2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，集合B＝{x|0＜x＜5}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|﹣3＜x＜5}B．{x|0＜x＜2}
C．{x|﹣3＜x≤0}D．{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜5}
2．已知x∈R，则“x3＞27”是“|x|＞3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB＝4，D为弦BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则cs＜＞＝（ ）
A．B．C．D．
5．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
6．若函数在R上是单调函数，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．近来国内天气干旱，各地多次发布干旱红色预警信号，导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元/斤（a≠b），甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（ ）
A．m1＝m2
B．m1＞m2
C．m2＞m1
D．m1，m2的大小无法确定
8．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，，若函数y＝f（x）﹣a（0＜a＜1）有六个零点，分别是x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．已知向量，，则（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
（多选）10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃
B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
（多选）11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间上单调递增
D．y＝1与图象的所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2cm2，则该扇形的周长是 cm．
13．已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
14．定义在[﹣2019，2019]的函数的最大值为M，最小值为m，则f（x）的增区间为 ；M+m＝ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知角θ的终边与单位圆x2+y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为（，y）．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
16．已知函数f（x）＝cs4x﹣2sinxcsx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
17．已知函数f（x）＝2x．
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
18．（17分）已知函数是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设，若函数y＝f（x）﹣g（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围．
19．（17分）在校园策化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地．
（1）甲校决定在半径为30m的半圆形空地O的内部修建一矩形观赛场地ABCD．如图所示，求出观赛场地的最大面积；
（2）乙校决定在半径为30m、圆心角为的扇形空地O的内部修建一矩形现赛场地ABCD，如图所示，
①请你确定B点的位置，使观赛场地的面积最大．
②求出最大面积．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在等小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，集合B＝{x|0＜x＜5}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|﹣3＜x＜5}B．{x|0＜x＜2}
C．{x|﹣3＜x≤0}D．{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜5}
【分析】由A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜5}，由此能求出A∩B，从而能求出图中阴影部分表示的集合．
解：由A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜5}，
则A∩B＝{x|0＜x＜2}，A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}，
可得图中阴影部分表示的集合为：{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜5}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的求法，考查实数的取值范围的求法，考查分类讨论思想、集合性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．已知x∈R，则“x3＞27”是“|x|＞3”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，利用充分必要条件的概念进行正反论证，即可得到本题的答案．
解：当x3＞27时，可得x＞3，由此可得|x|＞3，
反之，当|x|＞3时，可能x＜﹣3，不能推出x3＞27．
因此，“x3＞27”是“|x|＞3”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质、充要条件的判断及其应用等知识，属于基础题．
3．若，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合诱导公式及同角基本关系即可求解．
解：因为，且，
所以﹣＜ ，
所以cs（）＝，
则＝sin[﹣（）]＝cs（）＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角平方关系及诱导公式的应用，属于基础题．
4．最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB＝4，D为弦BC上一点（不含端点），且△ABD满足勾股定理，则cs＜＞＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，可得△ABC中csC＝，由相似三角形的性质可得∠DAB＝∠C，而＜＞＝∠DAB，即可得答案．
解：根据题意，△ABC满足“勾三股四弦五”，其中股AB＝4，则△ABC为Rt△，且csC＝，
△ABD满足勾股定理，则△ABD为Rt△，且∠ADB＝90°，
则有∠DAB＝∠C，
又由＜＞＝∠DAB，
则cs＜＞＝cs∠DAB＝csC＝，
故选：A．
【点评】本题考查向量夹角的计算，注意向量夹角的定义，属于基础题．
5．函数f（x）＝的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求得f（x）的定义域和奇偶性，可得图象的特点，即可得到所求函数的图象．
解：函数f（x）＝
的定义域为R，
由f（﹣x）＝＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数，
图象关于原点对称，且经过原点，
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的画法，注意运用函数的定义域和性质，主要是奇偶性和对称性，考查数形结合思想方法，属于基础题．
6．若函数在R上是单调函数，则t的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得t的取值范围，即可得答案．
解：根据题意，函数，
当x≤﹣1时，f（x）＝﹣x2+2t为增函数，所以当x＞﹣1时，f（x）＝tx+4也为增函数，
所以，解得．故t的最大值为，
故选：B．
【点评】本题考查函数单调性的定义和性质的应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
7．近来国内天气干旱，各地多次发布干旱红色预警信号，导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为a元/斤、b元/斤（a≠b），甲和乙购买白菜的方式不同，甲每周购买20元钱的白菜，乙每周购买6斤白菜，甲、乙两次平均单价为分别记为m1，m2，则下列结论正确的是（ ）
A．m1＝m2
B．m1＞m2
C．m2＞m1
D．m1，m2的大小无法确定
【分析】根据题意可得，，再结合a≠b，即可得m1，m2的大小关系．
解：根据题意可得，当且仅当a＝b等号成立，
，当且仅当a＝b等号成立，
由题意可得a≠b，所以，则m2＞m1，
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
8．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，，若函数y＝f（x）﹣a（0＜a＜1）有六个零点，分别是x1，x2，x3，x4，x5，x6，则x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范围是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
【分析】作出函数在R上的图象，利用二次函数对称性以及对勾函数单调性数形结合即可
解：因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在R上的图象如图：
由图可知x1+x2＝﹣8，x5+x6＝8，且﹣lg2x3＝lg2x4，即lg2（x3x4）＝0，所以是x3x4＝1，
因为0＜a＜1，故0＜﹣lg2x3＜1，即x3∈（，1）
故x1+x2+x3+x4+x5+x6＝x3+x4＝x3+，
根据对勾函数y＝x+在（0，1）上单调减，在（1，+∞）上单调增，
故而x1+x2+x3+x4+x5+x6＝x3+x4＝x3+在x3∈（，1）上单调减，
则x1+x2+x3+x4+x5+x6＝x3+x4＝x3+∈（2，），
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及对数函数图象、二次函数图象的变换，利用数形结合法是解题关键，属于中档题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．已知向量，，则（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量为
C．与的夹角余弦值为
D．若，则
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．
解：对于A，向量，，所以+＝（﹣1，2），且﹣1×1﹣2×2＝﹣5≠0，所以+与不平行，A错误；
对于B，向量在向量上的投影向量为||csθ•＝•＝•＝，所以B正确；
对于C，因为﹣＝（5，0），所以cs＜，﹣＞＝＝＝，所以C正确；
对于D，因为，所以•＝2×+1×（﹣）＝0，所以，选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与命题真假性判断问题，也考查了计算与推理能力，是基础题．
（多选）10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是θ0（单位：℃），环境温度是θ1（单位：℃），其中θ0＞θ1、则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）•e﹣kt（k∈R且k＞0）．现有一杯100℃的热红茶置于10℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，则f（6）＝20℃
B．若，则红茶下降到55℃所需时间大约为6分钟
C．5分钟后物体的温度是40℃，k约为0.22
D．红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多
【分析】由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．
解：由题知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，
A选项：若f（3）＝40℃，即40＝10+90e﹣3k，所以，
则，A正确；
B选项：若，则，则，
两边同时取对数得，所以t＝10ln2≈7，
所以红茶下降到55℃所需时间大约为7分钟，B错误；
C选项：5分钟后物体的温度是40℃，即10+90•e﹣5k＝40，
则，得，所以，故C正确；
D选项：f（t）为指数型函数，如图，
可得红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间（t2﹣t1）比从60℃下降到40℃所需的时间（t3﹣t2）少，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点对称
B．函数f（x）的图象关于直线对称
C．函数f（x）在区间上单调递增
D．y＝1与图象的所有交点的横坐标之和为
【分析】由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，正弦函数的图象和性质，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，
可得A＝2，×＝﹣，∴ω＝2．
结合五点法作图，可得2×+φ＝π，∴φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）．
令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得函数f（x）的图象关于点对称，故A正确；
令x＝，求得f（x）＝﹣1，不是最值，故函数f（x）的图象关不于直线对称，故B错误；
在区间上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）单调递增，故C正确；
当x∈[﹣，]，2x+∈[0，4π]，
直线y＝1与图象的4个交点关于直线2x+＝对称．
设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，
则（2a+）+（2d+）＝2×，（2b+）+（2c+）＝2×，
故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d＝，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点作图求出φ，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2cm2，则该扇形的周长是 6 cm．
【分析】利用已知条件求出扇形的半径，即可得解周长．
解：设扇形的半径r，扇形OAB的圆心角为4弧度，弧长为：4r，
其面积为2cm2，
可得×4r×r＝2，解得r＝1．
扇形的周长：1+1+4＝6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力，考查了转化思想，属于基础题．
13．已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是 ．
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
解：【方法一】由题意，设＝（1，0），＝（0，1），
则﹣＝（，﹣1），
+λ＝（1，λ）；
又夹角为60°，
∴（﹣）•（+λ）＝﹣λ＝2××cs60°，
即﹣λ＝，
解得λ＝．
【方法二】， 是互相垂直的单位向量，
∴||＝||＝1，且•＝0；
又﹣ 与+λ的夹角为60°，
∴（﹣）•（+λ）＝|﹣|×|+λ|×cs60°，
即+（﹣1）•﹣λ＝××，
化简得﹣λ＝××，
即﹣λ＝，
解得λ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
14．定义在[﹣2019，2019]的函数的最大值为M，最小值为m，则f（x）的增区间为 [﹣2019，2019] ；M+m＝ 2 ．
【分析】首先可得f（﹣x）+f（x）＝2，即可得到f（x）的图象关于（0，1）对称，再根据指数、对数型复合函数的单调性判断f（x）的单调性，即可得解．
解：函数的定义域为[﹣2019，2019]，
且，
所以f（x）的图象关于（0，1）对称，
因为，
又当x＞0时、y＝lnx、y＝ex+1、均为增函数，
所以与在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）在（0，2019]上单调递增，
又f（x）为连续函数，所以f（x）的单调递增区间为[﹣2019，2019]，
因为f（x）的最大值为M，最小值为m，所以M+m＝2．
故答案为：[﹣2019，2019]；2．
【点评】本题主要考查函数的最值和单调区间，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知角θ的终边与单位圆x2+y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为（，y）．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
【分析】（1）首先由已知求出y值，然后利用任意角的三角函数定义求出tanθ的值即可；
（2）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，把tanθ的值代入计算即可得答案．
解：（1）由已知θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P（，y），
得（）2+y2＝1，y＜0，解得y＝﹣．
∴tanθ＝＝；
（2）∵tanθ＝，
∴＝＝．
【点评】本题考查了三角函数的基本定义、诱导公式以及基本关系式的运用，属于基础题．
16．已知函数f（x）＝cs4x﹣2sinxcsx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）当时，求f（x）的最小值以及取得最小值时x的集合．
【分析】（1）先根据三角函数的二倍角公式化简为y＝cs（2x+），再由T＝可得答案．
（2）先根据x的范围确定2x+的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．
解：f（x）＝cs4x﹣2sinxcsx﹣sin4x
＝（cs2x+sin2x）（cs2x﹣sin2x）﹣2sinxcsx
＝cs2x﹣sin2x＝cs（2x+）
（1）T＝π
（2）∵
∴
【点评】本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法．一般都先把函数化简为y＝Asin（ωx+ρ）或y＝Acs（ωx+ρ）的形式再解题．
17．已知函数f（x）＝2x．
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）当x＜0时，f（x）＝0≠2，舍去；当x≥0时，f（x）＝2x﹣＝2，即（2x）2﹣2•2x﹣1＝0，2x＞0．基础即可得出．
（2）当t∈[1，2]时，2tf（2t）+mf（t）≥0，即+m≥0，即 m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．化简解出即可得出．
解：（1）当x＜0时，f（x）＝0≠2，舍去；
当x≥0时，f（x）＝2x﹣＝2，即（2x）2﹣2•2x﹣1＝0，2x＞0．
解得 2x＝1+，
∴x＝．
（2）当t∈[1，2]时，2tf（2t）+mf（t）≥0，即+m≥0，
即 m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．
∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．
∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．
故m的取值范围是[﹣5，+∞）．
【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（17分）已知函数是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设，若函数y＝f（x）﹣g（x）有唯一的零点，求实数a的取值范围．
【分析】（1）通过f（﹣x）＝f（x），推出2x+2kx＝0，对于一切x∈R恒成立，求解即可．
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一实数解，且，利用换元法转化为：方程只有一个正实根，且，通过a与1的大小比较，转化求解a的范围即可．
解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），
∴，………………
∴2x+2kx＝0．
∵此式对于一切x∈R恒成立，
∴k＝﹣1．……………
（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，
等价于方程f（x）＝g（x）有唯一的实数解，
等价于方程有唯一实数解，且，………………
令t＝2x，则此问题等价于方程只有一个正实根，且，…………，、
从而有：
当a﹣1＝0，即a＝1时，则不合题意舍去，……………………
当a﹣1≠0，即a≠1时，
①若，即或a＝﹣3，……………………
当时，代入方程得t＝﹣2，不合题意；………………
当a＝﹣3时，得，符合题意；………………
②方程有一个正根和一个负根，即，
即a＞1，符合题意．……………
综上所述，实数a的取值范围是{﹣3}∪（1，+∞）．……………
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点与方程根的关系，分类讨论思想的应用，是中档偏难题目．
19．（17分）在校园策化、改造活动中，甲、乙两所学校各要修建一个矩形的观赛场地．
（1）甲校决定在半径为30m的半圆形空地O的内部修建一矩形观赛场地ABCD．如图所示，求出观赛场地的最大面积；
（2）乙校决定在半径为30m、圆心角为的扇形空地O的内部修建一矩形现赛场地ABCD，如图所示，
①请你确定B点的位置，使观赛场地的面积最大．
②求出最大面积．
【分析】（1）根据题意，设∠COD＝θ，得到OD＝30csθ，CD＝30sinθ，从而得到SABCD＝2×30csθ×30sinθ＝900sin2θ，再利用三角函数图像的性质算出面积的最大值；
（2）首先设CD中点为M，连接OM交AB于N，记∠COM＝θ，得到OM＝30csθ，MC＝30sinθ，BN＝CM＝30sinθ，，从而得到，然后利用三角恒等变换，结合三角函数的图像性质加以计算，即可得到面积的最大值
解：（1）如图所示：设∠COD＝θ，则且OD＝30csθ，CD＝30snθ，
S矩形ABCD＝2•OD•CD＝2×30csθ×30sinθ＝900sin2θ，
当，即时，（S矩形ABCD）max＝900，故观赛场地的面积的最大值为900m2；
（2）如图所示：设CD中点为M，连接OM交AB于N，
记∠COM＝θ，则且OM＝30csθ，MC＝30sinθ，BN＝CM＝30sinθ，．
S△ACD＝2BN•BC＝＝
＝＝＝．
当，即时，，此时．
综上所述，当时，矩形ABCD的面积最大，最大值为．
【点评】本题主要考查三角恒等变换及其应用、三角函数的图象与性质、函数的值域与最值等知识，属于中档题．