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最新高考数学解题方法模板50讲 专题41 离心率的求值或取值范围问题
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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题41 离心率的求值或取值范围问题
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.
方法一 定义法
例1. 在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为 ．
【变式演练1】【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
方法二 方程法
例2. 【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设，分别为椭圆：的左右焦点，点，分别为椭圆的右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例3. 如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练3】【江西省景德镇一中2021届高三8月月考数学（理）】已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
方法三 借助平面几何图形中的不等关系
例4【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【四川省阆中市东风中学2020-2021学年高三11月月考数学（文）】如图，､是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点､两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．C．D．
方法四 借助题目中给出的不等信息
例5．（2021·玉林市第十一中学高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点为，，在双曲线上存在点满足，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练5】【河北省衡水中学2020届高三高考数学（理科）二调】已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
方法五 借助函数的值域求解范围
例6.【2020届福建省漳州市高三毕业班调研】已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练6】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【高考再现】
1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
4. 【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．B．C．D．
5. 【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
6. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
7. 【2017课标 = 2 \* ROMAN II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【反馈练习】
1．【贵州省铜仁市伟才学校2021届高三上学期第四次半月考】如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2021·广东高三月考）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Jhannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．【安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．【甘肃省天水一中2020届高三高考数学（理科）二模】已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．【江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研】椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．【2020届安徽省池州市高三下学期5月教学质量统一监测数学（文）】已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科数学】已知曲线：与曲线：有公共的焦点F，P为与在第一象限的交点，若轴，则的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
8．【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
9．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．【安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试文科数学】已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
11.（2021·全国）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·安徽高三开学考试（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·安徽高三开学考试（理））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（2022·浙江高三专题练习）若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．（2022·全国高三专题练习（理））已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·江苏高三开学考试）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知F是双曲线的左焦点，A，B分别是C的左，右顶点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
18．（2021·嘉峪关市第一中学高三一模（理））已知双曲线与抛物线共焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
19．（2021·湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·全国高三模拟预测）设双曲线：的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
21．（2021·孟津县第一高级中学（文））双曲线的左右顶点分别为A、B，过A且斜率为的直线l与渐近线交于第一象限的N，与y轴交于M，若M为中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．3
22．（多选题）【江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期12月模拟测试】椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
23.【四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中数学（文）】已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.
24．【重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理）】已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点.过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为___________.
25．【四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考数学（理）】已知点P在椭圆上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆上.记直线PF1的斜率为k，若，则椭圆离心率的最小值为_____.
26．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期高考模拟考试（二）】平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．
万能模板
内 容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 根据题目条件求出的值
第二步 代入公式，求出离心率.
万能模板
内 容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 设出相关未知量；
第二步 根据题目条件列出关于的方程；
第三步 化简，求解方程，得到离心率.
万能模板
内 容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
第三步 解不等式，确定离心率的范围.
万能模板
内 容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；
第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
万能模板
内 容
使用场景
离心率的求值或取值范围
解题模板
第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
第二步 通过确定函数的定义域；
第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过
高考数学
解题方法
模
板
50
讲
专题41 离心率的求值或取值范围问题
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.
方法一 定义法
例1. 在平面直角坐标系中, 若双曲线的离心率为,则的值为 ．
【变式演练1】【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】已知是椭圆上的点，，分别是的左，右焦点，是坐标原点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
方法二 方程法
例2. 【云南民族大学附属中学2020届高三第一次高考仿真模拟数学（理）】设，分别为椭圆：的左右焦点，点，分别为椭圆的右顶点和下顶点，且点关于直线的对称点为.若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
例3. 如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】（2021·安徽蚌埠·高三开学考试（理））已知椭圆的右顶点为A，坐标原点为，若椭圆上存在一点P使得△OAP是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练3】【江西省景德镇一中2021届高三8月月考数学（理）】已知分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆的右顶点，过作垂直于轴的直线与椭圆交于两点（在轴上方），若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
方法三 借助平面几何图形中的不等关系
例4【四川省遂宁市射洪县射洪中学校2019-2020学年高三下学期第一次学月考】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且.若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练4】【四川省阆中市东风中学2020-2021学年高三11月月考数学（文）】如图，､是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的右左两支分别交于点､两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．C．D．
方法四 借助题目中给出的不等信息
例5．（2021·玉林市第十一中学高三月考（理））已知双曲线的左、右焦点为，，在双曲线上存在点满足，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练5】【河北省衡水中学2020届高三高考数学（理科）二调】已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
方法五 借助函数的值域求解范围
例6.【2020届福建省漳州市高三毕业班调研】已知直线与椭圆交于A、B两点，与圆交于C、D两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练6】是经过双曲线 焦点且与实轴垂直的直线, 是双曲线的两个顶点, 若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【高考再现】
1.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数15】已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为 ．
3．【2020年高考江苏卷6】在平面直角坐标系中，若双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是 ．
4. 【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2
为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A．B．C．D．
5. 【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.
6. 【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.
7. 【2017课标 = 2 \* ROMAN II，文5】若，则双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
8. 【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【反馈练习】
1．【贵州省铜仁市伟才学校2021届高三上学期第四次半月考】如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
2．（2021·广东高三月考）著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Jhannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．【安徽省江淮十校2020届高三下学期5月第三次联考】设，是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．【甘肃省天水一中2020届高三高考数学（理科）二模】已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．【江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研】椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，点P(x1，y1)，Q(-x1，-y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．【2020届安徽省池州市高三下学期5月教学质量统一监测数学（文）】已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．【江西省赣州市部分重点中学2021届高三上学期期中考试文科数学】已知曲线：与曲线：有公共的焦点F，P为与在第一象限的交点，若轴，则的离心率e等于（ ）
A．B．C．D．
8．【江西省名校2021届高三上学期第二次联考】已知双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点为F，点A，B分别为双曲线的左，右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一，二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
9．【河南省新乡市2021届高三第一次模拟考试数学（理科）】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
10．【安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试文科数学】已知（不在轴上）是双曲线上一点，，分别是的左、右焦点，记，，若，则的离心率的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
11.（2021·全国）已知椭圆：（）的半截距为，是上异于短轴端点的一点，若点的坐标为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·安徽高三开学考试（文））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
13．（2021·安徽高三开学考试（理））已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14.（2022·浙江高三专题练习）若点P为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，，分别是它们的左右焦点.设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．（2022·全国高三专题练习（理））已知，分别为椭圆的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线l与椭圆C的一个交点为M，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·江苏高三开学考试）从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
17．（2021·榆林市第十中学高三月考（文））已知F是双曲线的左焦点，A，B分别是C的左，右顶点，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
18．（2021·嘉峪关市第一中学高三一模（理））已知双曲线与抛物线共焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．或D．或
19．（2021·湖北高三开学考试）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·全国高三模拟预测）设双曲线：的左、右焦点分别是，，过作渐近线的垂线，垂足为．若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
21．（2021·孟津县第一高级中学（文））双曲线的左右顶点分别为A、B，过A且斜率为的直线l与渐近线交于第一象限的N，与y轴交于M，若M为中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．2D．3
22．（多选题）【江苏省徐州市2020-2021学年高三上学期12月模拟测试】椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
23.【四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中数学（文）】已知椭圆，左焦点，右顶点，上顶点，满足，则椭圆的离心率为____________.
24．【重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理）】已知，B分别是椭圆的左焦点和上顶点，点O为坐标原点.过点垂直于x轴的直线交椭圆C在第一象限的交点为P，且，则椭圆C的离心率为___________.
25．【四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考数学（理）】已知点P在椭圆上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆上.记直线PF1的斜率为k，若，则椭圆离心率的最小值为_____.
26．【江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三下学期高考模拟考试（二）】平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，右准线与x轴的交点为A，若在椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为_______________．
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离心率的求值或取值范围
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第一步 根据题目条件求出的值
第二步 代入公式，求出离心率.
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离心率的求值或取值范围
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第一步 设出相关未知量；
第二步 根据题目条件列出关于的方程；
第三步 化简，求解方程，得到离心率.
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离心率的求值或取值范围
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第一步 根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，
第二步 将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，
第三步 解不等式，确定离心率的范围.
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离心率的求值或取值范围
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第一步 找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；
第二步 列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
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离心率的求值或取值范围
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第一步 根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
第二步 通过确定函数的定义域；
第三步 利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
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