河南省部分省示范高中2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)

这是一份河南省部分省示范高中2024届高三下学期3月联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．( )
A.-1B.1C.D.i
2．已知全集,集合,则( )
A.B.C.D.
3．已知直线与圆相交于M,N两点,若,则( )
A.B.1C.D.2
4．高二年级进行消防知识竞赛,统计所有参赛同学的成绩,成绩都在内,估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为( )
A.65B.75C.85D.95
5．已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为( )
A.eB.1C.D.
6．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧棱长都等于2,则该四棱锥的内切球的表面积为( )
A.B.C.D.
7．如图,已知椭圆的左、右焦点分别为,左、右顶点分别为A,B,过原点的直线与椭圆E交于M,N两点,椭圆上异于M,N的点P满足,,,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
8．甲、乙等6人去A,B,C三个不同的景区游览,每个人去一个景区,每个景区都有人游览,若甲、乙两人不去同一景区游览,则不同的游览方法的种数为( )
A.342B.390C.402D.462
二、多项选择题
9．已知函数,,则( )
A.
B.
C.在上单调递减
D.的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称
10．在中,,,,E为AC的中点,点F在线段BC上,且,将以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥,D为底面圆上一点,满足,则( )
A.
B.在上的投影向量是
C.直线与直线所成角的余弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
11．已知非常数函数的定义域为R,且,则( )
A.B.或
C.是上的增函数D.是R上的增函数
三、填空题
12．已知向量,若,则____________.
13．已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作一条渐近线的垂线交双曲线C的左支于点P,已知,则双曲线C的渐近线方程为___________.
四、双空题
14．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且,则__________,___________.
五、解答题
15．已知是等差数列,,且,,成等比数列.
（1）求的通项公式;
（2）若数列满足,且,求的前n项和.
16．如图,在直三棱柱中,已知,,
（1）当时,证明：平面.
（2）若,且,求平面与平面夹角的余弦值.
17．为建设“书香校园”,学校图书馆对所有学生开放图书借阅,可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类.已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅,若前一次选择借阅“期刊杂志”,则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为,若前一次选择借阅“文献书籍”,则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为.
（1）设小明同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为X,求X的分布列与数学期望;
（2）若小明同学第二次借阅“文献书籍”,试分析他第一次借哪类图书的可能性更大,并说明理由.
18．已知P是抛物线上任意一点,且P到的焦点F的最短距离为.直线l与交于,两点,与抛物线交于,两点,其中点A,C在第一象限,点B,D在第四象限.
（1）求抛物线的方程.
（2）证明：
（3）设,的面积分别为,,其中O为坐标原点,若,求.
19．已知函数.
（1）判断的单调性;
（2）当时,求函数的零点个数.
参考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：D
解析：因为,,所以,
又,
所以.
3．答案：B
解析：设坐标原点O到直线的距离为d,
则,由,得,解得.
4．答案：C
解析：因为,所以.
参赛成绩位于内的频率为,
第75百分位数在内,设为,
则,解得,即第75百分位数为85,所以C正确.
5．答案：D
解析：因为在区间上恒成立,所以在区间上恒成立.
令,则,所以在区间上单调递减,
所以,故.
6．答案：A
解析：设内切球的半径为r,的中点为O,易知,
则由等体积法可得,解得,
所以.
7．答案：A
解析：连接（图略）,依题意可得,,所以,
所以,
所以,
所以,则M的坐标为,所以,即,
可得,化简得,解得,即.
8．答案：B
解析：去A,B,C三个不同的景区游览,每个人去一个景区,每个景区都有人去游览,
则三个景区的人数有3种情况：①1,1,4型,则不同种数为;
②1,2,3型,则不同种数为;
③2,2,2型,则不同种数为.
所以共有种.
9．答案：BCD
解析：因为函数的图象的一条对称轴方程为,
所以,
因为,所以,即.
对于A,,A错误;
对于B,因为图象的一个对称中心为,所以B正确;
对于C,当时,,所以在上单调递减,C正确;
对于D,的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为,显然是偶函数,其图象关于y轴对称,D正确.
10．答案：ABD
解析：旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径,所以所对的圆心角为,A正确.易知B正确.以B为原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
所以,,
所以,C错误.
设平面的法向量为,则令,则.
设直线与平面所成的角为,则,D正确.
11．答案：AC
解析：在中,令,得,
即,.
因为函数为非常数函数,所以,A正确.
令,,则.
令,则,①
令,则,②
由①②,解得,从而,B错误.
令,则,即,
因为,所以,所以C正确,D错误.
12．答案：-1
解析：因为,所以,解得.
13．答案：
解析：由,可设,
因为,所以,,
在中,,由余弦定理得,化简得,所以,解得,则双曲线C的渐近线方程为.
14．答案：;
解析：因为,所以.
又,可得,所以.
因为a,b,c成等比数列,所以,从而.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,成等比数列,
所以,解得.
又是等差数列,,所以公差,
故.
（2）由,得,
所以.
当时,
.
又,上式也成立,所以.
所以.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：当时,连接,交于点E,连接,
可知是的中位线,
所以.
又平面,平面,所以平面.
（2）易知,,两两垂直,以B为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系,
当时,,,
,,
设平面的法向量为,
则令,得.
易知为平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,则.
17．答案：（1）
（2）小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大
解析：（1）设表示第i次借阅“期刊杂志”,表示第i次借阅“文献书籍”,,
则,,
依题意,随机变量X的可能取值为0,1,2.
,
,
.
随机变量X的分布列为
所以.
（2）若小明第二次借阅“文献书籍”,则他第一次借阅“期刊杂志”的可能性更大.理由如下：
.
（i）若第一次借阅“期刊杂志”,则.
（ii）若第一次借阅“文献书籍”,则.
因为,所以小明第一次选择借阅“期刊杂志”的可能性更大.
18．答案：（1）
（2）见解析
（3）
解析：（1）设,易知,准线方程为.
所以.
当时,取得最小值,由,解得.
所以抛物线的方程为.
（2）证明：设直线与轴交于点,因为直线的斜率显然不为0,所以设直线的方程为.
联立消去得,
所以.
所以.
同理可得,所以.
（3）因为,所以,即.
因为,,所以,即.
所以.
由（2）知,所以,故.
所以,即,化简得,
解得或.
若,则,这与矛盾.
所以,,,
所以.
19．答案：（1）在上单调递减,在上单调递减
（2）函数的零点个数为2
解析：（1）函数的定义域为,.
令,则.
当时,,单调递增,当时,,单调递减,
所以,
所以在上恒成立,所以在上单调递减,在上单调递减.
（2）且的零点等价于且的零点..
令,易知,
因为,,所以存在,,使得,,
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增.
当时,,当时,,所以在,上不存在零点.
取,则,
所以在上存在一个零点,设为.
又,所以,因为,所以,因为,所以,因为,所以,所以在上存在一个零点.
综上所述,当时,函数的零点个数为2.
X
0
1
2
P