江苏省南京市江宁区南京东山外国语学校八年级2023-2024学年上学期12月月考数学试题

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一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1. 在下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】先对个选项进行化简，再由无理数的概念进行判断即可．
【详解】是有理数，故选项A不符合题意；
是有理数，故选项B不符合题意；
是有理数，故选项C不符合题意；
符合无理数的概念，故选项D符合题意；．
故选：D．
【点睛】此题考查的是算术平方根、立方根及无理数的概念，能够根据算术平方根的概念及立方根进行正确化简是解决此题关键．
2. 在平面直角坐标系中，点位于哪个象限？（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点坐标为，则它位于第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
3. 如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，则线段的长为（ ）
A. 3B. 4C. 2D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据，和的平分线相交于点F，得证，结合，计算选择即可．
【详解】因为，和的平分线相交于点F，
所以
所以，
所以，
因为，
所以，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
4. 由四舍五入得到的地球半径约为6.4×103km；精确到（ ）
A. 1000 kmB. 100 kmC. 0.1 kmD. 0.01 km
【答案】B
【解析】
【分析】先把6.4×103写成原数，再分析4所表示的数位.
【详解】因为6.4×103 km =6400km,
所以，精确到100 km
故选B
【点睛】本题考核知识点：科学记数法，近似数.解题关键点：把科学记数法的形式改写成原数，再分析.
5. 下列整数中，与最接近的是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则进行运算．
【详解】解：∵，
∴，
∵接近4，
∴最接近7，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握法则是本题解题的关键．
6. 已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b的取值范围即可得答案．
【详解】∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，对于一次函数（k≠0），当k>0时，图象经过一、三象限；当k<0时，图象经过二、四象限，当b>0时，图象与y轴交于y轴正半轴；当b<0时，图象与y轴交于y轴负半轴；熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
7. 甲、乙、丙三家分别位于的三个顶点处，现要建造一个核酸检测点，使得三家到核酸检测点的距离相等，则核酸检测点应建造在 （ ）
A. 三边垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三条中线的交点
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答．
【详解】解：∵线段的垂直平分线的点到线段的两个端点的距离相等，
∴这三家到核酸检测点距离相等，核酸检测点的建造位置是在三边的垂直平分线上，
故选A．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决本题的关键．
8. 如图．每个小正方形的边长为1，格点线段与交于点，与交于点，连接．有下列结论①；②；③；④；⑤；⑥的面积为0.75．其中正确的结论有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】B
【解析】
【分析】先证明，再逐个选项推理即可．
【详解】如图，
由图可得，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵中，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，故④错误；
连接，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，故⑤正确；
∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为0.75，故⑥正确；
综上所述，正确的有①②⑤⑥；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，掌握这些性质是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9. 16的平方根是_______，的立方根是_______．
【答案】 ①. ②. -3
【解析】
【分析】根据平方根、立方根的定义即可解出.
【详解】∵（）²=16，∴16的平方根是；
∵（-3）³=-27，∴-27的立方根是-3.
【点睛】此题主要考查平方根、立方根的定义.
10. 已知点关于轴对称的对称点的坐标是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标为，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可解答．
【详解】解：∵点与点关于y轴对称，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查关于对称轴对称的点的坐标特征，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．
11. 如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是_____（添加一个条件即可）．

【答案】AE=AD
【解析】
【详解】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，
则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；
或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；
或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．
故答案为：AE=AD（答案不唯一）．
12. 比较大小：___________．（填“>”、“<”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】先估算出和的范围，再求出的范围，再比较即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
13. 点到原点的距离是___________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可．
【详解】点到原点的距离．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点，，，，则这两点间的距离为．
14. 将一次函数的图象平移，使其经过点（2，3），则所得直线的函数解析式是______．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：解：设y=x+b，
∴3=2+b，解得：b=1．
∴函数解析式为：y=x+1．故答案为y=x+1．
考点：一次函数
点评：本题要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变．
15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点，∠BAD＝25°，则∠ACD＝______．
【答案】65°##65度
【解析】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝65°，根据等边对等角即可求解．
【详解】∵AD⊥BC于D，∠BAD＝25°，
∴∠ADB＝90°
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝65°．
故答案为65°
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，掌握以上知识是解题的关键．
16. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙（住房墙的长度大于），另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在边上留一个宽的门．若设为，为，则与之间的函数关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】设ABy（m），BC为x（m），根据AB+BC+CD-1=25列出方程即可．
【详解】解：设为，为，根据题意得
，
整理得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边建筑材料的总长为25米，列出等式．
17. 已知一次函数（为常数）和．当时，；当时．，则的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件得出，即可求出m的值．
【详解】解：如果，则，
解得，
如果，则，
解得，
∵当时，；当时．，
∴，
解得，
故答案：．
【点睛】本题考查了一次函数和不等式的运用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18. 如图，在中，，已知是上一动点，将点沿翻折，若落到形内（不包括边），则的取值范围为___________．
【答案】##
【解析】
【分析】求出点对应点落在，上时，的值，即可判断．
【详解】如图1中，当点对应点落在上时，
在中，，
，
，
，
，
如图2中，当点落在时，作于．
由题意：，
，
，设，
，
，
，
，
，，
，
观察图象可知满足条件的的值：．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共10小题，共64分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】(1)3；(2)
【解析】
【分析】(1)根据平方根、立方根概念逐个求解即可；
(2)根据，绝对值的概念，立方根的概念求解即可．
【详解】解：(1)原式=3+3-3=3，
故答案为：3；
(2)原式=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、绝对值的概念等，属于基础题，计算过程中细心即可．
20. 求下列各式中的x．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将等式两边同时除以4，然后根据平方根的意义求平方根即可求解；
（2）先将常数项移到等号右边，根据立方根的意义求解．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
.
【点睛】本题考查了运用开平方和开立方的知识解方程的知识，掌握平方根、立方根的意义是解答本题的关键．
21. 如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】由 可得根据全等三角形的判定和性质即可证明结论．
【详解】证明：∵∠1=∠2
即,
在和中，
22. 已知一次函数的图象经过点（1，2）和（0，4）．
（1）求一次函数的表达式．
（2）在所给直角坐标系中画出此函数的图象．
（3）根据图象，当时，求x的取值范围．
【答案】（1）
（2）画函数图象见解析
（3）当时，x的取值范围是
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出函数表达式；
（2）令y=0求出x的值，根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标即可画出函数图象；
（3）寻找到函数图象在x轴上方时x的取值范围，此题得解．
【小问1详解】
解：将（1，2）和（0，4）分别代入y=kx+b，
得：，解得：，
∴一次函数的表达式为y=-2x+4；
【小问2详解】
解：∵当y=-2x+4=0时，x=2．
∴函数图象过点（0，4）和（2，0）．
画出函数图象如图所示．
；
【小问3详解】
解：观察函数图象发现：当y＞0时，x的取值范围是x＜2．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的图象，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
23. 如图，已知，点是上一点．在射线上求作一点，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，不写出作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】先作的垂直平分线交于D，再以C点为圆心，为半径画弧交于F，则，，然后根据等腰三角形的性质可判断．
【详解】解：如图，点F为所作．
理由如下：
∵点D为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查基本作图作线段的垂直平分线、作图作线段、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握基本作图的步骤和相关知识的性质，掌握转化的思想方法是解答的关键．
24. 已知，其中与成正比例，与成正比例．当时，；当时，．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）当取何值时，的值为30？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，则，根据题意列出二元一次方程组，求出m，n即可得出答案；
（2）将代入（1）中关系式即可．
【小问1详解】
设，
∴，
∵当时，；当时，，
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
当时，，
解得．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程，求函数值，熟悉正比例函数的定义，根据题意列出方程组是解本题的关键．
25. 如图，在四边形中，，点为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据平行线的性质和等边对等角的的性质可得，再证明即可得到解答；
（2）根据可得，设，则，最后根据勾股定理即可求出解答．
【小问1详解】
连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，,
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
26. 如图1所示，小明家与学校之间有一超市．早上小明由家匀速行驶去学校（不在超市停留），放学后小明回家的速度比上学的速度每小时少2千米，设早上小明出发小时后，到达离家千米的地方，图2中的折线表示与之间的函数关系．
（1）小明上学的速度为___________；他在校时间为___________；
（2）求线段所表示的与之间的函数表达式；
（3）如果小明两次经过超市的时间间隔为小时，那么超市离家多远？
（4）设小明离超市的距离为千米，在图3中画出关于x的函数图像．（在坐标轴上注明必要的时间与距离）
【答案】（1）5；8 （2）
（3）超市离家
（4）图见解析
【解析】
【分析】（1）根据有理数的除法运算求解即可；
（2）根据点B和点C的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）设超市离家，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；
（4）求出小明从家到超市所用时间及小明放学到超市的时间，描点、连线，即可画出函数图象（折线即为所求）
【小问1详解】
由题意得，
，
，
故答案为：5；8；
【小问2详解】
线段所表示的y于x之间的函数关系式为，
将点B和点C的坐标代入得，
解得，
∴线段所表示的y于x之间的函数关系式为；
【小问3详解】
设超市离家，
根据题意得，，
解得，
答：超市离家；
【小问4详解】
，
，
，
∴，
则描点、连线，画出函数图像，如图所示：
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用以及函数图象，解决本题的关键是从函数图象中获取关键信息即可．
27. 如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；（3）当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【解析】
【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与AB上两种情况进行讨论；
（3）当P、Q两点之间的距离为时，分四种情况讨论：点P在AC上，点Q在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧；点P在AB上，点Q在BC上，分别求得t的值并检验即可．
【详解】解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，
∴AC2＋BC2＝100＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP＝CB＝6，则t＝6÷2＝3秒，
如图，当点P在AB上时，分两种情况：
若BP＝BC＝6，则AP＝4，
故t＝（8＋4）÷2＝6秒；
若CP＝CB＝6，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC＝×BC×AC，
×10×MC＝×6×8，
解得MC＝4.8，
∴由勾股定理可得PM＝BM＝3.6，即BP＝7.2，
∴AP＝2.8，
故t＝（8＋2.8）÷2＝5.4秒．
综上所述，当t＝3、6或5.4 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤4），
由勾股定理可得：（2t）2＋t2＝10，
解得t＝；
②当点P在AB上，点Q在BC上时，
当P运动到A点时，t=4，
此时PQ=，
当Q运动到B点时，t=6，
此时PQ的长为10-2×（6-4）=6，
∴PQ的长大于6且小于，不符合题意；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（8＜t≤9），
由题可得：2t＋t−24＝，
解得t＝，
∵t＝>9，
∴不成立，舍去．
④如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q左侧时（6≤t＜8），
由题可得：24−2t−t＝，
解得t＝；
综上所述，当t为秒或秒，P、Q两点之间的距离为．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及等腰三角形的判定与性质的运用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．