该电场的电场强度；
（2）若电场强度变为原来的，小物块运动的加速度。
3．（2022·安徽芜湖·模拟预测）如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）小球到达C点时对轨道的压力为多大?
（2）小球从A点开始，经过C点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球的电势能怎样变化?
4．（2022·江西南昌·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内存在沿y轴方向的匀强电场，质量为m的带电量为q（q>0）的带电小球以某一速度从O点出发后，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为，方向沿x轴正方向，连线与Ox轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，求：
（1）小球从O点出发时的速度大小；
（2）OA之间的电势差。
5．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，一游戏轨道由倾角，动摩擦因数的足够长绝缘倾斜轨道与光滑的绝缘水平轨道及半径的光滑绝缘圆轨道（在最低点B分别与水平轨道AB和BD相连）三部分组成，轨道各部分平滑连接。所有轨道处在同一竖直面内，倾斜轨道处于水平向左场强的匀强电场中。一质量为，带电量为滑块（可视为质点），从倾斜轨道上静止释放，忽略空气阻力。求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点C时的速度大小；
（2）在水平轨道D点右侧，有一长为的水平框，框的左端点离水平轨道D点的水平距离为，竖直高度差为。为使滑块（一直在轨道上运动）滑离水平轨道D点后能落入框内（忽略框两侧边沿的高度），则从D点飞出的物体速度范围；
（3）在上一问题中，滑块在倾斜轨道上静止释放位置离水平轨道的高度的大小范围。
6．（2022·湖北·模拟预测）如图甲所示，粒子源内有大量质量为m、电荷量为的带电粒子逸出（可以认为初速度为零），经电压为的匀强电场加速后，沿平行板M，N间的中线进入偏转电场，板长为l，极板右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场区域足够大。若在M，N两板间加电压，其电势差随时间t的变化规律如图乙所示（U为已知），所有粒子均能从极板右侧射出，并进入匀强磁场区域。已知粒子通过偏转电场所用时间远小于T，且在该过程中电场可视为恒定，不计粒子间的相互作用及粒子所受的重力，求
（1）M、N两极板的最小间距：
（2）若两极板间距为上问所求值，粒子经磁场偏转后，均无法从极板右侧回到极板间，则匀强磁场磁感应强度的大小应满足什么条件？
7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，一可视为质点的质量为的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场场强，BC段长度，CDF的半径，FMN的半径，滑块带电量，滑块与BC间的动摩擦因数，重力加速度，求
（1）滑块通过F点的最小速度vF；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
8．（2022·上海·上外附中模拟预测）如图（a），长度L=0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA=1.8×10−7C，一质量m=0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线II所示，其中曲线II在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k=9×109N·m2/C2）
（1）小球B所带电量q及电性；
（2）非均匀外电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度E；
（3）在合电场中，x=0.4m与x=0.6m之间的电势差U。
（4）已知小球在x=0.2m处获得v=0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x=0.4m。若小球在x=0.16m处受到方向向右，大小为0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
9．（2022·江苏南京·模拟预测）磁聚焦法是测量电子比荷的常用方法。如图所示，电子连续不断地从热阴极K无初速度地逸出，在阳极A上有个小孔，当施加电压时，电子就能通过小孔进入两极板，极板长为L，宽为d。两极板上施加不大的交变电压，使得电子在两极板间发生不同程度的偏转，设电子能全部通过极板，且时间极短，而后电子进入水平向右的匀强磁场，当电子打到屏幕N上会出现一条直线亮斑，两极板与屏幕N的中心之间的距离为，电子的电量为e，质量为m。求：
（1）电子射出两极板时距离中心轴的最大位移，竖直方向的最大速度；
（2）当z取值逐渐增加时亮斑的长度在变化，亮斑的最大长度，以及此时z的值；
（3）取，磁场B大小从开始取不同的值时，发现屏幕上亮斑长度也会变化，亮斑端点的坐标与磁场B的关系。
10．（2022·新疆·三模）如图所示，有一个电荷量为的电子，经电压的电场从静止加速后，进入两块间距为、电压为的平行金属板间，若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好沿金属板的边缘穿出，电子重力不计，求:
（1）金属板的长度；
（2）电子穿出电场时的动能。
专题10 带电粒子在电场中的运动
1.库仑定律：
2.电场强度：，
3.静电力做功：，，；
4.电势：；
5.电势差：，，；
6.电容：，；
在解与带电粒子在电场中的运动有关的计算题时，首先要确定研究对象，一般情况下，可以把带电粒子（不计重力）或者带点小球作为研究对象；其次要判断是电加速模型、电偏转模型还是电加速+电偏转模型；然后对模型分别进行受力分析（要画出受力分析图）、运动分析（匀加速直线运动、类平抛运动）和能量分析（电场力做的功等于动能的变化量）；最后结合已知量和待求量，列出方程求解。
一、带电粒子在匀强电场中的加速
带电粒子在电场中运动时，重力一般远小于静电力，因此重力可以忽略。
如图所示，匀强电场中有一带正电q的粒子（不计重力），在电场力作用下从A点加速运动到B点，速度由v0增加到v.，A、B间距为d，电势差为UAB.
（1）用动力学观点分析：， ，
（2）用能量的观点（动能定理）分析：
能量观点既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，对匀强电场又有。
二、带电粒子在匀强电场中的偏转
1.带电粒子以垂直于电场线方向的初速度v0进入匀强电场时，粒子做类平抛运动。垂直于场强方向的匀速直线运动，沿场强方向的匀加速直线运动。
2.偏转问题的处理方法，类似于平抛运动的研究方法，粒子沿初速度方向做匀速直线运动，可以确定通过电场的时间。
粒子沿电场线方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度；
穿过电场的位移侧移量：；
穿过电场的速度偏转角： 。
三、电场中的功能关系：
1.只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。
2.只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。
3.除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
4.电场力做功的计算方法
①由公式计算，此公式只在匀强电场中使用，即。
②用公式计算，此公式适用于任何形式的静电场。
③静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。
由动能定理计算电场力做的功。
四、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
1.带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即 恒定值
2.带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
五、解决带电粒子在电场中的运动问题方法与技巧
1.分析粒子的运动规律，区分是在电场中的直线运动还是曲线运动问题。
2.对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理。
①如果是带电粒子在恒定电场力作用下做直线运动的问题，应用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。
②如果是非匀强电场中的直线运动，一般利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。
3.对于曲线运动问题，一般是类平抛运动模型，通常采用运动的合成与分解处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，应用动力学方法或功能方法求解。
典例1：（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有
解得
（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
典例2：（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
典例3：（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1）；（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量，电势能的变化量；（3）见解析
【规范答题】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得
（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
又
联立解得
（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为，新油滴所受电场力
若，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向上；
若，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
典例4：（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。
【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3）
【规范答题】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
1．（2022·四川雅安·模拟预测）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小、方向水平向右的匀强电场；一条长且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O点，另一端系一质量kg、带电荷量的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C点竖直放置一足够长、半径的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界共线，直径MN与直径CD垂直，圆筒内左半边MNCHJK区域Ⅱ中存在大小N/C、方向垂直纸面向里的匀强电场。把小球a拉至A点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a运动到O点正下方B点时，轻绳恰好断裂。小球a进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C点竖直向下离开电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取，绳断前、断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力；
（2）小球a运动到C点时速度的大小和小球a从B到C过程电势能的变化量；
（3）若小球a刚进入圆筒时，另一绝缘小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b的质量kg，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能是多大。
【答案】（1）15N；（2）小球电势能增加了4J；（3）10J
【规范答题】（1）小球a从A运动到B点，根据动能定理得
代入数据得
在B点，根据牛顿第二定律得
代入数据得
（2）小球a在区域Ⅰ中，水平方向
解得
小球减速至0时
小球a运动到C点时的速度大小为
小球a从B运动到C点，小球a电势能的变化量为
即小球电势能增加了4J。
（3）因两球在竖直方向下落一样快，故它们碰撞时是水平正碰。根据水平方向碰撞时动量守恒和能量守恒。由于两球质量相等，所以它们正碰时交换水平方向速度。小球a从进入圆筒到第5次碰撞前，小球a增加的机械能为
则第5次碰撞后，小球b增加的机械能为
2．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，光滑斜面倾角为37°，一质量、电荷量的小物块置于斜面上，当加上水平方向的匀强电场时，该物体恰能静止在斜面上，g取，，，求：
（1）该电场的电场强度；
（2）若电场强度变为原来的，小物块运动的加速度。
【答案】（1），方向水平向右；（2）；方向沿斜面向下
【规范答题】（1）根据题意，对小物块受力分析，受重力、水平向右的电场力、斜面的支持力，如图所示
水平方向上有
竖直方向上有
联立解得
又有
代入数据解得
方向水平向右。
（2）根据题意，由牛顿第二定律有
代入数据解得
方向沿斜面向下。
3．（2022·安徽芜湖·模拟预测）如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）小球到达C点时对轨道的压力为多大?
（2）小球从A点开始，经过C点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球的电势能怎样变化?
【答案】（1）5mg；（2）减少了5mgR
【规范答题】（1）设小球在C点的速度为vC，小球从A点运动到C点过程中，由动能定理可得
小球在C点时水平方向的支持力N与电场力Eq的合力提供向心力，所以有
由牛顿第三定律可得小球对轨道的压力与支持力N大小相等，即
（2）小球经过C点上升到最高点的过程中，由运动的分解可知，在水平方向小球做初速度为零的匀加速运动，竖直方向做竖直上抛运动。
设小球从C点到最高点的时间为t，则有
，，
小球从A点开始运动到最高点过程中，电场力做功
由电场力做功与电势能变化关系式可得
解得
即小球从A点开始上升到最高点的过程中，电势能减少5mgR。
4．（2022·江西南昌·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内存在沿y轴方向的匀强电场，质量为m的带电量为q（q>0）的带电小球以某一速度从O点出发后，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为，方向沿x轴正方向，连线与Ox轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，求：
（1）小球从O点出发时的速度大小；
（2）OA之间的电势差。
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）小球从O到A点做类平抛运动，有
且
解得
小球经过坐标原点O的速度为
（2）小球从O到A的过程中，电场力所做的功为
又因为
故
5．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，一游戏轨道由倾角，动摩擦因数的足够长绝缘倾斜轨道与光滑的绝缘水平轨道及半径的光滑绝缘圆轨道（在最低点B分别与水平轨道AB和BD相连）三部分组成，轨道各部分平滑连接。所有轨道处在同一竖直面内，倾斜轨道处于水平向左场强的匀强电场中。一质量为，带电量为滑块（可视为质点），从倾斜轨道上静止释放，忽略空气阻力。求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点C时的速度大小；
（2）在水平轨道D点右侧，有一长为的水平框，框的左端点离水平轨道D点的水平距离为，竖直高度差为。为使滑块（一直在轨道上运动）滑离水平轨道D点后能落入框内（忽略框两侧边沿的高度），则从D点飞出的物体速度范围；
（3）在上一问题中，滑块在倾斜轨道上静止释放位置离水平轨道的高度的大小范围。
【答案】（1）1m/s；（2）；（3）
【规范答题】（1）滑块恰好能过圆轨道最高点C，即表示轨道对滑块的弹力恰好为0，在最高点由重力提供向心力，即
可得
（2）通过受力分析可确定，滑块水平滑离水平轨道D点后，落入框内前做平抛运动，根据
代入数据可得平抛运动的时间为
t=0.2s
为使滑块能落入框内，其水平射程满足，根据
可得滑块滑离D点时的速度大小应满足范围区间
滑块从A点运动至D点过程，要一直在轨道上运动，则滑块能在竖直平面内做完整的圆周运动，根据机械能守恒定律可知
求得滑块通过最低点B点时的速度应满足条件
即
故滑块从D点的飞出速度应满足范围
（3）通过（2）问可得滑块通过A点时的速度范围为
对处于斜面上的滑块进行受力分析，由牛顿第二定律得
可得到滑块下滑的加速度大小
对斜面上的运动用匀变速直线运动规律，可确定滑块在斜面上起始释放位置的高度满足
求得
6．（2022·湖北·模拟预测）如图甲所示，粒子源内有大量质量为m、电荷量为的带电粒子逸出（可以认为初速度为零），经电压为的匀强电场加速后，沿平行板M，N间的中线进入偏转电场，板长为l，极板右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场区域足够大。若在M，N两板间加电压，其电势差随时间t的变化规律如图乙所示（U为已知），所有粒子均能从极板右侧射出，并进入匀强磁场区域。已知粒子通过偏转电场所用时间远小于T，且在该过程中电场可视为恒定，不计粒子间的相互作用及粒子所受的重力，求
（1）M、N两极板的最小间距：
（2）若两极板间距为上问所求值，粒子经磁场偏转后，均无法从极板右侧回到极板间，则匀强磁场磁感应强度的大小应满足什么条件？
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）根据题意可知，设粒子进入偏转电场时的速度，经过加速电场时，由动能定理有
进入偏转电场后，当偏转电压为时，偏转的位移最大，此时，水平方向上有
竖直方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式可得，偏转位移为
联立解得
所有粒子均能从极板右侧射出，则有
解得
即M、N两极板的最小间距为。
（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由运动学公式可知，粒子竖直方向的速度为
则粒子进入磁场的速度为
设速度方向与竖直方向的夹角为，则有
粒子进入磁场后，由牛顿第二定律由
可得
若满足两极板间距，粒子经磁场偏转后，均无法从极板右侧回到极板间，由图根据几何关系有
联立代入数据解得
7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，一可视为质点的质量为的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场场强，BC段长度，CDF的半径，FMN的半径，滑块带电量，滑块与BC间的动摩擦因数，重力加速度，求
（1）滑块通过F点的最小速度vF；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【规范答题】（1）小球在F点有
解得
（2）设小球由h0处释放恰好通过F点，对小球从释放至F点这一过程由动能定理得
解得
（3）讨论：
（ⅰ）小球第一次运动到D点速度为零，对该过程由动能定理得
解得
则当时，小球不过D点，不脱离轨道
（ⅱ）小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，沿轨道PNMFDCBA运动，再次返回后不过D点，小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
则当时，小球可以通过F点
小球再次返回刚好到D点
解得
则当时，小球被弹簧反弹往复运动后不过D点
综上
小球第一次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道
（ⅲ）小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，第二次往复运动时满足小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
则当时，小球可以两次通过F点
小球再次返回刚好到D点
解得
则当时，小球被弹簧反弹第二次往复运动后不过D点
综上
小球第一、二次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道
（ⅳ）由数学归纳法可知，满足
（，1，2，3……）
小球不脱离轨道
8．（2022·上海·上外附中模拟预测）如图（a），长度L=0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA=1.8×10−7C，一质量m=0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线II所示，其中曲线II在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k=9×109N·m2/C2）
（1）小球B所带电量q及电性；
（2）非均匀外电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度E；
（3）在合电场中，x=0.4m与x=0.6m之间的电势差U。
（4）已知小球在x=0.2m处获得v=0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x=0.4m。若小球在x=0.16m处受到方向向右，大小为0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
【答案】（1）1.0×10−6C，正电；（2）3.0×104N/C，方向水平向左；（3）−800V；（4）0.065m
【规范答题】（1）小球A带正电，根据点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，可判断知点电荷A对小球B的作用力方向与x轴正方向相同，即为库仑斥力，故小球B带正电；由图（b）中曲线I可知，当x=0.3m时，有
因此
（2）设在x=0.3m处点电荷与小球间作用力为F2，有
因此
电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度大小为，方向水平向左；
（3）根据图像可知在x=0.4m与x=0.6m之间合力做功为
由公式
可得
（4）根据图（b）中曲线II围成的面积表示合电场力做的功，可知小球从x=0.16m到x=0.2m处，合电场力做功为
小球从到处，合电场力做功为
==
由图可知小球从到处，合电场力做功为
由动能定理可得
+++=0
解得恒力作用的最小距离
9．（2022·江苏南京·模拟预测）磁聚焦法是测量电子比荷的常用方法。如图所示，电子连续不断地从热阴极K无初速度地逸出，在阳极A上有个小孔，当施加电压时，电子就能通过小孔进入两极板，极板长为L，宽为d。两极板上施加不大的交变电压，使得电子在两极板间发生不同程度的偏转，设电子能全部通过极板，且时间极短，而后电子进入水平向右的匀强磁场，当电子打到屏幕N上会出现一条直线亮斑，两极板与屏幕N的中心之间的距离为，电子的电量为e，质量为m。求：
（1）电子射出两极板时距离中心轴的最大位移，竖直方向的最大速度；
（2）当z取值逐渐增加时亮斑的长度在变化，亮斑的最大长度，以及此时z的值；
（3）取，磁场B大小从开始取不同的值时，发现屏幕上亮斑长度也会变化，亮斑端点的坐标与磁场B的关系。
【答案】（1），；（2），，，1，2，3……；（3），
【规范答题】解：（1）电子在电场中加速度，由动能定理
可得
在两极板间运动时，有
，
所以
，
（2）粒子在两极板间，沿着z轴方向做匀速运动；而在平面上，则以的速度做匀速圆周运动，因此
同时
可得
可知为定值，即不同位置出射的粒子的圆心在同一条线上。
随着屏幕位置2的逐渐增加，形成的亮斑一直是一条直线，且在旋转。如图所示
所以亮斑的最大长度为
即
此时z的值为电子沿z轴运动的位移
即
，，1，2，3……
取值如上公式。
（3）电子在平面上的投影为圆周运动，由水平运动可知
，
即在时，电子在平面上恰好旋转一周。电子旋转的角速度满足
所以
亮斑的端点以最远处进入水平磁场的位置为主，所以在t时刻打到屏幕上时，有
所以y坐标为
x坐标为
10．（2022·新疆·三模）如图所示，有一个电荷量为的电子，经电压的电场从静止加速后，进入两块间距为、电压为的平行金属板间，若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好沿金属板的边缘穿出，电子重力不计，求:
（1）金属板的长度；
（2）电子穿出电场时的动能。
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）设电子离开加速电场时的速度为，根据动能定理可得
电子进入偏转电场后，沿金属板方向做匀速直线运动，垂直金属板方向做初速度为零的匀加速直线运动，设运动时间为，则有
，，
联立以上式子解得金属板的长度为
（2）以电子在加速电场和偏转电场的整个运动过程为研究阶段，根据动能定理可得
解得电子穿出电场时的动能为
1.库仑定律：；
2.电场强度：，；
3.静电力做功：，，；
4.电势：；
5.电势差：，，；
6.电容：，；
在解与带电粒子在电场中的运动有关的计算题时，首先要确定研究对象，一般情况下，可以把带电粒子（不计重力）或者带点小球作为研究对象；其次要判断是电加速模型、电偏转模型还是电加速+电偏转模型；然后对模型分别进行受力分析（要画出受力分析图）、运动分析（匀加速直线运动、类平抛运动）和能量分析（电场力做的功等于动能的变化量）；最后结合已知量和待求量，列出方程求解。
一、带电粒子在匀强电场中的加速
带电粒子在电场中运动时，重力一般远小于静电力，因此重力可以忽略。
如图所示，匀强电场中有一带正电q的粒子（不计重力），在电场力作用下从A点加速运动到B点，速度由v0增加到v.，A、B间距为d，电势差为UAB.
（1）用动力学观点分析：， ，
（2）用能量的观点（动能定理）分析：
能量观点既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，对匀强电场又有。
二、带电粒子在匀强电场中的偏转
1.带电粒子以垂直于电场线方向的初速度v0进入匀强电场时，粒子做类平抛运动。垂直于场强方向的匀速直线运动，沿场强方向的匀加速直线运动。
2.偏转问题的处理方法，类似于平抛运动的研究方法，粒子沿初速度方向做匀速直线运动，可以确定通过电场的时间。
粒子沿电场线方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度；
穿过电场的位移侧移量：；
穿过电场的速度偏转角： 。
三、电场中的功能关系：
1.只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。
2.只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。
3.除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
4.电场力做功的计算方法
①由公式计算，此公式只在匀强电场中使用，即。
②用公式计算，此公式适用于任何形式的静电场。
③静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。
由动能定理计算电场力做的功。
四、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
1.带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即 恒定值
2.带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
五、解决带电粒子在电场中的运动问题方法与技巧
1.分析粒子的运动规律，区分是在电场中的直线运动还是曲线运动问题。
2.对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理。
①如果是带电粒子在恒定电场力作用下做直线运动的问题，应用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。
②如果是非匀强电场中的直线运动，一般利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。
3.对于曲线运动问题，一般是类平抛运动模型，通常采用运动的合成与分解处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，应用动力学方法或功能方法求解。
典例1：（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
典例2：（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
典例3：（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
典例4：（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。
1．（2022·四川雅安·模拟预测）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小、方向水平向右的匀强电场；一条长且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O点，另一端系一质量kg、带电荷量的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C点竖直放置一足够长、半径的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界共线，直径MN与直径CD垂直，圆筒内左半边MNCHJK区域Ⅱ中存在大小N/C、方向垂直纸面向里的匀强电场。把小球a拉至A点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a运动到O点正下方B点时，轻绳恰好断裂。小球a进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C点竖直向下离开电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取，绳断前、断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力；
（2）小球a运动到C点时速度的大小和小球a从B到C过程电势能的变化量；
（3）若小球a刚进入圆筒时，另一绝缘小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b的质量kg，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能是多大。
2．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，光滑斜面倾角为37°，一质量、电荷量的小物块置于斜面上，当加上水平方向的匀强电场时，该物体恰能静止在斜面上，g取，，，求：
（1）该电场的电场强度；
（2）若电场强度变为原来的，小物块运动的加速度。
3．（2022·安徽芜湖·模拟预测）如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）小球到达C点时对轨道的压力为多大?
（2）小球从A点开始，经过C点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球的电势能怎样变化?
4．（2022·江西南昌·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内存在沿y轴方向的匀强电场，质量为m的带电量为q（q>0）的带电小球以某一速度从O点出发后，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为，方向沿x轴正方向，连线与Ox轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，求：
（1）小球从O点出发时的速度大小；
（2）OA之间的电势差。
5．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，一游戏轨道由倾角，动摩擦因数的足够长绝缘倾斜轨道与光滑的绝缘水平轨道及半径的光滑绝缘圆轨道（在最低点B分别与水平轨道AB和BD相连）三部分组成，轨道各部分平滑连接。所有轨道处在同一竖直面内，倾斜轨道处于水平向左场强的匀强电场中。一质量为，带电量为滑块（可视为质点），从倾斜轨道上静止释放，忽略空气阻力。求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点C时的速度大小；
（2）在水平轨道D点右侧，有一长为的水平框，框的左端点离水平轨道D点的水平距离为，竖直高度差为。为使滑块（一直在轨道上运动）滑离水平轨道D点后能落入框内（忽略框两侧边沿的高度），则从D点飞出的物体速度范围；
（3）在上一问题中，滑块在倾斜轨道上静止释放位置离水平轨道的高度的大小范围。
6．（2022·湖北·模拟预测）如图甲所示，粒子源内有大量质量为m、电荷量为的带电粒子逸出（可以认为初速度为零），经电压为的匀强电场加速后，沿平行板M，N间的中线进入偏转电场，板长为l，极板右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场区域足够大。若在M，N两板间加电压，其电势差随时间t的变化规律如图乙所示（U为已知），所有粒子均能从极板右侧射出，并进入匀强磁场区域。已知粒子通过偏转电场所用时间远小于T，且在该过程中电场可视为恒定，不计粒子间的相互作用及粒子所受的重力，求
（1）M、N两极板的最小间距：
（2）若两极板间距为上问所求值，粒子经磁场偏转后，均无法从极板右侧回到极板间，则匀强磁场磁感应强度的大小应满足什么条件？
7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，一可视为质点的质量为的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场场强，BC段长度，CDF的半径，FMN的半径，滑块带电量，滑块与BC间的动摩擦因数，重力加速度，求
（1）滑块通过F点的最小速度vF；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
8．（2022·上海·上外附中模拟预测）如图（a），长度L=0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA=1.8×10−7C，一质量m=0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线II所示，其中曲线II在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k=9×109N·m2/C2）
（1）小球B所带电量q及电性；
（2）非均匀外电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度E；
（3）在合电场中，x=0.4m与x=0.6m之间的电势差U。
（4）已知小球在x=0.2m处获得v=0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x=0.4m。若小球在x=0.16m处受到方向向右，大小为0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
9．（2022·江苏南京·模拟预测）磁聚焦法是测量电子比荷的常用方法。如图所示，电子连续不断地从热阴极K无初速度地逸出，在阳极A上有个小孔，当施加电压时，电子就能通过小孔进入两极板，极板长为L，宽为d。两极板上施加不大的交变电压，使得电子在两极板间发生不同程度的偏转，设电子能全部通过极板，且时间极短，而后电子进入水平向右的匀强磁场，当电子打到屏幕N上会出现一条直线亮斑，两极板与屏幕N的中心之间的距离为，电子的电量为e，质量为m。求：
（1）电子射出两极板时距离中心轴的最大位移，竖直方向的最大速度；
（2）当z取值逐渐增加时亮斑的长度在变化，亮斑的最大长度，以及此时z的值；
（3）取，磁场B大小从开始取不同的值时，发现屏幕上亮斑长度也会变化，亮斑端点的坐标与磁场B的关系。
10．（2022·新疆·三模）如图所示，有一个电荷量为的电子，经电压的电场从静止加速后，进入两块间距为、电压为的平行金属板间，若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好沿金属板的边缘穿出，电子重力不计，求:
（1）金属板的长度；
（2）电子穿出电场时的动能。
专题10 带电粒子在电场中的运动
1.库仑定律：
2.电场强度：，
3.静电力做功：，，；
4.电势：；
5.电势差：，，；
6.电容：，；
在解与带电粒子在电场中的运动有关的计算题时，首先要确定研究对象，一般情况下，可以把带电粒子（不计重力）或者带点小球作为研究对象；其次要判断是电加速模型、电偏转模型还是电加速+电偏转模型；然后对模型分别进行受力分析（要画出受力分析图）、运动分析（匀加速直线运动、类平抛运动）和能量分析（电场力做的功等于动能的变化量）；最后结合已知量和待求量，列出方程求解。
一、带电粒子在匀强电场中的加速
带电粒子在电场中运动时，重力一般远小于静电力，因此重力可以忽略。
如图所示，匀强电场中有一带正电q的粒子（不计重力），在电场力作用下从A点加速运动到B点，速度由v0增加到v.，A、B间距为d，电势差为UAB.
（1）用动力学观点分析：， ，
（2）用能量的观点（动能定理）分析：
能量观点既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场，对匀强电场又有。
二、带电粒子在匀强电场中的偏转
1.带电粒子以垂直于电场线方向的初速度v0进入匀强电场时，粒子做类平抛运动。垂直于场强方向的匀速直线运动，沿场强方向的匀加速直线运动。
2.偏转问题的处理方法，类似于平抛运动的研究方法，粒子沿初速度方向做匀速直线运动，可以确定通过电场的时间。
粒子沿电场线方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度；
穿过电场的位移侧移量：；
穿过电场的速度偏转角： 。
三、电场中的功能关系：
1.只有电场力做功，电势能和动能之和保持不变。
2.只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能三者之和保持不变。
3.除重力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化。
4.电场力做功的计算方法
①由公式计算，此公式只在匀强电场中使用，即。
②用公式计算，此公式适用于任何形式的静电场。
③静电场中的动能定理：外力做的总功（包括电场力做的功）等于动能的变化。
由动能定理计算电场力做的功。
四、带电物体在静电场和重力场的复合场中运动时的能量守恒
1.带电物体只受重力和静电场力作用时，电势能、重力势能以及动能相互转化，总能量守恒，即 恒定值
2.带电物体除受重力和静电场力作用外，如果还受到其它力的作用时，电势能、重力势能以及动能之和发生变化，此变化量等于其它力的功，这类问题通常用动能定理来解决。
五、解决带电粒子在电场中的运动问题方法与技巧
1.分析粒子的运动规律，区分是在电场中的直线运动还是曲线运动问题。
2.对于直线运动问题，可根据对粒子的受力分析与运动分析，从以下两种途径进行处理。
①如果是带电粒子在恒定电场力作用下做直线运动的问题，应用牛顿第二定律找出加速度，结合运动学公式确定带电粒子的速度、位移等。
②如果是非匀强电场中的直线运动，一般利用动能定理研究全过程中能的转化，研究带电粒子的速度变化、运动的位移等。
3.对于曲线运动问题，一般是类平抛运动模型，通常采用运动的合成与分解处理。通过对带电粒子的受力分析和运动规律分析，应用动力学方法或功能方法求解。
典例1：（2022·北京·高考真题）如图所示，真空中平行金属板M、N之间距离为d，两板所加的电压为U。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从M板由静止释放。不计带电粒子的重力。
（1）求带电粒子所受的静电力的大小F；
（2）求带电粒子到达N板时的速度大小v；
（3）若在带电粒子运动距离时撤去所加电压，求该粒子从M板运动到N板经历的时间t。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）两极板间的场强
带电粒子所受的静电力
（2）带电粒子从静止开始运动到N板的过程，根据功能关系有
解得
（3）设带电粒子运动距离时的速度大小为v′，根据功能关系有
带电粒子在前距离做匀加速直线运动，后距离做匀速运动，设用时分别为t1、t2，有
，
则该粒子从M板运动到N板经历的时间
典例2：（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面和竖直面内的光滑圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为，之后沿轨道运动。以O为坐标原点建立直角坐标系，在区域有方向与x轴夹角为的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【规范答题】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有
竖直方向有
解得
，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
典例3：（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1）；（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量，电势能的变化量；（3）见解析
【规范答题】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时
又
联立可得
（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
又
联立解得
（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为，新油滴所受电场力
若，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向上；
若，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
典例4：（2021·北京·高考真题）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能。
【答案】（1）；（2），方向垂直导体板向下；（3）
【规范答题】（1）粒子直线加速，根据功能关系有
解得
（2）速度选择器中电场力与洛伦兹力平衡
得
方向垂直导体板向下。
（3）粒子在全程电场力做正功，根据功能关系有
解得
1．（2022·四川雅安·模拟预测）如图所示，空间中在一矩形区域Ⅰ内有场强大小、方向水平向右的匀强电场；一条长且不可伸长的轻绳一端固定在区域Ⅰ的左上角O点，另一端系一质量kg、带电荷量的绝缘带电小球a；在紧靠区域Ⅰ的右下角C点竖直放置一足够长、半径的光滑绝缘圆筒，圆筒上端截面水平，CD是圆筒上表面的一条直径且与区域Ⅰ的下边界共线，直径MN与直径CD垂直，圆筒内左半边MNCHJK区域Ⅱ中存在大小N/C、方向垂直纸面向里的匀强电场。把小球a拉至A点（轻绳绷直且水平）静止释放，当小球a运动到O点正下方B点时，轻绳恰好断裂。小球a进入电场继续运动，刚好从区域Ⅰ的右下角C点竖直向下离开电场，然后贴着圆筒内侧进入区域Ⅱ。已知重力加速度大小取，绳断前、断后瞬间，小球a的速度保持不变，忽略一切阻力。求：
（1）轻绳的最大张力；
（2）小球a运动到C点时速度的大小和小球a从B到C过程电势能的变化量；
（3）若小球a刚进入圆筒时，另一绝缘小球b从D点以相同速度竖直向下贴着圆筒内侧进入圆筒，小球b的质量kg，经过一段时间，小球a、b发生弹性碰撞，且碰撞中小球a的电荷量保持不变，则从小球b进入圆筒到与小球a发生第5次碰撞后，小球b增加的机械能是多大。
【答案】（1）15N；（2）小球电势能增加了4J；（3）10J
【规范答题】（1）小球a从A运动到B点，根据动能定理得
代入数据得
在B点，根据牛顿第二定律得
代入数据得
（2）小球a在区域Ⅰ中，水平方向
解得
小球减速至0时
小球a运动到C点时的速度大小为
小球a从B运动到C点，小球a电势能的变化量为
即小球电势能增加了4J。
（3）因两球在竖直方向下落一样快，故它们碰撞时是水平正碰。根据水平方向碰撞时动量守恒和能量守恒。由于两球质量相等，所以它们正碰时交换水平方向速度。小球a从进入圆筒到第5次碰撞前，小球a增加的机械能为
则第5次碰撞后，小球b增加的机械能为
2．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，光滑斜面倾角为37°，一质量、电荷量的小物块置于斜面上，当加上水平方向的匀强电场时，该物体恰能静止在斜面上，g取，，，求：
（1）该电场的电场强度；
（2）若电场强度变为原来的，小物块运动的加速度。
【答案】（1），方向水平向右；（2）；方向沿斜面向下
【规范答题】（1）根据题意，对小物块受力分析，受重力、水平向右的电场力、斜面的支持力，如图所示
水平方向上有
竖直方向上有
联立解得
又有
代入数据解得
方向水平向右。
（2）根据题意，由牛顿第二定律有
代入数据解得
方向沿斜面向下。
3．（2022·安徽芜湖·模拟预测）如图所示，光滑水平面上竖直固定有一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BC，水平面AB与圆弧BC相切于B点，O为圆心，OB竖直，OC水平，空间有水平向右的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电绝缘小球自A点由静止释放，小球沿水平面向右运动，AB间距离为2R，匀强电场的电场强度，重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）小球到达C点时对轨道的压力为多大?
（2）小球从A点开始，经过C点脱离轨道后上升到最高点过程中，小球的电势能怎样变化?
【答案】（1）5mg；（2）减少了5mgR
【规范答题】（1）设小球在C点的速度为vC，小球从A点运动到C点过程中，由动能定理可得
小球在C点时水平方向的支持力N与电场力Eq的合力提供向心力，所以有
由牛顿第三定律可得小球对轨道的压力与支持力N大小相等，即
（2）小球经过C点上升到最高点的过程中，由运动的分解可知，在水平方向小球做初速度为零的匀加速运动，竖直方向做竖直上抛运动。
设小球从C点到最高点的时间为t，则有
，，
小球从A点开始运动到最高点过程中，电场力做功
由电场力做功与电势能变化关系式可得
解得
即小球从A点开始上升到最高点的过程中，电势能减少5mgR。
4．（2022·江西南昌·模拟预测）如图所示，在光滑的水平面内存在沿y轴方向的匀强电场，质量为m的带电量为q（q>0）的带电小球以某一速度从O点出发后，恰好通过A点，已知小球通过A点的速度大小为，方向沿x轴正方向，连线与Ox轴夹角为37°。已知sin37°=0.6，求：
（1）小球从O点出发时的速度大小；
（2）OA之间的电势差。
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）小球从O到A点做类平抛运动，有
且
解得
小球经过坐标原点O的速度为
（2）小球从O到A的过程中，电场力所做的功为
又因为
故
5．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，一游戏轨道由倾角，动摩擦因数的足够长绝缘倾斜轨道与光滑的绝缘水平轨道及半径的光滑绝缘圆轨道（在最低点B分别与水平轨道AB和BD相连）三部分组成，轨道各部分平滑连接。所有轨道处在同一竖直面内，倾斜轨道处于水平向左场强的匀强电场中。一质量为，带电量为滑块（可视为质点），从倾斜轨道上静止释放，忽略空气阻力。求：
（1）滑块恰好能过圆轨道最高点C时的速度大小；
（2）在水平轨道D点右侧，有一长为的水平框，框的左端点离水平轨道D点的水平距离为，竖直高度差为。为使滑块（一直在轨道上运动）滑离水平轨道D点后能落入框内（忽略框两侧边沿的高度），则从D点飞出的物体速度范围；
（3）在上一问题中，滑块在倾斜轨道上静止释放位置离水平轨道的高度的大小范围。
【答案】（1）1m/s；（2）；（3）
【规范答题】（1）滑块恰好能过圆轨道最高点C，即表示轨道对滑块的弹力恰好为0，在最高点由重力提供向心力，即
可得
（2）通过受力分析可确定，滑块水平滑离水平轨道D点后，落入框内前做平抛运动，根据
代入数据可得平抛运动的时间为
t=0.2s
为使滑块能落入框内，其水平射程满足，根据
可得滑块滑离D点时的速度大小应满足范围区间
滑块从A点运动至D点过程，要一直在轨道上运动，则滑块能在竖直平面内做完整的圆周运动，根据机械能守恒定律可知
求得滑块通过最低点B点时的速度应满足条件
即
故滑块从D点的飞出速度应满足范围
（3）通过（2）问可得滑块通过A点时的速度范围为
对处于斜面上的滑块进行受力分析，由牛顿第二定律得
可得到滑块下滑的加速度大小
对斜面上的运动用匀变速直线运动规律，可确定滑块在斜面上起始释放位置的高度满足
求得
6．（2022·湖北·模拟预测）如图甲所示，粒子源内有大量质量为m、电荷量为的带电粒子逸出（可以认为初速度为零），经电压为的匀强电场加速后，沿平行板M，N间的中线进入偏转电场，板长为l，极板右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场区域足够大。若在M，N两板间加电压，其电势差随时间t的变化规律如图乙所示（U为已知），所有粒子均能从极板右侧射出，并进入匀强磁场区域。已知粒子通过偏转电场所用时间远小于T，且在该过程中电场可视为恒定，不计粒子间的相互作用及粒子所受的重力，求
（1）M、N两极板的最小间距：
（2）若两极板间距为上问所求值，粒子经磁场偏转后，均无法从极板右侧回到极板间，则匀强磁场磁感应强度的大小应满足什么条件？
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）根据题意可知，设粒子进入偏转电场时的速度，经过加速电场时，由动能定理有
进入偏转电场后，当偏转电压为时，偏转的位移最大，此时，水平方向上有
竖直方向上，由牛顿第二定律有
由运动学公式可得，偏转位移为
联立解得
所有粒子均能从极板右侧射出，则有
解得
即M、N两极板的最小间距为。
（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由运动学公式可知，粒子竖直方向的速度为
则粒子进入磁场的速度为
设速度方向与竖直方向的夹角为，则有
粒子进入磁场后，由牛顿第二定律由
可得
若满足两极板间距，粒子经磁场偏转后，均无法从极板右侧回到极板间，由图根据几何关系有
联立代入数据解得
7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，在竖直向下的匀强电场中有轨道ABCDFMNP，其中BC部分为水平轨道，与曲面AB平滑连接。CDF和FMN是竖直放置的半圆轨道，在最高点F对接，与BC在C点相切。NP为一与FMN相切的水平平台，P处固定一轻弹簧。点D、N、P在同一水平线上。水平轨道BC粗糙，其余轨道均光滑，一可视为质点的质量为的带正电的滑块从曲面AB上某处由静止释放。已知匀强电场场强，BC段长度，CDF的半径，FMN的半径，滑块带电量，滑块与BC间的动摩擦因数，重力加速度，求
（1）滑块通过F点的最小速度vF；
（2）若滑块恰好能通过F点，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h0；
（3）若滑块在整个运动过程中，始终不脱离轨道，且弹簧的形变始终在弹性限度内，求滑块释放点到水平轨道BC的高度h需要满足的条件。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【规范答题】（1）小球在F点有
解得
（2）设小球由h0处释放恰好通过F点，对小球从释放至F点这一过程由动能定理得
解得
（3）讨论：
（ⅰ）小球第一次运动到D点速度为零，对该过程由动能定理得
解得
则当时，小球不过D点，不脱离轨道
（ⅱ）小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，沿轨道PNMFDCBA运动，再次返回后不过D点，小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
则当时，小球可以通过F点
小球再次返回刚好到D点
解得
则当时，小球被弹簧反弹往复运动后不过D点
综上
小球第一次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道
（ⅲ）小球第一次进入圆轨道可以经过F点，压缩弹簧被反弹，第二次往复运动时满足小球恰好可以经过F点，由动能定理可得
解得
则当时，小球可以两次通过F点
小球再次返回刚好到D点
解得
则当时，小球被弹簧反弹第二次往复运动后不过D点
综上
小球第一、二次进入圆轨道可以通过F点，往复运动第二次后不过D点，满足始终不脱离轨道
（ⅳ）由数学归纳法可知，满足
（，1，2，3……）
小球不脱离轨道
8．（2022·上海·上外附中模拟预测）如图（a），长度L=0.8m的光滑杆左端固定一带正电的点电荷A，其电荷量QA=1.8×10−7C，一质量m=0.02kg，带电量为q的小球B套在杆上。将杆沿水平方向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，小球B所受水平方向的合力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线II所示，其中曲线II在0.16≤x≤0.20和x≥0.40范围可近似看作直线。求：（静电力常量k=9×109N·m2/C2）
（1）小球B所带电量q及电性；
（2）非均匀外电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度E；
（3）在合电场中，x=0.4m与x=0.6m之间的电势差U。
（4）已知小球在x=0.2m处获得v=0.4m/s的初速度时，最远可以运动到x=0.4m。若小球在x=0.16m处受到方向向右，大小为0.04N的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能离开细杆，恒力作用的最小距离s是多少？
【答案】（1）1.0×10−6C，正电；（2）3.0×104N/C，方向水平向左；（3）−800V；（4）0.065m
【规范答题】（1）小球A带正电，根据点电荷A对小球B的作用力随B位置x的变化关系如图（b）中曲线I所示，可判断知点电荷A对小球B的作用力方向与x轴正方向相同，即为库仑斥力，故小球B带正电；由图（b）中曲线I可知，当x=0.3m时，有
因此
（2）设在x=0.3m处点电荷与小球间作用力为F2，有
因此
电场在x=0.3m处沿细杆方向的电场强度大小为，方向水平向左；
（3）根据图像可知在x=0.4m与x=0.6m之间合力做功为
由公式
可得
（4）根据图（b）中曲线II围成的面积表示合电场力做的功，可知小球从x=0.16m到x=0.2m处，合电场力做功为
小球从到处，合电场力做功为
==
由图可知小球从到处，合电场力做功为
由动能定理可得
+++=0
解得恒力作用的最小距离
9．（2022·江苏南京·模拟预测）磁聚焦法是测量电子比荷的常用方法。如图所示，电子连续不断地从热阴极K无初速度地逸出，在阳极A上有个小孔，当施加电压时，电子就能通过小孔进入两极板，极板长为L，宽为d。两极板上施加不大的交变电压，使得电子在两极板间发生不同程度的偏转，设电子能全部通过极板，且时间极短，而后电子进入水平向右的匀强磁场，当电子打到屏幕N上会出现一条直线亮斑，两极板与屏幕N的中心之间的距离为，电子的电量为e，质量为m。求：
（1）电子射出两极板时距离中心轴的最大位移，竖直方向的最大速度；
（2）当z取值逐渐增加时亮斑的长度在变化，亮斑的最大长度，以及此时z的值；
（3）取，磁场B大小从开始取不同的值时，发现屏幕上亮斑长度也会变化，亮斑端点的坐标与磁场B的关系。
【答案】（1），；（2），，，1，2，3……；（3），
【规范答题】解：（1）电子在电场中加速度，由动能定理
可得
在两极板间运动时，有
，
所以
，
（2）粒子在两极板间，沿着z轴方向做匀速运动；而在平面上，则以的速度做匀速圆周运动，因此
同时
可得
可知为定值，即不同位置出射的粒子的圆心在同一条线上。
随着屏幕位置2的逐渐增加，形成的亮斑一直是一条直线，且在旋转。如图所示
所以亮斑的最大长度为
即
此时z的值为电子沿z轴运动的位移
即
，，1，2，3……
取值如上公式。
（3）电子在平面上的投影为圆周运动，由水平运动可知
，
即在时，电子在平面上恰好旋转一周。电子旋转的角速度满足
所以
亮斑的端点以最远处进入水平磁场的位置为主，所以在t时刻打到屏幕上时，有
所以y坐标为
x坐标为
10．（2022·新疆·三模）如图所示，有一个电荷量为的电子，经电压的电场从静止加速后，进入两块间距为、电压为的平行金属板间，若电子从两板正中间垂直电场方向射入，且正好沿金属板的边缘穿出，电子重力不计，求:
（1）金属板的长度；
（2）电子穿出电场时的动能。
【答案】（1）；（2）
【规范答题】（1）设电子离开加速电场时的速度为，根据动能定理可得
电子进入偏转电场后，沿金属板方向做匀速直线运动，垂直金属板方向做初速度为零的匀加速直线运动，设运动时间为，则有
，，
联立以上式子解得金属板的长度为
（2）以电子在加速电场和偏转电场的整个运动过程为研究阶段，根据动能定理可得
解得电子穿出电场时的动能为
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