宁夏银川市唐徕中学2024届高三第一次模拟理科数学试题及答案

这是一份宁夏银川市唐徕中学2024届高三第一次模拟理科数学试题及答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
2．已知复数表示纯虚数，则（ ）
A．1B．C．1或D．2
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列的前项和为，，，则满足的值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
6．“”是“函数为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，、分别是棱，的中点，过点作平面，使得∥平面，且平面与交于点，则（ ）

A．B．C．D．
9．已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
11．设，则（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数与（且）的图象只有一个交点，给出四个值：①；②；③；④，则的可能取值为（ ）
A．①②B．①③C．②③D．②④
二、填空题
13．已知实数，满足约束条件，则的最大值为 .
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若数列{Sn﹣2a1}也为等比数列，则
15．某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，6名学生中甲、乙两人关系最好，则恰好甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的概率为 .
16．已知抛物线的准线与轴交于点，过焦点的直线与交于，两点，且，，的中点为，过作的垂线交轴于点，点在的准线上的射影为点，现有下列四个结论：
①，
②若时，
③
④过的直线与抛物线交于，，则.
其中正确结论的序号为 .
三、解答题
17．已知某水果种植基地苹果的种植面积（单位：公顷）与其产量（单位：吨）呈线性相关关系，小王准备承包一块苹果种植地，为了解市场行情，在该基地调查了5家果农，统计得到了苹果种植面积与其产量的数据如表所示：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)若苹果的销量等于产量，且所种苹果的总利润（单位：千元）满足，苹果种植面积，请根据（1）的结果预测要使得单位面积的苹果利润最大，小王应该种植多少公顷的苹果？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
18．的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
19．已知四棱锥，四边形是直角梯形，，∥，且，是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，如图所示.

(1)求证：平面；
(2)若，当平面与平面所成的二面角为时，求线段的长.
20．已知，分别是椭圆的左、右焦点，左顶点为A，则上顶点为，且的方程为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若是直线上一点，过点的两条不同直线分别交于点，和点，，且，求证：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.
21．已知函数
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若，证明：当时，.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）
(1)判断曲线与的位置关系；
(2)已知，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，与交于点，与交于点，，求的面积.
23．已知函数，且的解集为.
(1)求和的值；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
种植面积/公顷
1
2
3
4
5
产量/吨
20
38
64
78
100
参考答案：
1．A
【分析】
根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解.
【详解】由题意可得：，
可得，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
2．B
【分析】
根据题意结合复数的相关概念列式求解即可.
【详解】因为，
若复数表示纯虚数，则，解得.
故选：B.
3．B
【分析】
先求出的坐标，然后利用数量积的坐标运算公式求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以.
故选：B.
4．C
【分析】
根据程序框图，写出运行结果
【详解】
根据程序框图，运行结果如下：
第1次循环，，不满足；
第2次循环，，不满足；
第3次循环，，不满足；
第49次循环，，不满足；
第50次循环，，满足；
跳出循环，输出.
故选：C.
5．B
【分析】
根据题意列式求，进而可得，分析其符号即可得结果.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，则，解得，
可得，
且，当时，；当时，；
可知：当或时，；当时，；
若，所以.
故选：B.
6．A
【分析】
根据函数奇偶性的定义和性质分析可知函数为偶函数，等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若函数为偶函数，且为奇函数，
可知为奇函数，则，
即，整理得，
因为，可得，
即函数为偶函数，等价于，
显然是的真子集，
所以“”是“函数为偶函数”充分不必要条件.
故选：A.
7．C
【分析】设圆锥的底面半径，母线为，外接球的半径为，依题意求出、，即可得，最后由球的表面积公式计算可得.
【详解】依题意圆锥高，设圆锥的底面半径，母线为，圆锥的外接球的半径为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，解得，
可知，
所以圆锥的外接球球的表面积.
故选：C.
8．C
【分析】
建系，求平面的法向量，利用空间向量求点M的位置，进而可得结果.
【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量为，则，
令，则，可得，
因为∥平面，可知平面的法向量为，
设，可得，
可得，解得，
则，可得，
所以.
故选：C.
9．B
【分析】根据函数的对称性，建立方程求出的值，然后利用辅助角公式求出的解析式，利用最值性质转化为周期关系进行求解即可．
【详解】由函数的图象关于直线对称，得，
所以，解得，
所以，
又由，，
所以，
所以的最小值为函数的最小正周期．
故选：B.
10．C
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，，由题意可得，设，，根据对称性可得，，根据双曲线的定义可得，，，整理可得关于，的齐次方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，
因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，
所以，圆心为，半径为，
根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，，
可知：，，
则，由可得，
所以，所以，所以.
故选：C.
11．C
【分析】利用正切函数的单调性，以及构造函数，利用函数导数的单调性判断的大小即可.
【详解】因为在上单调递增，
所以， 所以，
令函数，则，
当时，，所以在上单调递增，
则，
则.
因此，即，
故.
故选：C.
12．B
【分析】
构造函数，利用导数确定其零点个数判断①；通过特殊点判断②；对③④：在，由两个函数图象只有一个交点，则它们与直线相切，设切点为，利用公切线求出值进行判断．
【详解】对于①：令，
则，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
所以单调递增，且，，
所以有唯一零点，从而与的图像只有一个交点，故①正确；
对于②：若，可知和是与的图像的两个交点，故②错误；
对于③④：因为，因为与互为反函数，
若两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线相切，
设切点为，则，，所以，
且，所以，解得，
所以，故③正确，④错误；
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：对于③④：分析可知两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线相切，结合导数的几何意义分析求解.
13．
【分析】
根据线性约束条件画出可行域，再数形结合求出目标式子的最大值.
【详解】因为实数，满足约束条件，作出可行域如下所示：
由，解得，即，
令，则，平行直线，
由图可知当直线过点时，直线在轴上的截距取得最小值，
此时取得最大值，即.
故答案为：
14．
【解析】设等比数列{an}的公比为q，根据数列{Sn﹣2a1}为等比数列得到﹣（q2+q﹣1）＝（q﹣1）2，解得q，再计算得到答案.
【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
对于等比数列{Sn﹣2a1}，其前三项为：﹣a1，a2﹣a1，a3+a2﹣a1，
则有（﹣a1）（a3+a2﹣a1）＝（a2﹣a1）2，变形可得：﹣（q2+q﹣1）＝（q﹣1）2，
解可得：q或0（舍），则q，则；
故答案为：．
【点睛】本题考查了等比数列的相关计算，意在考查学生的计算能力.
15．
【分析】
首先分三种情况讨论求出所有的安排方法数，再求出满足条件的安排方法，最后由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，
则有①：两个办公室安排人，另外一个办公室安排人，则有种安排方法；
②三个办公室安排的人数为、、，则有种安排方法；
③三个办公室均安排人，则有种安排方法；
综上可得一共有种安排方法.
其中甲、乙两人（仅有两人）打扫同一个办公室的有种安排方法，
所以恰好甲、乙（仅有两人）打扫同一个办公室的概率.
故答案为：
16．③④
【分析】
由点斜式写出直线方程后直曲联立，得到韦达定理可判断①错误；由抛物线的定义结合韦达定理解方程可判断②错误；过点作轴，由三角函数的定义和诱导公式结合图像可得③正确；当斜率不存在时，代入抛物线解出两点坐标，利用向量垂直的充要条件可得；当斜率存在时，直曲联立后利用韦达定理表示出后可得.
【详解】
对①：由题意可知，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为，
联立，可得，
，
所以，，，
故①错误；
对②：则由抛物线的定义可知，，
因为，即，
由韦达定理可知，解得或（舍），
则，所以，故②错误；
对③：过点作轴，垂足为，因为，
所以，
所以，故③正确；
对④：当轴时，所以，
所以，；
当斜率存在且不为零时，设斜率为，，则直线方程为，
联立，消去可得，
，，
，，
代入韦达定理并化简可得
，
所以，
综上，过的直线与抛物线交于，，则，故④正确；
故答案为：③④.
【点睛】方法点睛：
（1）求两根之积时可直曲联立，用韦达定理得到横坐标之积，再代入直线方程可得纵坐标之积；
（2）求抛物线的焦点弦长时可利用抛物线的定义快速求解；
（3）证明两直线垂直时，可用向量垂直的充分必要条件证明.
17．(1)
(2)10
【分析】
（1）根据题中数据和公式分析求解即可；
（2）根据（1）的结果整理可得，结合二次函数分析求解.
【详解】（1）由题意可得：，
，
，
则，
所以关于的线性回归方程为.
（2）由题意可知：单位面积的苹果利润为，
因为，
可知当，即时，单位面积的苹果利润取到最大值181千元/公顷，
所以小王应该种植10公顷的苹果.
18．(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理结合正弦的和角公式计算即可；
（2）利用余弦定理结合三角形面积公式化简计算即可.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理可得.
又，所以.
因为，所以；
（2）的面积，则.
由余弦定理：，
得，
所以，
故的周长为.
19．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据三角形中位线结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）由题意可得平面，取的中点为，建系，利用空间向量解决面面夹角问题.
【详解】（1）连接，
因为，分别是，的中点，则∥，
且平面，平面，
所以∥平面.
（2）由题意可知：，，，平面，
可知平面，
取的中点为，连接，可知，
以为坐标原点，分别为轴所在直线，过平行于的直线为轴所在直线，建立空间直角坐标系，

设，则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可知：平面的法向量为，
则，解得，
所以线段的长为2.
20．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据直线可得的坐标，结合椭圆的性质分析求解；
（2）设点，直线DE的方程为：，直线MN的方程为： ，联立方程结合韦达定理求，结合题意分析证明.
【详解】（1）因为的方程为，可知，
可知，所以椭圆的标准方程为.
（2）由可得，

因为点P在直线上，可设点，
由题可知：直线DE的斜率与直线MN的斜率都存在．
所以直线DE的方程为：，即，
直线MN的方程为：，即，
设，，，，
所以，消去y可得，
整理可得，
且，则，，
又因为，，
则
，
同理可得，
又因为，则，
可知，则，整理可得，
又因为，则，
所以直线DE的斜率与直线MN的斜率之和为0．
【点睛】
方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）将问题转化为证明；
方法一：令，，将问题转化为证明，利用导数可分别求得的单调性和最小值，加和可得结论；
方法二：令，将放缩为，令，利用导数可求得的最小值，进而确定，从而得到，进而得到结论.
【详解】（1）当时，，，
，又，
在点处的切线方程为：.
（2）当，时，，
方法一：要证，只需证，
即证；
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
在上单调递增，；
令，则，
令，则，在上单调递增，
，在上单调递增，；
，即，
当，时，.
方法二：要证，只需证，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，，
在上单调递增，，即，
当，时，.
22．(1)相离
(2)
【分析】
（1）将曲线、化为普通方程，结合点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系；
（2）将曲线、化为极坐标方程，结合极坐标的定义分析求解.
【详解】（1）对于曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得曲线普通方程为，
对于曲线的参数方程为（为参数）
消去参数可得曲线普通方程为，表示圆心为，半径，
可知圆心到曲线的距离，
所以曲线与的位置关系为相离.
（2）因为，
将曲线化为极坐标方程为，
曲线化为极坐标方程为，

联立方程，解得，即，
联立方程，解得，即，
又因为，可得，
所以的面积.
23．(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意分、和三种情况，结合绝对值不等式解法分析求解；
（2）由题意可得，根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解.
【详解】（1）由题意可得，
若，不等式无解，不合题意；
若，不等式解集为，不合题意；
若，解得，即不等式解集为，
则，解得；
综上所述：.
（2）由（1）可知：，
可得，则，
因为，
当且仅当时，等号成立，
可得，所以的取值范围为.