河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列说法中不正确的是( )
A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线
C.单位向量是模为1的向量D.方向相反的两个非零向量必不相等
2．复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,,则( )
A.2B.C.D.1
4．已知向量,则在上的投影向量的坐标为( )
A.B.C.D.
5．下列区间为函数的增区间的是( )
A.B.C.D.
6．已知复数z满足，则下列结论正确的是( )
A.B.z的虚部与实部相等
C.D.存在复数，使
7．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则( )
A.B.6C.D.4
二、多项选择题
8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知,,,若,则( )
A.B.C.D.
9．下列各组向量中,能作为基底的是( )
A.,B.,
C.,D.,
10．设z是非零复数,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
11．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的周长为3,,则( )
A.若,则是等边三角形
B.存在非等边满足
C.内部可以放入的最大圆的半径为
D.可以完全覆盖的最小圆的半径为
三、填空题
12．已知复数z满足,则_________________.
13．若P为的外心,且,则的内角C等于_____________.
四、双空题
14．如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔的塔高,无人机的航线与塔在同一铅直平面内,无人机飞行的海拔高度为,在C处测得塔底A（即小山的最高处）的俯角为,塔顶B的俯角为,向山顶方向沿水平线飞行到达D处时,测得塔底A的俯角为,则该座小山的海拔为___________m;古塔的塔高为___________m.
五、解答题
15．已知为第四象限角,且.
（1）求,的值;
（2）求的值.
16．已知向量,.
（1）当k为何值时,与垂直？
（2）当k为何值时,与平行？
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,,.
（1）求和a的值;
（2）求的面积.
18．如图,在中,C是的中点,D是线段上靠近点O的四等分点,设,.
（1）若长为2,长为8,,求的长;
（2）若E是上一点,且,试判断A,D,E三点是否共线？并说明你的理由.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角C的大小;
（2）若为锐角三角形,且,求周长的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；
方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；
单位向量是模为1的向量，C正确；
根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，
所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；
故选：B.
2．答案：D
解析：因为,
所以复数在复平面内对应的点为,位于第四象限.
故选：D.
3．答案：D
解析：由余弦定理得,
整理得,解得（负值舍去）.
故选：D.
4．答案：C
解析：由,得,
所以在上的投影向量为.
故选：C.
5．答案：B
解析：令,,
解得:,,
当时,,
当时,,
当时,,
故四个选项中,只有B选项满足要求,
故选:B
6．答案：D
解析：由，得，z的实部为，虚部为，，当时，.故选D.
7．答案：A
解析：由正弦定理得,
即,
,,,
,,,,
,所以.
故选：A.
8．答案：B
解析：以C为坐标原点,,所在直线分别为x,y轴建立如图所示的坐标系,
由题意得,则,,,,,
,.因为,
所以解得所以.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：A中向量与共线,不能作为基底,B,C,D中不共线,
所以都可作为一组基底.
故选：BCD.
10．答案：AB
解析：对于A,,故,正确;
对于B,,,故或（舍）,正确;
对于,若,则,故或,不正确;
对于D,,即为纯虚数,故,不正确.
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：因为的周长为3,且,可得,
由余弦定理得.
对于A,因为,所以,即,则,所以为等边三角形,故A正确;
对于B,假设,则,即,则,此时为等边三角形,故B错误;
对于C,由,可得,当且仅当时等号成立,解得或（舍去）,所以的面积,的内切圆半径为,所以内部可以放入的最大圆的半径为,故C正确;
对于D,设外接圆的半径为R,因为,当且仅当时等号成立,所以,解得或（舍去）,由,可得,因为,所以,所以可以完全覆盖的最小圆的半径为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：1
解析：由,得,所以.
13．答案：
解析：因为求角C,故选C为起点整理,得,
于是.由向量加法的平行四边形法则知,
四边形为平行四边形.又因为P为外心,故,
从而四边形为菱形,且.
14．答案：;
解析：由题意知,,,
在中,,由正弦定理得,
即,延长与交于点,则,
在中,
,
所以该座小山的海拔为.在中,易知,
在中,,
所以,
故古塔的塔高为.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）,解得,
,又,且为第四象限角,
解得.
（2）原式
.
16．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）因为,
,
,
若可得,
即,得,
即时,与垂直.
（2）当时,有,
解得,
即时,与平行.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,由,可得.
又由及,,可得.
由余弦定理得,得,
因为,故解得.
所以,.
（2）由（1）知,,
所以的面积.
18．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,,C是的中点,
,
.
（2）A,D,E三点不共线,
理由如下：
由（1）知,,
,,
.
易知与不平行,
A,D,E三点不共线.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理得,
整理得,所以,
又,所以.
（2）法一：由（1）知,即.
因为为锐角三角形,所以解得.
由正弦定理,得,
则
,
当时,,则.
又,
所以,所以,
所以,即,
所以周长的取值范围是.
法二：（数形结合）
过点A作,垂足为,
在直线上取一点,使,则与均为直角三角形.
为锐角三角形,
点B在线段上（不含端点）.
在中,,,易得,
,周长为;
在中,,,易得,,周长为,
所以周长的范围是.