河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题及答案

这是一份河南省焦作市博爱县第一中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题及答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
2．已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
3．已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，的终边与以原点为圆心，以2为半径的圆交于，则=（ ）
A．B．C．D．
6．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献.人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”.其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.根据欧拉公式，则（ ）
A．2B．1C．D．
7．已知直线与椭圆在第四象限交于两点，与轴，轴分别交于两点，若，则的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知圆，则下列结论正确的是（ ）
A．无论为何值，圆都与轴相切
B．存在整数，使得圆与直线相切
C．当时，圆上恰有11个整点（横、纵坐标都是整数的点）
D．若圆上恰有两个点到直线的距离为，则
10．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（ ）
A．B．C．D．2
11．一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一个球，设事件“摸出红色球或蓝色球”，事件“摸出紫色球或蓝色球”，事件“摸出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：（ ）
A．B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
三、填空题
12．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ．
13．在直角梯形，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动（如图所示），若，其中，，则的取值范围是 .
14．某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组的平均数为 ．
四、解答题
15．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值．
16．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
17．如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点.
(1)在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；
(2)设平面∩平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的取值范围.
18．已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆方程；
(2)设不过原点的直线，与该椭圆交于两点，直线的斜率依次为，满足，试问：当变化时， 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
19．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行.
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．B
【分析】
先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【详解】因为，均为正实数，且，得，
所以，
又，
当且仅当即时取等号，所以.
故选：B.
3．B
【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.
【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
又幂函数在上单调递增，
所以，此时在R上单调递增，
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：B.
4．B
【分析】
利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.
【详解】
由题意知，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以，即，所以，即，所以，
又，又，所以，
所以，所以．
故选：B．
【点睛】
关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.
5．A
【分析】
根据和点在以2为半径的圆上，建立方程组，解方程组可得答案.
【详解】因为，所以，即；
又因为在以2为半径的圆上，
所以，，；
当时，，此时；
当时，，此时；
故选：A.
6．B
【分析】
根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模.
【详解】由题设，.
故选：B
7．C
【分析】
由题意线段的中点，也是线段的中点，再利用点差法和四点共线求出，得解.
【详解】由可得线段的中点，也是线段的中点，
设，线段的中点坐标为，
则.
又点在椭圆上，所以，
两式相减可得，
，所以，
所以，即.
又因为四点共线，所以，
综上可得，由在第四象限得即，
所以直线的倾斜角为.
故选：C.

8．B
【分析】由在上有两个不同的零点，转化为函数与有两个不同的交点，利用数形结合法求解.
【详解】，
因为在上有两个不同的零点，
即有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
即与有两个不同的交点.
因为，当时，，当时，，
所以函数在为增函数，在为减函数，
当时，，且当时，，
在同一坐标系中作出 与的图象，如图所示：

由图象得，
故选：B.
【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
9．AD
【分析】
根据圆心到直线距离即可判断A，根据直线与圆相切得到方程，解出即可判断B，将代入，写出所有整数点即可判断C，首先写出圆心到直线的距离，从而得到不等式组，解出即可判断D.
【详解】对A，由题意可知圆的圆心坐标为，半径为，
则圆心到轴的距离等于圆的半径，则A正确.
对B，由圆与直线相切，得，解得，则B错误.
对C，当时，圆，
则上的整点有，，共12个，则C错误.
对D，圆心到直线的距离，则，解得，故D正确.
故选：AD.
10．AB
【分析】根据题意分和两种情况讨论， 当时，有，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出结论验证；当时，令，求导判断出函数存在零点设为，即可判断，最后综合得出的取值范围.
【详解】依题意，在上恒成立，当时，，
令，则，，
故当时，，当时，，
故，故，则不等式成立；
当时，令，因为，
，故在内必有零点，设为，则，
则，故，不合题意，舍去；
综上所述，.
故选：AB.
【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；
适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.
11．BCD
【分析】
根据相互独立事件的定义逐一判断即可.
【详解】由题意可得，
，所以与相互独立，故B正确；
，所以与相互独立，故C正确；
，所以与相互独立，故D正确；
，故A错误.
故选：BCD.
12．
【分析】
根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递增，
依题意，，，且在上单调递增，
因此，解得，
所以a的取值范围是.
故答案为：
13．
【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由得到，，从而得到，由此可求得的取值范围.
【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：
.
则，，，，，，
则，，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，∴，∴，
∴，故，即.
故答案为:
14．
【分析】
首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算即可.
【详解】这组数据共个数，中位数为则从小到大排列时，的前面有两个数，
后面也有两个数，又唯一的众数为，则有两个
其余数字均只出现一次,则最大数字为
又极差为，所以最小数字为，
所以这组数据为
则平均数为
故答案为：.
15．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）直接代入求解即可
（Ⅱ）利用三角恒等变换，得到，再利用，得到，得到，即可求出，最后利用求解即可
【详解】解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
，
若，则，
即，
∵，∴，
∵，
∴（舍）或，
则，
则
【点睛】本题考查三角恒等变换的运用，难点在于对等式进行化简，属于中档题
16．（1）；
（2）.
【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
根据题意有，
解答，所以，
所以等差数列的通项公式为；
（2）由条件，得，即，
因为，所以，并且有，所以有，
由得，整理得，
因为，所以有，即，
解得，
所以的取值范围是：
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
17．(1)作图及理由见解析；
(2).
【分析】
（1）取中点P，作直线，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）延长交于点O，作直线，再确定四棱锥体积最大时，点B的位置，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量建立线面角正弦的函数关系，求出其范围作答.
【详解】（1）取中点P，作直线，则直线即为所求，
取中点H，连接，则有，如图，
在等腰梯形中，，有，则四边形为平行四边形，
即有，又平面，平面，
所以平面.
（2）延长交于点O，作直线，则直线即为直线，如图，
过点B作于，因为平面平面，平面平面，平面，
因此平面，即为四棱锥的高，在中，，
，当且仅当时取等号，此时点与重合，
梯形的面积为定值，四棱锥的体积，
于是当最大，即点与重合时四棱锥的体积最大，，
以为原点，射线分别为轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
在等腰梯形中，，此梯形的高，
显然为的中位线，则，
，
设，则
设平面的一个法向量，则，令，得，
则有，
令，则，当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
综上得，
所以的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起选定变量的函数，求出函数最值即可.
18．(1)
(2)是定值；为定值
【分析】（1）根据离心率，点的坐标及，列出方程组，求出，得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用题干条件得到，代入后最终求得为定值.
【详解】（1）根据题意可得： ，
解方程组可得，故椭圆方程为
（2）当变化时， 为定值，证明如下：由，把代入椭圆方程得： ；
设，由二次函数根与系数关系得：
因为直线斜率依次是，且满足，所以，
该式化为，代入根与系数关系得： ，
经检验满足：即为定值
19．（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）.
【分析】（1）根据切线的斜率可求出,得，求导后解不等式即可求出单调区间.
（2）原不等式可化为恒成立，令，求导后可得函数的最小值，即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，，
又曲线在点处的切线与直线平行
所以，即
，
由且，得，即的单调递减区间是
由得，即的单调递增区间是.
（2）由（1）知不等式恒成立可化为恒成立
即恒成立
令
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
所以时，函数有最小值
由恒成立
得，即实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数的单调区间，最值，恒成立问题，属于中档题.