2023-2024学年海南省临高县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年海南省临高县八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若分式x2−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x>2B. x≠0C. x≠0且x≠2D. x≠2
2.如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3.如果一个多边形的内角和是它外角和的3倍，那么这个多边形的边数为( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
4.若x2+mx+n是一个完全平方式，则n等于( )
A. 18m2B. 14m2C. 12m2D. m2
5.如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.如图，△ABC中，AB=8，AC=9，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为( )
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
7.某机床厂原计划在一定期限内生产240套机床，在实际生产中通过改进技术，结果每天比原计划多生产4套，并且提前5天完成任务．设原计划每天生产x套机床，根据题意，下列方程正确的是( )
A. 240x+5=240x+4B. 240x−5=240x+4C. 240x+5=240x−4D. 240x−5=240x−4
8.已知ab=4，a−b=2，则a2+b2的值为( )
A. 8B. 10C. 12D. 14
9.如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式( )
A. x2−y2=(x−y)(x+y)
B. (x−y)2=x2−2xy+y2
C. (x+y)2=x2+2xy+y2
D. (x−y)2+4xy=(x+y)2
10.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36∘，BD平分∠ABC交AC于点D，ED//BC交AB于点E，下列四个结论：
①∠BDE=36∘；
②点D在AB的垂直平分线上；
③图中共有5个等腰三角形；
④△AED≌△BCD；
其中正确的结论有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
11.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若AC=15，BE=7，则△BDE的周长为( )
A. 22
B. 25
C. 26
D. 28
12.若关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是( )
A. a>−1B. a<−1
C. a<−1且a≠−2D. a>−1且a≠0
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若M(a,3)和N(4,b)关于y轴对称，则(a+b)2023的值为______.
用科学记数法表示为______.
15.已知10m=5，10n=6，则102m+n的值为______.
16.如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，△ADC沿AD折叠得△ADE，连接BE，若∠ADB=75∘，则∠DBE的度数是______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.分解因式：
(1)−2x3+8xy2；
(2)3a2−12a+12.
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题12分)
解方程：
(1)2x=3x+2；
(2)xx+1=2x3x+3+1.
19.(本小题10分)
先化简，再求值：
(1x−1−x1−x)÷x+1x2−2x+1，其中x=−13.
20.(本小题10分)
某学校选购了甲、乙两种图书.已知甲种图书的单价是乙种图书单价的2.5倍，且用700元单独购买甲种图书的数量比单独购买乙种图书的数量要少21本.则甲、乙两种图书的单价分别是多少元？
21.(本小题14分)
如图，在△ABC中，∠A=60∘，BE，CF分别是∠ABC、∠ACB平分线，分别与AC、AB交于点E，FBE与CF交于点P，连接EF.
(1)求∠BPC的度数；
(2)求证：PE=PF.
22.(本小题16分)
如图，已知A(3,0)，B(0,−1)，连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA=BC，连接AC.
(1)如图1，求C点坐标；
(2)如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，∠PBQ=90∘，连接CQ，当点P在线段OA(不与O、A重合)上，求证：PA=CQ；
(3)在(2)的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】根据分式有意义的条件即可得出答案．
解：∵2−x≠0，
∴x≠2，
故选：D.
本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键．
根据全等三角形的对应边相等推知BD=AC=7，然后根据线段的和差即可得到结论．
【解答】
解：∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
∴DE=BD−BE=2，
故选：A.
3.【答案】B
【解析】解：设多边形的边数为n，依题意得：
(n−2)⋅180∘=3×360∘，
解得n=8，
故选：B.
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，外角和为360∘，根据题意列方程求解．
此题考查根据多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于360∘.
4.【答案】B
【解析】解：∵x2+mx+n是一个完全平方式，
∴n=(m2)2=14m2，
故选：B.
根据完全平方式的特征进行计算，即可解答．
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查作图-尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，BA=CF.根据SSS证明△AOB≌△CEF.
【解答】
解：如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，BA=CF.
在△AOB和△CEF中，
AO=CEOB=EFAB=CF，
∴△AOB≌△CEF(SSS)，
故选：D.
6.【答案】B
【解析】解：∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，
∴ED=EB，FD=FC，
∵AB=8，AC=9，
∴△AEF的周长为AE+EF+AF
=AE+ED+FD+AF
=AE+EB+FC+AF
=AB+AC
=8+9
=17.
故选：B.
根据平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，得到∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，于是得到ED=EB，FD=FC，即可得到结果．
此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，证得ED=EB，FD=FC是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：实际用的时间为：240x+4，
原计划用的时间为：240x，
则方程可表示为：240x−5=240x+4.
故选B.
关键描述语为：提前5天完成任务．等量关系为：原计划用的时间−5=实际用的时间．
找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
8.【答案】C
【解析】解：∵ab=4，a−b=2，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab
=4+8
=12.
故选：C.
根据a2+b2=(a−b)2+2ab进行计算即可．
本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
9.【答案】C
【解析】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．
图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：(x+y)2
分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，
其余两个长方形的面积均为xy，
各部分面积相加得：x2+2xy+y2，
∴(x+y)2=x2+2xy+y2
故选：C.
观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．
本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=12×(180∘−∠A)=12×(180∘−36∘)=72∘，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36∘，
∵DE//BC，
∴∠BDE=∠CBD=36∘，所以①正确；
∵∠A=∠ABD=36∘，
∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以②正确；
∵∠BDC=∠A+∠ABD=36∘+36∘=72∘，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∵DE//BC，
∴∠AED=∠ABC=72∘，∠ADE=∠ACB=72∘，
∴∠AED=∠ADE，
∴AE=AD，
∴△ADE、△ABC、△BDE、△ADB、△BCD都是等腰三角形，所以③正确；
在△AED和△BCD中，
∠A=∠CBDAD=BD∠ADE=∠C，
∴△AED≌△BCD(ASA)，所以④正确．
故选：A.
利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ABC=∠C=72∘，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到∠ABD=∠CBD=∠BDE=∠CBD=36∘，从而可对①③进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断；根据全等三角形的判定方法可对④进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质．
11.【答案】A
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∵AC=BC，AC=15，
∴BC=15，
∵BE=7，
∴△DBE的周长=DE+BE+BD=DC+DB+BE=BC+BE=15+7=22.
故选：A.
先根据角平分线的性质得到DE=DC，则△DBE的周长=BC+BE=AC+BE.
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了等腰三角形的性质．
12.【答案】C
【解析】解：解方程2x+ax−1=1，得x=−a−1，
∵关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，
∴x>0，
即−a−1>0，
当x−1=0时，x=1，代入得：a=−2.此为增根，
∴a≠−2，
解得：a<−1.
则a的取值范围是：a<−1且a≠−2.
故选：C.
先求得方程的解，再解x>0，求出a的取值范围．
本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出a的取值范围．
13.【答案】−1
【解析】解：∵M(a,3)和N(4,b)关于y轴对称，
∴a=−4，b=3，
∴(a+b)2023=(−4+3)2023=−1.
故答案为：−1.
根据关于y轴对称点的性质得出a，b的值，进而求出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出a，b的值是解题关键．
14.【答案】2.4×10−5
【解析】解：0.000024=2.4×10−5.
故答案为：2.4×10−5.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】150
【解析】解：∵10m=5，10n=6，
∴102m+n=(10m)2⋅10n
=52×6
=150.
故答案为：150.
根据同底数幂的乘法的计算方法，幂的乘方与积的乘方的计算方法进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法以及同底数幂的乘法是正确解答的关键．
16.【答案】15∘
【解析】解：由折叠性质可得，△ADC≌△ADE，
∴AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AE=AB，∠C=∠CAB=∠ABC=60∘，
∴∠AEB=∠ABE，
∵∠ADB=75∘，
∴∠CAD=75∘−60∘=15∘，
∴∠CAE=2∠CAD=30∘，
∴∠BAE=∠CAB−∠CAE=60∘−30∘=30∘，
∴∠ABE=∠AEB=12(180∘−30∘)=75∘，
∴∠DBE=∠ABE−∠ABC=75∘−60∘=15∘，
故答案为：15∘.
由折叠性质可得△ADC≌△ADE，得到AC=AE，∠CAD=∠EAD，利用三角形的外角得∠CAD=30∘，则∠BAE=30∘，再利用AC=AE=AB得到∠ABE=∠AEB=75∘，然后计算∠ABE−∠ABC即可．
本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60∘，等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
17.【答案】解：(1)−2x3+8xy2=−2x(x2−4y2)=−2x(x+2y)(x−2y)；
(2)3a2−12a+12=3(a2−4a+4)=3(a−2)2.
【解析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)两边都乘以x(x+2)，得
2(x+2)=3x，
解得x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
所以原方程的解为x=4；
(2)两边都乘以3(x+1)，得
3x=2x+3x+3，
解得x=−32，
经检验，x=−32是原方程的解，
所以原方程的解为x=−32.
【解析】根据分式方程的解法，依次经过去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，检验写出答案等过程即可．
本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是正确解答的关键．
19.【答案】解：原式=(1x−1+xx−1)⋅(x−1)2x+1
=x+1x−1⋅(x−1)2x+1
=x−1，
当x=−13时，原式=−13−1=−43.
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：设乙种图书的单价是x元，则甲种图书的单价是2.5x元，
由题意得：700x−7002.5x=21，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴2.5x=2.5×20=50，
答：甲种图书的单价是50元，乙种图书的单价是20元．
【解析】设乙种图书的单价是x元，则甲种图书的单价是2.5x元，根据用700元单独购买甲种图书的数量比单独购买乙种图书的数量要少21本．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)解：∵∠A=60∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−∠A=120∘，
∵BE，CF分别是∠ABC、∠ACB平分线，
∴∠CBE=∠ABE=12∠ABC，∠BCF=∠ACF=12∠ACB，
∴∠CBE+∠BCF=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，
∴∠BPC=180∘−(∠CBE+∠BCF)=120∘；
(2)证明：如图，在BC上截取BG=BF，连接PG，
∵∠BPC=120∘，
∴∠BPF=∠CPE=180∘−∠BPC=60∘，
在△BPF和△BPG中，
BF=BG∠PBF=∠PBGBP=BP，
∴△BPF≌△BPG(SAS)，
∴PF=PG，∠BPF=∠BPG=60∘，
∴∠CPE=∠CPG=60∘，
在△CPE和△CPG中，
∠CPE=∠CPGCP=CP∠PCE=∠PCG，
∴△CPE≌△CPG(ASA)，
∴PE=PG，
∴PE=PF.
【解析】(1)由∠CBE=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，得∠CBE+∠BCF=12(∠ABC+∠ACB)=60∘，则∠BPC=180∘−(∠CBE+∠BCF)=120∘；
(2)在BC上截取BG=BF，连接PG，先证明△BPF≌△BPG，得PF=PG，∠BPF=∠BPG=60∘，所以∠CPE=∠CPG=60∘，再证明△CPE≌△CPG，得PE=PG，所以PE=PF.
此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90∘，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90∘，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，
∠ABO=∠BCH∠AOB=∠BHCAB=BC，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为(1,−4)；
(2)∵∠PBQ=∠ABC=90∘，
∴∠PBQ−∠ABQ=∠ABC−∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，
BP=BQ∠PBA=∠QBCBA=BC，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ；
(3)∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45∘，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135∘，
由(2)可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135∘，
∴∠OPB=45∘，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为(1,0).
【解析】(1)作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；
(2)证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA=CQ；
(3)根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC=135∘，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135∘，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．