哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试卷(含答案)

这是一份哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z的共轭复数是，若，则( )
A.B.C.D.
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若，则( )
A.B.3C.D.
4．已知平面直角坐标系中，椭圆C：（）的左顶点和上顶点分别为A，B，过椭圆C左焦点F且平行于直线的直线交y轴于点D.若，则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
5．的展开式中的系数为( )
A.55B.C.30D.
6．已知正四棱锥各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为，则该球表面积为( )
A.B.C.D.
7．已知函数，若时，恒有，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．设，，，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．等差数列中，，则下列命题正确的是( )
A.若，则B.若，，则
C.若，，则D.若，则，
10．在平面直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q在抛物线C的准线上，则以下命题正确的是( )
A.的最小值是2
B.
C.当点P的纵坐标为4时，存在点Q，使得
D.若是等边三角形，则点P的横坐标是3
11．在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A，一个酒鬼家住在D，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是( )
A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为
B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为
C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为
D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为
三、填空题
12．在中，，，则外接圆半径为_____________.
13．如图，四边形是正方形，平面，且，M是线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为_____________.
14．已知圆M：，直线交圆M于A、B两点，点，则三角形面积的最大值为_____________.
四、解答题
15．已知.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的单调递减区间.
16．如图，在四棱台中，底面为平行四边形，侧棱平面，，，.
（1）证明：；
（2）若四棱台的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
17．在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.
（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）
（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？
（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X，求X的分布列.
18．已知双曲线C：（，）的右顶点，斜率为1的直线交C于M、N两点，且中点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：为直角三角形；
（3）若过曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点为A，B，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.
19．十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为，2表示为，3表示为，5表示为，发现若可表示为二进制表达式，则，其中，或1（）.
（1）记，求证：；
（2）记为整数的二进制表达式中的0的个数，如，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求（用数字作答）.
参考答案
1．答案：C
解析：由对数函数的性质可得：
不等式成立，需要满足，
解得，即，且，
则，
故选：C.
2．答案：A
解析：由于，得，
则，
故选：A.
3．答案：B
解析：，故，
故，解得.
故选：B.
4．答案：D
解析：由椭圆C：的方程可得：
，，，其中，
则，
过椭圆C左焦点F且平行于直线的直线方程为：，
将代入该直线方程，可得点D的坐标为，
若，则，得.
故选：D.
5．答案：C
解析：对，有，
令，有，
令，有，
则，
故的展开式中的系数为30.
故选：C.
6．答案：B
解析：如图，设P在底面的射影为H，则平面，
且H为，的交点.
因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且，
故，故.
由正四棱锥的对称性可知O在直线上，设外接球的半径为R，
则，故，故，
故正四棱锥的外接球的表面积为，
故选：B.
7．答案：B
解析：由，得，
令，
则，
因为函数，在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
所以，
所以函数在上是增函数，
所以，
当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，满足题意；
当时，则存在，使得，
且当，，函数单调递减，
所以，故不恒成立，
综上所述，a的取值范围是.
故选：B.
8．答案：B
解析：，，，故，，
要比较与的大小，即比较与的大小，
等价于比较与2.2的大小，等价于比较与2的大小，
又
，
故，即，即，
故.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：等差数列中，，
对于A，，，A正确；
对于B，，则，，
则，，因此，即，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，设的公差为d，由，得，解得，
则，，D正确.
故选：ACD
10．答案：ABD
解析：A选项，由题意得，准线方程为，设准线与x轴交点为W，
过点P作⊥抛物线C的准线，垂足为A，
由抛物线定义可知，，
则，故当Q与点A重合时，取的最小值，
显然，当P与点O重合时，取得最小值，最小值为，
故的最小值为2，A正确；
B选项，由A选项知，当点Q与点A重合时，等号成立，故B正确；
C选项，当点P的纵坐标为4时，令中的得，，
故，假设存在点Q，使得，
则点Q为直线与准线的交点，
直线的方程为，即，
中，令得，故点，
此时，，此时，C错误；
D选项，若是等边三角形，则，
因为，所以，即点Q与点A重合，
则轴，则，
又，则，所以，
故点P的横坐标是，D正确.
故选：ABD.
11．答案：ABD
解析：选项A：10分钟或10分钟以内到家只能是，
所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为，故A正确；
选项B：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于步，
可能顺时针走5步概率为，可能逆时针走3步概率为，
或者逆时针走5步，即概率为，
故其概率为，故B正确；
选项C：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，
可以顺时针走5步,即，概率为，
可以逆时针走5步，概率为，
故其概率为，故C错误；
选项D：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，
可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，
所以其概率为，故D正确；
故选：ABD.
12．答案：3
解析：因为，故,
故，故A为锐角，故，
故外接圆的半径为，
故答案为：3.
13．答案：
解析：因为平面，则，，又四边形是正方形，
则，以A为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，且，则，
，，又M是线段的中点，则，
则，，则，
设异面直线与所成角为，即，
则，所以，
即异面直线与所成角的正切值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：的圆心，半径为3，
则到直线的距离为，解得，
到直线的距离为，
，故，
令，由于，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）单调递减区间为，
解析：（1）由于，
其导函数为：，
得：，，
所以在处的切线方程为：，即.
（2）由于，
得：，
若，则，即，
由于，则，
只需即可，解得，，
故的单调递减区间为：，.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）底面为平行四边形，
，.
，，
由余弦定理可得：，，
则，，
侧棱平面，平面，，
又平面，平面，且，
平面，
又平面，.
（2）四棱台中的体积为，
，
，
，解得：.
如图，以点D为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则有，所以
平面的法向量为，
设平面与平面所成锐二面角为，
则.
17．答案：（1）甲班
（2），
（3）分布列见解析
解析：（1）由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数是128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.
（2）由图可知，甲班中有的学生分数低于128分；
乙班中有的学生分数低于128分
设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A”，“该同学分数低于128分为事件B”，
则，，，，
，
，
，
所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为，.
（3）依题X的所有可能取值为0，1，2，3
，，
，，
所以X的分布列为：
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设，，则，，
，两点在双曲线上，
，由①－②得，
即，，
，即，，
又，，双曲线C的方程为：.
（2）由已知可得，直线的方程为：，即，
联立，，
则，，
，
，为直角三角形；
（3）由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0，
故设直线方程为：，
设，，，
，，
，
点P在双曲线C上，，
，
③，
又，，
，④，
联立，
，
⑤，⑥，
，B分别在第一象限和第四象限，，，
由④式得：，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：，
，
，
令，，
由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增，
，.
19．答案：（1）证明见解析
（2）（ⅰ）2；（ⅱ）9841
解析：（1），
，
，
，
.
（2）（ⅰ），
，
（ⅱ），
，故从到中，
有、、、共9个，
有个，由，即共有个，
有个，由，即共有个，
……，
有个，
.
X
0
1
2
3
P