2023-2024学年四川省成都市石室联合中学教育集团八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市石室联合中学教育集团八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”.下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.在实数−15，π2， 16， 8，0中，无理数的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.下列是二元一次方程的是( )
A. x+2y=3B. x2+y=1C. y+1x=2D. 2x−1=5
4.甲、乙、丙、丁四支女子花样游泳队的人数相同，且平均身高都是1.68m，身高的方差分别是S甲2=0.15，S乙2=0.12，S丙2=0.10，S丁2=0.12，则身高比较整齐的游泳队是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
5.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2 3− 3=2C. 2× 3= 6D. 12÷3=2
6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A=50∘，则∠B的度数为( )
A. 25∘
B. 30∘
C. 35∘
D. 40∘
7.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是( )
A. x=y+512x=y−5B. x=y−512x=y+5C. x=y+52x=y−5D. x=y−52x=y+5
8.已知点P(a+1,2a−3)在第四象限，则a的取值范围是( )
A. a<−1B. −132
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若二次根式 x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______.
10.在平面直角坐标系xOy中，点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是______.
11.如图，在△ABC中，BC=13，将△ABC沿着射线BC平移m个单位长度，得到△DEF，若EC=7，则m=______.
12.如图，直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(2,4)，则方程组y=x+2y=kx+b的解是______.
13.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D和E；②分别以点D，E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH//BC交AB于点H，若∠ABG=35∘，则∠BHG的度数是______.
14.比较大小： 2+12______65.
15.若方程组2x−y=3−x+2y=m−1的解x，y满足x−y=2m，则m的值为______.
16.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是一次函数y=(3−2m)x+1的图象上两点，且(x1−x2)(y1−y2)<0，则m的取值范围为______.
17.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，D是AB边的中点，E是BC边上一动点.设CE=x，y=AE+DE，y关于x的函数图象过点(0,4+2 5)，则该函数图象最低点的纵坐标是______.
18.如图，直线y=512x+5与坐标轴相交于点A，B，点C(0,3)，点P在线段AB上运动，连接CP.将△ACP沿CP翻折，使A点落在点A′处，若PA′平行于坐标轴时，则AP=______.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
计算：
(1)9× 13+(π−2019)0−|5− 12|÷(12)−2；
(2)x−3(x−1)≥11+3x2>x−1.
20.(本小题8分)
如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1(要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应)；
(2)将△ABC绕O点逆时针旋转90∘后得到△A2B2C2，请在图中画出旋转后的△A2B2C2(要求：A与A2，B与B2，C与C2相对应)；
(3)求△ABC的面积.
21.(本小题8分)
某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读1∼4本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据得到的数据绘制了不完整的条形统计图(图1)和扇形统计图(图2).请根据统计图解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有______人，并补全条形统计图；
(2)求本次被调查学生读书数量的中位数为______，众数为______；
(3)求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？
22.(本小题10分)
如图，一次函数y=−34x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D.
(1)求A，B两点的坐标；
(2)求OC的长；
(3)设P是坐标轴上一动点，若使△PAB是直角三角形，直接写出点P的坐标(不需计算过程).
23.(本小题10分)
(1)【问题】如图1，△ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转120∘得到AE，连接EC，DE，则线段BD，EC之间满足的数量关系式为______；直线 BD，EC相交所夹的锐角的度数为______；
(2)【探索】如图2，△ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC，D为△ABC外一点，将线段AD绕点A逆时针旋转120∘得到AE，连接EC，DE，延长BD，EC交于点F.试问：(1)中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)【应用】在(2)的条件下，EF=4 3，DF=8+2 3，求四边形ABFC的面积.
24.(本小题8分)
为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉.第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元：第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同.
(1)求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
(2)若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用.
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=13x+2与x轴交于点B，将直线y=−13x沿y轴向上平移4个单位与直线l交于点A，与x轴交于点C.
(1)求点A坐标；
(2)点D(0,6)，连接AD，BD，求△ABD的面积；
(3)点P为线段AB上一点，点Q为线段AC延长线上一点，且BP=CQ，连接PQ交x轴于点E，设点P的横坐标为m，四边形APEC的面积为S，求S与m的函数关系式.(不需求自变量的取值范围)
26.(本小题12分)
在长方形ABCD中，AB=4，BC=8，点P在线段AD上运动，将线段BP绕点B顺时针旋转60∘至BE，连接PE，EC.
(1)如图1，当E点落在BC边上时，求EC的长度；
(2)如图2，在运动过程中，当线段CE最短时，求∠PEC的度数；
(3)连接DE，当△DEC为等腰三角形时，直接写出EC2的长度.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、原图不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、原图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B.
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】B
【解析】解：在实数−15，π2， 16=4， 8，0中，无理数是π2， 8，共2个，
故选：B.
根据无理数的定义进行判断即可．
此题考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；
B选项，x的次数是2，不符合题意；
C选项，不是整式方程，不符合题意；
D选项，不含两个未知数，不符合题意；
故选：A.
根据二元一次方程的定义判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
4.【答案】C
【解析】解：∵S甲2=0.15，S乙2=0.12，S丙2=0.10，S丁2=0.12，
∴S丙2∴身高比较整齐的游泳队是丙，
故选：C.
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】C
【解析】解： 2与 3无法合并，则A不符合题意；
2 3− 3= 3，则B不符合题意；
2× 3= 2×3= 6，则C符合题意；
12÷3= 123=2 33，则D不符合题意；
故选：C.
根据二次根式的运算法则将各式计算后进行判断即可．
本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠ACD=100∘，
∴∠B=180∘−∠A−∠ACB=180∘−50∘−100∘=30∘，
故选：B.
依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．
本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组.
【解答】
解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：x=y+512x=y−5.
故选A.
8.【答案】B
【解析】解：∵点P(a+1,2a−3)在第四象限，
∴{a+1>0①2a−3<0②，
解不等式①，得：a>−1，
解不等式②，得：a<32，
∴不等式组的解集为−1故选：B.
根据第四象限点的坐标符号特点得出关于a的不等式组，解不等式组即可得．
本题考查的是坐标系内点的坐标符号特点和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得：x−1≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1.
根据二次根式的被开方数是非负数即可得．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
10.【答案】(−5,−1)
【解析】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P(5,−1)关于y轴对称的点的坐标是(−5,−1).
故答案为：(−5,−1).
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
11.【答案】6
【解析】解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，
∴BE=CF，
∵EF=13，EC=7，
∴CF=EF−CE=13−7=6，
即平移的距离m为6.
故答案为：6.
根据平移的性质得到BE=CF，再利用EF=EC+CF=13，然后求出CF的长，从而得到平移的距离．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
12.【答案】x=2y=4
【解析】解：∵直线l1：y=x+2与直线l2：y=kx+b相交于点P(2,4)，
∴方程组y=x+2y=kx+b的解是x=2y=4.
故答案为：x=2y=4.
根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标可得答案．
本题考查一次函数与二元一次方程(组)，解题的关键是熟知方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点的坐标．
13.【答案】110∘
【解析】解：根据作图可得，BG是∠ABC的角平分线，则∠ABG=∠CBG，
∵∠ABG=35∘，
∴∠CBG=35∘，
∵GH//BC
∴∠HGB=∠CBG=35∘，
在△HBG中，∠BHG=180∘−∠HBG−∠HGB=180∘−35∘−35∘=110∘，
故答案为：110∘.
根据作图可得，BG是∠ABC的角平分线，则∠ABG=∠CBG，根据平行线的性质可得∠HGB=∠CBG，根据三角形内角和定理，即可求解．
本题考查了作角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
14.【答案】>
【解析】解：∵ 2>1.4，
∴ 2+1>1.4+1，
∴ 2+1>2.4，
∴ 2+12>1.2，
∵65=1.2，
∴ 2+12>65.
故答案为：>.
根据 2>1.4，利用放缩法，判断出 2+12与65的大小关系即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．
15.【答案】47
【解析】解：{2x−y=3①−x+2y=m−1②，
①×2+②，得x=5+m3，
①+2×②，得y=2m+13，
∵x−y=2m，
∴5+m3−2m+13=2m.
∴m=47.
故答案为：47.
解方程组，用含m的代数式表示x、y，把x、y代入x−y=2m中得关于m的方程，求解即可．
本题考查了二元一次方程，掌握二元一次方程组、一元一次方程的解法等知识点是解决本题的关键．
16.【答案】m>32
【解析】解：∵A(x1,y1)，B(x2,y2)是一次函数y=(3−2m)x+1的图象上两点，且(x1−x2)(y1−y2)<0，
∴x1−x2与y1−y2异号，
∴y随x的增大而减小，
∴3−2m<0，
∴m>32，
∴m的取值范围为m>32.
故答案为：m>32.
由(x1−x2)(y1−y2)<0，可得出x1−x2与y1−y2异号，进而可得出y随x的增大而减小，再利用一次函数的性质，可得出3−2m<0，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
17.【答案】2 5
【解析】解：当x=0时，y=4+2 5，如下图，点C、E重合，
设AD=a，则AC=2a，则CD=4+2 5−2a，
在Rt△ACD中，CD2=AC2+AD2，
即a2+4a2=(4+2 5−2a)2，
解得：a=2，
即AB=AC=4，则BC=4 2；
过点A作点A关于BC的对称点N，连接DN交BC于点E，此时，y=AE+DE=DN为最小，
由作图过程知，四边形ABNC为正方形，
则BN=AC=4，BD=2，
则DN= BN2+BD2=2 5，
故答案为：2 5.
由点(0,4+2 5)求出等腰直角三角形的腰长；过点A作点A关于BC的对称点N，连接DN交BC于点E，此时，y=AE+DE=DN为最小，即可求解．
本题考查的是动点函数图象，根据点的对称性，通过画图表示出y的最小值是解题的关键．
18.【答案】2或10
【解析】解：当x=0时，y=512×0+5=5，
∴点A的坐标为(0,5)，
∴OA=5；
当y=0时，512x+5=0，
解得：x=−12，
∴点B的坐标为(−12,0)，
∴OB=12，
∴AB= OA2+OB2= 52+122=13.
由折叠的性质，可知：∠APC=∠A′PC，
当PA′//y轴时，∠A′PC=∠ACP，如图1所示．
∵∠APC=∠A′PC，
∴∠APC=∠ACP，
∴AP=AC=OA−OC=5−3=2；
当PA′//x轴时，设PA′交y轴于点M，则AMAP=AOAB=513，如图2所示．
∵∠APC=∠A′PC，
∴PC平分∠APM，
∴MCAC=PMPA=1213.
设AM=5x，则CM=5x−2，AP=13x，
∴5x−22=1213，
∴x=1013，
∴AP=13x=13×1013=10.
综上所述，AP=2或10.
故答案为：2或10.
利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，结合勾股定理，可求出AB的长，利用折叠的性质，可得出∠APC=∠A′PC，当PA′//y轴时，利用平行线的性质，可得出∠A′PC=∠ACP，结合∠APC=∠A′PC，可得出∠APC=∠ACP，利用等角对等边，可求出AP的长；当PA′//x轴时，设PA′交y轴于点M，则AMAP=AOAB=513，利用角平分线的性质(面积法可证出)，可得出MCAC=PMPA=1213，设AM=5x，则CM=5x−2，AP=13x，结合MCAC=1213，可求出x的值，再将其代入13x中，即可求出AP的长．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例、角平分线的性质、勾股定理以及翻折变换(折叠问题)，分PA′//x轴及PA′//y轴两种情况，求出AP的长是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=9× 33+1−(5−2 3)×14
=3 3+1−54+12 3
=−14+7 32；
(2){x−3(x−1)⩾1①1+3x2>x−1②，
∵解不等式①，得 x≤1，
解不等式②，得 x>−3，
∴原不等式组的解集为−3【解析】(1)先化简二次根式，根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的意，进行计算，再求出即可；
(2)先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了实数的混合运算，零指数幂，解一元一次不等式组等知识点，能求出每一部分的值是解(1)的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．
(3)△ABC的面积为12×(1+3)×3−12×3×1−12×1×2=6−32−1=72.
【解析】(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)根据旋转的性质作图即可．
(3)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图-轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
21.【答案】200 2 2
【解析】解：(1)这次调查的学生人数为80÷40%=200(人)，
读4本的人数=200−40−80−60=20(人)，
补全条形统计图如图：
(2)在被调查的200名学生中，读1本书的有40人，读2本书的有80人，读3本书的有60人，读4本书的有20人，
所以被调查学生读书数量的众数为2，中位数为2；
故答案为：2，2；
(3)被调查学生读书数量的平均数为1200×(1×40+2×80+3×60+4×20)=2.3(本)，
2.3×1500=3450(本)，
答：估计全校1500名学生共读书3450本．
(1)由两个统计图可知，读2本人数为80人，占40%可得抽查总人数，进而求出读4本的学生人数，补全条形统计图即可；
(2)根据中位数、众数的意义求解即可；
(3)先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】解：(1)令y=0，则x=4；
令x=0，则y=3，
故点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)；
(2)设OC=x，则AC=CB=4−x，
∵∠BOA=90∘，
∴OB2+OC2=CB2，
32+x2=(4−x)2，
解得x=78，
∴OC=78；
(3)∵点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，
∴OA=4，OB=3，AB= 32+42=5，
如图，当P点在x轴时，
当∠APB=90∘时，点P坐标为(0,0)；
当当∠ABP=90∘时，设P2(m,0)，则：
m2+32+52=(4−m)2，
解得：m=−94，
故点P坐标为(−94,0)；
当P点在y轴时，设P(0,n)，则：
42+n2+52=(3−n)2，
解得：n=−163，
故点P坐标为(0,−163)，
综上，点P的坐标为(0,0)或(−94,0)或(0,−163).
【解析】(1)令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
(2)OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
(3)分P点在x轴与y轴两种情况，设出P点的坐标，再根据勾股定理解答即可．
此题比较复杂，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解(2)时要注意分类讨论，不要漏解．
23.【答案】BD=EC60∘
【解析】解：(1)∵∠BAC=120∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30∘，
由旋转的性质得：AD=AE，∠DAE=120∘，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠B=∠ACE=30∘，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=30∘+30∘=60∘，
故答案为：BD=EC，60∘，
(2)(1)中的结论成立，证明如下：
∵∠BAC=120∘，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=30∘，
由旋转的性质得：AD=AE，∠DAE=120∘，
∴∠AED=∠ADE=30∘，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=EC，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF=180∘，
∴∠AEC+∠ADF=180∘，
即∠DEF+∠AED+∠ADE+∠EDF=180∘，
∴∠DEF+∠EDF=180∘−30∘−30∘=120∘，
∴∠F=180∘−(∠DEF+∠EDF)=180∘−120∘=60∘；
(3)如图2，过点E作EG⊥DF于点G，
则∠EGF=∠EGD=90∘，
由(2)可知，△ABD≌△ACE，∠F=60∘，
∴S△ABD=S△ACE，∠EGF=90∘−∠F=30∘，
∴S四边形ABFC=S四边形ADFE，GF=12EF=12×4 3=2 3，
∴EG= EF2−GF2= (4 3)2−(2 3)2=6，DG=DF−GF=8+2 3−2 3=8，
∴DE= EG2+DG2= 62+82=10，
过点A作AH⊥DE于点H，
则DH=EH=12DE=5，∠AHD=90∘，
∵∠ADE=30∘，
∴AD=2AH，
∴DH= AD2−AH2= (2AH)2−AH2= 3AH=5，
∴AH=5 33，
∴S四边形ABFC=S四边形ADFE=S△ADE+S△DEF=12DE⋅AH+12DF⋅EG=12×10×5 33+12×(8+2 3)×6=25 33+24+6 3=24+43 33.
(1)由等腰三角形的性质得∠B=∠ACB=30∘，再由旋转的性质得AD=AE，∠DAE=120∘，进而证△ABD≌△ACE(SAS)，得BD=EC，∠B=∠ACE=30∘，然后得∠BCE=∠ACB+∠ACE=60∘即可；
(2)由旋转的性质得AD=AE，∠DAE=120∘，再证△ABD≌△ACE(SAS)，得BD=EC，∠ADB=∠AEC，然后证∠DEF+∠EDF=120∘，进而由三角形内角和定理得∠F=60∘即可；
(3)过点E作EG⊥DF于点G，由全等三角形的性质得S△ABD=S△ACE，则S四边形ABFC=S四边形ADFE，再由勾股定理得EG=6，DE=10，过点A作AH⊥DE于点H，则DH=EH=12DE=5，然后由含30∘角的直角三角形的性质和勾股定理得AH=5 33，进而由面积法列式计算即可．
本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、含30∘角的直角三角形的性质、勾股定理、四边形面积以及三角形面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)设杜鹃花的价格是x元，四季海棠每盆的价格是y元，
根据题意得：60x+80y=1700100x+160y=3100，
解得：x=15y=10，
答：杜鹃花的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元；
(2)设购买杜鹃花m盆，则购买四季海案(500−m)盆，
由题意得：m≥2(500−m)，
解得：m≥33313，
∵m为正整数，
∴m的最小值为334，
此时，500−m=166，
设所需费用为w元，
由题意得：w=15m+10(500−m)=5m+5000，
∵5>0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=334时，w有最小值=5×334+5000=6670，
答：费用最省的方案为购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，方案所需费用为6670元．
【解析】(1)设杜鹃花的价格是x元，四季海棠每盆的价格是y元，根据第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元：第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海案，共花费3100元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设购买杜鹃花m盆，则购买四季海案(500−m)盆，根据杜鹃花的盆数不少于四季海案盆数的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥33313，再设所需费用为w元，由题意得出一次函数关系式，然后由一次函数的性质解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
25.【答案】解：(1)将直线y=−13x沿y轴向上平移4个单位可得y=−13x+4，
解方程组y=−13x+4y=13x+2，可得x=3y=3，
∴点A的坐标为(3,3)；
(2)如图所示，直线l：y=13x+2与x轴交于点B，
令y=0，则x=−6；令x=0，则y=2，
∴点B的坐标为(−6,0)，直线l与y轴交于(0,2)，
又∵点D(0,6)，
∴S△ABD=12×(6−2)×(6+3)=18；
(3)如图所示，过P作PF⊥x轴于F，过Q作QG⊥x轴于G，
在y=−13x+4中，令y=0，则x=12，
∴C(12,0)，
∴AB=AC=3 10，BC=18，
∴∠PBF=∠ACB=∠GCQ，
又∵∠PFB=∠QGC=90∘，BP=CQ，
∴△BPF≌△CQG(AAS)，
∴BF=CG，PF=QG，
∴BC=FG=12−(−6)=18，
又∵∠PFE=∠QGE=90∘，∠PEF=∠QEG，
∴△PEF≌△QEG(AAS)，
∴FE=GE=12FG=9，
设P(m,13m+2)，则BF=m−(−6)=m+6，
∴BE=m+6+9=m+15，
又∵A(3,3)，C(12,0)，
∴四边形APEC的面积=S△ABC−S△PBE
=12×18×3−12×(m+15)×(13m+2)
=−16m2−72m+12，
即S与m的函数关系式为：S=−16m2−72m+12.
【解析】(1)依据平移的规律可得直线y=−13x+4，再根据方程组的解即为交点坐标，即可得到点A的坐标；
(2)利用割补法进行计算，即可得到△ABD的面积；
(3)过P作PF⊥x轴于F，过Q作QG⊥x轴于G，判定△BPF≌△CQG(AAS)，可得BF=CG，PF=QG；再判定△PEF≌△QEG(AAS)，可得FE=GE=12FG=9；设P(m,13m+2)，则BF=m+6，进而得出BE=m+15，最后根据四边形APEC的面积=S△ABC−S△PBE进行计算即可得出S与m的函数关系式．
本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，割补法求三角形的面积以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，难点在于利用全等三角形的对应边相等得到点E为FG的中点．
26.【答案】解：(1)如图1，∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=8，
∴∠A=∠ABC=90∘，
由旋转得BE=BP，∠PBE=60∘，
∵点E在BC边上，
∴∠ABP=∠ABC−∠PBE=90∘−60∘=30∘，
∴BP=2AP，
∴AB= BP2−AP2= (2AP)2−AP2= 3AP=4，
∴AP=4 33，
∴BE=BP=2AP=2×4 33=8 33，
∴EC=BC−BE=8−8 33，
∴EC的长度为8−8 33.
(2)如图2，以AB为边在直线AB的右侧作等边△ABF，连接EF交BC于点G，
∵BE=BP，∠PBE=60∘，
∴△PBE是等边三角形，
∵∠PBE=∠ABF=60∘，
∴∠FBE=∠ABP=60∘−∠BPF，
在△FBE和△ABP中，
FB=AB∠FBE=∠ABPBE=BP，
∴△FBE≌△ABP(SAS)，
∴∠BFE=∠BAP=90∘，FE=AP，
∴点E在经过点F且与BF垂直的直线FE上运动，当CE⊥FE时，线段CE最短，
∵∠FBG=∠ABC−∠ABF=90∘−60∘=30∘，
∴FG=12BG，
∵∠CEF=∠BFE=90∘，
∴CE//BF，
∴∠ECG=∠FBG=30∘，
∴EG=12CG，
∴FE=FG+EG=12(BG+CG)=12BC=12×8=4，
∴FE=AP=AB=4，
∵AD=BC=8，DC=AB=4，∠BAP=∠D=∠ABC=∠ACB=90∘，
∴DP=AD−AP=8−4=4=DC，
∴∠ABP=∠APB=∠DCP=∠DPC=45∘，
∴∠PBC=∠PCB=90∘−45∘=45∘，
∴CP=BP=EP，
∴∠PEC=∠PCE=∠PCB+∠ECG=45∘+30∘=75∘，
∴∠PEC的度数为75∘.
(3)EC2的值为80−32 3或16，
理由：如图3，点P与点A重合，作EH⊥BC于点H，则∠BHE=∠CHE=90∘，
∵∠BAD=∠ABC=90∘，∠EAB=∠EBA=60∘，
∴∠DAE=∠CBE=90∘−60∘=30∘，
在△DAE和△CBE中，
AD=BC∠DAE=∠CBEAE=BE，
∴△DAE≌△CBE(SAS)，
∴DE=CE，
∴△DEC是等腰三角形，
∵EB=AB=4，
∴EH=12EB=12×4=2，
∴BH= EB2−EH2= 42−22=2 3，
∴CH=BC−BH=8−2 3，
∴EC2=EH2+CH2=22+(8−2 3)2=80−32 3；
如图4，△DEC是等腰三角形，且EC=DC=4，
∴EC2=42=16，
综上所述，EC2的值为80−32 3或16.
【解析】(1)由矩形的性质得∠A=∠ABC=90∘，由旋转得BE=BP，∠PBE=60∘，则∠ABP=∠ABC−∠PBE=30∘，所以BP=2AP，由AB= BP2−AP2= 3AP=4，求得AP=4 33，则BE=BP=2AP=8 33，所以EC=BC−BE=8−8 33；
(2)以AB为边在直线AB的右侧作等边△ABF，连接EF交BC于点G，因为BE=BP，∠PBE=60∘，所以△PBE是等边三角形，则∠FBE=∠ABP=60∘−∠BPF，可证明△FBE≌△ABP，得∠BFE=∠BAP=90∘，FE=AP，可知点E在经过点F且与BF垂直的直线FE上运动，当CE⊥FE时，线段CE最短，因为∠FBG=30∘，所以FG=12BG，可证明CE//BF，则∠ECG=∠FBG=30∘，所以EG=12CG，可求得FE=12BC=4，则FE=AP=AB=4，可证明DP=DC=4，则∠ABP=∠APB=∠DCP=∠DPC=45∘，所以∠PBC=∠PCB=45∘，则CP=BP=EP，所以∠PEC=∠PCE=75∘；
(3)分两种情况讨论，一是点P与点A重合，作EH⊥BC于点H，可证明△DAE≌△CBE，得DE=CE，此时△DEC是等腰三角形，可求得EH=12EB=2，则BH=2 3，所以CH=8−2 3，则EC2=EH2+CH2=80−32 3；二是△DEC是等腰三角形，且EC=DC=4，则EC2=42=16.
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．