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新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点6-2 等比数列的通项及前n项和7大题型
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这是一份新高考数学【热点·重点·难点】专练 热点6-2 等比数列的通项及前n项和7大题型，文件包含热点6-2等比数列的通项及前n项和7大题型原卷版docx、热点6-2等比数列的通项及前n项和7大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点6-2 等比数列的通项及前n项和7大题型
主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。
一、等比数列的判定方法
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.
二、等比数列前n项和运算的技巧
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；
2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。
三、等比数列前n项和的函数特征
1、与的关系
（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，
它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。
2、与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。
【题型1 等比数列的基本量计算】
【例1】（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为q，则，且不为1
又由已知可得，解得，所以．故选：D.
【变式1-1】（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ）
A． B． C．48 D．96
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，即，
又，
所以，解得
所以，故选:C
【变式1-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得，
数列的前4项和为，即，解得，
所以.故选：C
【变式1-3】（2023春·云南·高三校联考开学考试）等比数列的n前项和为，若，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，公比为，且，
若，则，与题设矛盾，所以，
由，解得，
所以，故选：A．
【变式1-4】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列，前n项和为，若，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，无解；
若，则，解得，
，解得，故选：C.
【题型2 等比中项及性质应用】
【例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（ ）
A．或2 B．2 C．1或 D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，即
即
所以
由题意，则，所以
所以，所以，故选：B
【变式2-1】（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】显然方程有两个正实根，依题意，有，，
等比数列公比，，所以.故选：C
【变式2-2】（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【答案】B
【解析】为正数的等比数列，则，可得，
∵， ∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.故选：B.
【变式2-3】（2023·江西·校联考一模）已知等比数列满足：，，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为为等比数列，所以，
【变式2-4】（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（ ）
A．96 B． C．72 D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，
因为，且由题可得，所以，
因为，解得，所以，
故．故选：B.
【变式2-5】（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由题意及韦达定理可得，由等比数列性质可得，
故.故选：B
【变式2-6】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】设公比为，则，
由，得，
因为，所以为递增数列，
所以，
所以，，
，，
，，
，，
所以n的最小为8.故选：D．
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列中,,,则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】B
【解析】由题知,所以,
又因为,所以是等比数列,且首项为4,公比为2.故选:B
【变式3-1】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（ ）
A． B． C． D．是等比数列
【答案】A
【解析】对于A，已知，所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
，符合上式
所以是通项为的等比数列，A选项正确；
对于B，已知，所以，
，不符合上式，所以，B选项错误；
对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；
对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为
不符合等比数列的通项公式，D选项错误；故选：A.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以
则，所以.故选：C.
【变式3-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列的前项和为.
（1）若是等比数列，求；
（2）若，证明：均为等比数列.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得：由当时，
，且，
故等比数列的公比
（2）证明：当时，由，①
由②
将①+②得：
当时有：
且，为等比数列
同理，将①-②得：
当时有：
，且
为等比数列.
【变式3-4】（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足，，.
（1）证明：是等比数列
（2）求数列的前2n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由已知可得，，
.
又时，，
所以，数列是等比数列，首项，公比.
（2）由（1）可知，.
则.
所以，
.
所以
.
【题型4 等比数列的函数特征】
【例4】（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．数列有最大项 D．数列有最小项
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由已知，则，
由可得且，
对于AB选项，若，，
当为奇数时，，此时，则，
当为偶数时，，此时，则，
此时数列不单调，AB都错；
对于CD选项，，
当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；
当时，若为正奇数时，，则，
此时单调递减，则；
当为正偶数时，，则，此时单调递增，
则.
故当时，的最大值为，最小值为.
综上所述，有最小项.故选：D.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，，，
则与矛盾，
若，，，
则与矛盾，，故B正确；
，则，，故A错误；
，单调递增，故D错误；
，，故C错误．故选：B．
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是数列中的最大值
C． D．数列无最大值
【答案】C
【解析】等比数列的公比为，则，
由，则有，必有，
又由，即，
又，则有或，
又当时，可得，由，则与矛盾
所以，则有，
由此分析选项：
对于A，，故，故A错误；
对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，
又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列中，则，则，故C正确；
对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.故选：C.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选 ）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】ACD
【解析】因为数列为等比数列，且，，故，该数列为正项等比数列；
若，显然不满足题意，舍去；若，
则，不满足，舍去；
若，则该数列为单调减数列，由，
故可得，或，，
显然，不满足题意，故舍去，则，
对A：因为，故数列为单调减数列，A正确；
对B：，即，即，故B错误；
对C：因为单调递减，且，故的最大值为，C正确；
对D：，故D正确；故选：ACD.
【题型5 等比数列的前n项和性质】
【例5】（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
【答案】D
【解析】因为是等比数列，
所以成等比数列，
又因为，，，
则，，
所以，.故选：D.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，故选：B.
【变式5-2】（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】设公比为.
当时，，则，此时有；
当时，因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
当时，有最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.
【答案】91
【解析】方法一：等比数列中，，，成等比数列，
则，，成等比数列，∴，∴，∴.
方法二：设公比为，由题意显然且,所以，
∴，
故答案为：.
【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.
【答案】
【解析】由，得.
又正项等比数列的前项和为，故，
∴，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
【题型6 等比数列的简单应用】
【例6】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，
，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，
乌龟共爬行的距离.故选：C
【变式6-1】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知第一天长，
第二天截去，
第三天截去，
第四天截去，
依次可得：第n天截去：，
故第n天后共截去，
所以到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的.故选：B.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，，，…，这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意得到：，故，故.故选：C
【变式6-3】（2022秋·山东烟台·高三统考期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【解析】设前n年的总维修费用为，
，，
则，，即前6年可继续使用.
当时，
所以，
则
计算得，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.故选：C.
【变式6-4】（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，…，，….
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为.若，则下列说法不正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题可知，，，
所以，所以，
∴，故A错误，C错误；
又，
当时，，故D错误；
∴
，
由也满足上式，所以，
由上，，则，故B正确.故选：ACD．
【题型7 等差数列与等比数列综合】
【例7】（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．
（1）求数列，数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为q，，设等差数列的公差为d．
∵，，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
（2）由（1）得，
令，，
记数列的前项和为A，数列的前项和为B，
，①
则，②
①－②得，
，
∴，
又，
∴
，
∴．
【变式7-1】（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知数列，，的前n项和为.
（1）若为等差数列，，求公差的值及通项的表达式；
（2）若为等比数列，公比，且对任意，均满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，解得
所以.
（2）因为公比，，所以，故数列为递增数列.
对任意，均满足，
只需，解得
综上，实数的取值范围是.
【变式7-2】（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知数列是公差不等于0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前n项和为．
（ⅰ）若成等差数列，求m的值；
（ⅱ）求．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）4；（ⅱ）
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，
且，所以，所以，解得，
于是有，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
因此，.
（ⅰ）因为，，成等差数列，
则，即，整理得，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
记，
则
所以
两式相减得
，
所以，即.
【变式7-3】（2023·福建漳州·统考二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
若选择条件①，
由题可得，解得，
若选择条件②，
由题可得，解得，
.
（2）由（1）知，选择两个条件中的任何一个，都有，
则，
【变式7-4】（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，求．
【答案】（1）；（2）191
【解析】（1）设公差为d，
由题意得，
解得，∴．
（2），①
，②
②－①得，，
∵，∴．
∴．
（建议用时：60分钟）
1．（2022·广西·校联考模拟预测）等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．488 B．508 C．511 D．567
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质知，，成等比，
因为，所以，则.故选：C
2．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A．32 B．31 C．63 D．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，，解得
又，解得，则，故选：B
3．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列{}中，若，是关于的方程的两实根，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由韦达定理可得，由等比数列性质可得，则，
由等比数列性质可知，则，
故.故选：B.
4．（2022秋·宁夏·高三宁夏育才中学校考阶段练习）若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，
设的公比为，则，，解得：，
.故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或的区间长度均为）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为，
第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以；
设定义区间为，则区间长度为1，
所以第次操作剩余区间的长度和为，
则去掉的区间长度和为.故选：B
6．（2022秋·山东日照·高三统考期中）正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（ ）
A． B．[3，9] C． D．[3，15]
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
令，化简可得，
令，所以．故选：A．
7．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】B
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，，
∴，故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误，故选：B.
8．（2022秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知公比大于1的等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
联立方程组，解得或，
设数列的公比为，所以，所以舍去，，
所以，从而，所以，所以，
所以.故选：B
9．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．为等比数列，其前项和为，则也成等比数列
C．为等差数列，则为等比数列
D．的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】对于，均为等比数列且公比相等，
当时,数列不是等比数列，故选项错误；
对于，当等比数列为时，
当为偶数时，，则不能构成等比数列，故选项错误；
对于，设等差数列的公差为，则常数，
所以为等差数列，则为等比数列，故选项正确；
对于，数列中，对任意,，则；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列是递增数列时，，即，所以时，，
如数列；不满足题意，所以必要性不成立，
则“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选项正确，故选：.
10．（2023·云南·昆明一中校考模拟预测）（多选）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
【答案】BCD
【解析】由，有，又
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
则，则，A错误；
由，可得，解之得
又时，，则，整理得
则数列是首项为3公比为3 的等比数列，则，
则数列的前项和
，B正确；
，则数列的前项和
，C正确；
设数列的前项和，则，，
两式相减得
整理得，则当时，，D正确.故选：BCD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，为其前项之和，，则______
【答案】260
【解析】解：根据等比数列前n项和的性质，
可知，，成等比数列，
则，即，解得.
故答案为：.
12．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________
【答案】
【解析】在等比数列中，满足，
由等比数列的性质可得，即，所以，
又由，所以
所以数列的前项和，
故答案为：.
13．（2023·云南红河·统考一模）在数列中，，，若为等比数列，则____________．
【答案】127
【解析】设等比数列的公比为q，则，
所以，故．
故答案为：127.
14．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）在无穷等比数列中，，，则的各项和____________.
【答案】
【解析】由题知，无穷等比数列中，，，
所以，解得，
所以，解得，
所以
故答案为：
15．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，，得,消去，得，
即，解得或，
因为，所以，于是，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以，
则，
，
由，得
，即，
所以数列的前n项和为．
16．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且为等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题知，，
又为等比数列，所以，即①，
则当时，②，
①－②得，即，又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2），（另解：），
因为，
所以，
所以，
所以.
1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
热点6-2 等比数列的通项及前n项和7大题型
主要考查等比数列的基本量计算和基本性质、等比数列的中项性质、判定与证明，这是高考热点；等比数列的求和及综合应用是高考考查的重点。这部分内容难度以中、低档题为主，结合等差数列一般设置一道选择题和一道解答题。
一、等比数列的判定方法
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.
二、等比数列前n项和运算的技巧
1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答；
2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体。
三、等比数列前n项和的函数特征
1、与的关系
（1）当公比时，等比数列的前项和公式是，
它可以变形为，设，则上式可以写成的形式，
由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点；
（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点。
2、与的关系
当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为
设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数。
【题型1 等比数列的基本量计算】
【例1】（2023·陕西铜川·校考一模）设正项等比数列的前n项和为，若，，则通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为q，则，且不为1
又由已知可得，解得，所以．故选：D.
【变式1-1】（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，，则（ ）
A． B． C．48 D．96
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，即，
又，
所以，解得
所以，故选:C
【变式1-2】（2023春·河南开封·高三统考开学考试）已知等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，依题意，，而，解得，
数列的前4项和为，即，解得，
所以.故选：C
【变式1-3】（2023春·云南·高三校联考开学考试）等比数列的n前项和为，若，则（ ）
A．3 B．6 C．12 D．14
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，公比为，且，
若，则，与题设矛盾，所以，
由，解得，
所以，故选：A．
【变式1-4】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知各项均为正数的等比数列，前n项和为，若，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，无解；
若，则，解得，
，解得，故选：C.
【题型2 等比中项及性质应用】
【例2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）在各项均为正数的等差数列中，，若成等比数列，则公差d=（ ）
A．或2 B．2 C．1或 D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，即
即
所以
由题意，则，所以
所以，所以，故选：B
【变式2-1】（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）在等比数列中，若，是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】显然方程有两个正实根，依题意，有，，
等比数列公比，，所以.故选：C
【变式2-2】（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30 B．10 C．9 D．6
【答案】B
【解析】为正数的等比数列，则，可得，
∵， ∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.故选：B.
【变式2-3】（2023·江西·校联考一模）已知等比数列满足：，，则的值为___________.
【答案】
【解析】因为为等比数列，所以，
【变式2-4】（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知是等比数列的前n项和，若，且，则（ ）
A．96 B． C．72 D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为q，
因为，且由题可得，所以，
因为，解得，所以，
故．故选：B.
【变式2-5】（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列中，若是关于的方程的两实根，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由题意及韦达定理可得，由等比数列性质可得，
故.故选：B
【变式2-6】（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知等比数列的各项均为正数且公比大于1，前n项积为，且，则使得的n的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】设公比为，则，
由，得，
因为，所以为递增数列，
所以，
所以，，
，，
，，
，，
所以n的最小为8.故选：D．
【题型3 等比数列的判定与证明】
【例3】（2023秋·河南开封·高三统考期末）在数列中,,,则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】B
【解析】由题知,所以,
又因为,所以是等比数列,且首项为4,公比为2.故选:B
【变式3-1】（2022秋·北京·高三北京市八一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（ ）
A． B． C． D．是等比数列
【答案】A
【解析】对于A，已知，所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，
，符合上式
所以是通项为的等比数列，A选项正确；
对于B，已知，所以，
，不符合上式，所以，B选项错误；
对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误；
对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为
不符合等比数列的通项公式，D选项错误；故选：A.
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以
则，所以.故选：C.
【变式3-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知数列的前项和为.
（1）若是等比数列，求；
（2）若，证明：均为等比数列.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得：由当时，
，且，
故等比数列的公比
（2）证明：当时，由，①
由②
将①+②得：
当时有：
且，为等比数列
同理，将①-②得：
当时有：
，且
为等比数列.
【变式3-4】（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列满足，，.
（1）证明：是等比数列
（2）求数列的前2n项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：由已知可得，，
.
又时，，
所以，数列是等比数列，首项，公比.
（2）由（1）可知，.
则.
所以，
.
所以
.
【题型4 等比数列的函数特征】
【例4】（2022秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）设无穷等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．数列有最大项 D．数列有最小项
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，由已知，则，
由可得且，
对于AB选项，若，，
当为奇数时，，此时，则，
当为偶数时，，此时，则，
此时数列不单调，AB都错；
对于CD选项，，
当时，此时数列单调递增，则有最小项，无最大项；
当时，若为正奇数时，，则，
此时单调递减，则；
当为正偶数时，，则，此时单调递增，
则.
故当时，的最大值为，最小值为.
综上所述，有最小项.故选：D.
【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为q，其前n项和为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最大值为
【答案】B
【解析】若，，，
则与矛盾，
若，，，
则与矛盾，，故B正确；
，则，，故A错误；
，单调递增，故D错误；
，，故C错误．故选：B．
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是数列中的最大值
C． D．数列无最大值
【答案】C
【解析】等比数列的公比为，则，
由，则有，必有，
又由，即，
又，则有或，
又当时，可得，由，则与矛盾
所以，则有，
由此分析选项：
对于A，，故，故A错误；
对于B，等比数列中，，，所以数列单调递减，
又因为，所以前项积为中，是数列中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列中，则，则，故C正确；
对于D，由B的结论知是数列中的最大项，故D错误.故选：C.
【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选 ）设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
【答案】ACD
【解析】因为数列为等比数列，且，，故，该数列为正项等比数列；
若，显然不满足题意，舍去；若，
则，不满足，舍去；
若，则该数列为单调减数列，由，
故可得，或，，
显然，不满足题意，故舍去，则，
对A：因为，故数列为单调减数列，A正确；
对B：，即，即，故B错误；
对C：因为单调递减，且，故的最大值为，C正确；
对D：，故D正确；故选：ACD.
【题型5 等比数列的前n项和性质】
【例5】（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．60 B．70 C．80 D．150
【答案】D
【解析】因为是等比数列，
所以成等比数列，
又因为，，，
则，，
所以，.故选：D.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列中，，，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，故选：B.
【变式5-2】（2023·高三课时练习）已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】设公比为.
当时，，则，此时有；
当时，因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
当时，有最小值为.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.
【答案】91
【解析】方法一：等比数列中，，，成等比数列，
则，，成等比数列，∴，∴，∴.
方法二：设公比为，由题意显然且,所以，
∴，
故答案为：.
【变式5-4】（2023·全国·高三专题练习）设正项等比数列的前项和为，且，则公比__________.
【答案】
【解析】由，得.
又正项等比数列的前项和为，故，
∴，
∵数列{an}是等比数列，
∴
故，解得：
因为等比数列{an}为正项数列，所以，故
故答案为：
【题型6 等比数列的简单应用】
【例6】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米 B．10.1米 C．11.11米 D．11米
【答案】C
【解析】依题意，乌龟爬行的距离依次排成一列构成等比数列，，公比，
，所以当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，
乌龟共爬行的距离.故选：C
【变式6-1】（2022秋·福建宁德·高三校考期末）《庄子·天下》中讲到：“三尺之棰，日取其半，万世不竭．”这其实是一个以为公比的等比数列问题．有一个类似的问题如下：有一根一米长的木头，第2天截去它的，第3天截去第2天剩下的，…，第n天截去第天剩下的，则到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知第一天长，
第二天截去，
第三天截去，
第四天截去，
依次可得：第n天截去：，
故第n天后共截去，
所以到第2022天截完以后，这段木头还剩下原来的.故选：B.
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．“十二平均律”是将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比均为常数，且最后一个单音的频率为第一个单音频率的2倍．如图，在钢琴的部分键盘中，，，…，这十三个键构成的一个纯八度音程，若其中的（根音），（三音），（五音）三个单音构成了一个原位大三和弦，则该和弦中五音与根音的频率的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意得到：，故，故.故选：C
【变式6-3】（2022秋·山东烟台·高三统考期中）为响应国家加快芯片生产制造进程的号召，某芯片生产公司于2020年初购买了一套芯片制造设备，该设备第1年的维修费用为20万元，从第2年到第6年每年维修费用增加4万元，从第7年开始每年维修费用较上一年上涨25%．设为第n年的维修费用，为前n年的平均维修费用，若万元，则该设备继续使用，否则从第n年起需对设备进行更新，该设备需更新的年份为（ ）
A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【答案】C
【解析】设前n年的总维修费用为，
，，
则，，即前6年可继续使用.
当时，
所以，
则
计算得，
故从第9年起需对设备进行更新，更新的年份为.故选：C.
【变式6-4】（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）（多选）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”.它的绘制规则是：任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，以三等分后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线.重复上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，，…，，….
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为.若，则下列说法不正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题可知，，，
所以，所以，
∴，故A错误，C错误；
又，
当时，，故D错误；
∴
，
由也满足上式，所以，
由上，，则，故B正确.故选：ACD．
【题型7 等差数列与等比数列综合】
【例7】（2023秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设是公比大于0的等比数列，是等差数列，已知，，，．
（1）求数列，数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等比数列的公比为q，，设等差数列的公差为d．
∵，，∴，
∵，∴，∴．
∵，，∴，
∴，∴．
（2）由（1）得，
令，，
记数列的前项和为A，数列的前项和为B，
，①
则，②
①－②得，
，
∴，
又，
∴
，
∴．
【变式7-1】（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知数列，，的前n项和为.
（1）若为等差数列，，求公差的值及通项的表达式；
（2）若为等比数列，公比，且对任意，均满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意得，解得
所以.
（2）因为公比，，所以，故数列为递增数列.
对任意，均满足，
只需，解得
综上，实数的取值范围是.
【变式7-2】（2022秋·天津南开·高三统考阶段练习）已知数列是公差不等于0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，其前n项和为．
（ⅰ）若成等差数列，求m的值；
（ⅱ）求．
【答案】（1）；（2）（ⅰ）4；（ⅱ）
【解析】（1）设等差数列的公差为，因为成等比数列，
且，所以，所以，解得，
于是有，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
因此，.
（ⅰ）因为，，成等差数列，
则，即，整理得，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
记，
则
所以
两式相减得
，
所以，即.
【变式7-3】（2023·福建漳州·统考二模）已知等差数列的前n项和为，若，且________．在①，②这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，
若选择条件①，
由题可得，解得，
若选择条件②，
由题可得，解得，
.
（2）由（1）知，选择两个条件中的任何一个，都有，
则，
【变式7-4】（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）已知等差数列的前n项和为，公差，是，的等比中项，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，，求．
【答案】（1）；（2）191
【解析】（1）设公差为d，
由题意得，
解得，∴．
（2），①
，②
②－①得，，
∵，∴．
∴．
（建议用时：60分钟）
1．（2022·广西·校联考模拟预测）等比数列{}的前n项和为，若，则=（ ）
A．488 B．508 C．511 D．567
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质知，，成等比，
因为，所以，则.故选：C
2．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A．32 B．31 C．63 D．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，，解得
又，解得，则，故选：B
3．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列{}中，若，是关于的方程的两实根，则（ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
【解析】由韦达定理可得，由等比数列性质可得，则，
由等比数列性质可知，则，
故.故选：B.
4．（2022秋·宁夏·高三宁夏育才中学校考阶段练习）若成等差数列；成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得：，
设的公比为，则，，解得：，
.故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间和；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：，，，；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历步构造后，所有去掉的区间长度和为（ ） （注： 或或或的区间长度均为）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉8个区间长为，剩余区间的长度和为，
第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以；
设定义区间为，则区间长度为1，
所以第次操作剩余区间的长度和为，
则去掉的区间长度和为.故选：B
6．（2022秋·山东日照·高三统考期中）正项数列中，（k为常数），若，则的取值范围是（ ）
A． B．[3，9] C． D．[3，15]
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
令，化简可得，
令，所以．故选：A．
7．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】B
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，可得，
可得，此时，与题干不符，不合乎题意；
故，故A错误；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得
故，，
∴，故B正确；
是数列 中的最大值,故CD错误，故选：B.
8．（2022秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知公比大于1的等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，
联立方程组，解得或，
设数列的公比为，所以，所以舍去，，
所以，从而，所以，所以，
所以.故选：B
9．（2023春·安徽阜阳·高三阜阳市第二中学校考阶段练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．为等比数列，其前项和为，则也成等比数列
C．为等差数列，则为等比数列
D．的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
【答案】CD
【解析】对于，均为等比数列且公比相等，
当时,数列不是等比数列，故选项错误；
对于，当等比数列为时，
当为偶数时，，则不能构成等比数列，故选项错误；
对于，设等差数列的公差为，则常数，
所以为等差数列，则为等比数列，故选项正确；
对于，数列中，对任意,，则；
所以数列是递增数列，充分性成立；
当数列是递增数列时，，即，所以时，，
如数列；不满足题意，所以必要性不成立，
则“”是“为递增数列”的充分不必要条件，故选项正确，故选：.
10．（2023·云南·昆明一中校考模拟预测）（多选）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
【答案】BCD
【解析】由，有，又
所以是首项为，公差为的等差数列，则，
则，则，A错误；
由，可得，解之得
又时，，则，整理得
则数列是首项为3公比为3 的等比数列，则，
则数列的前项和
，B正确；
，则数列的前项和
，C正确；
设数列的前项和，则，，
两式相减得
整理得，则当时，，D正确.故选：BCD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列中，为其前项之和，，则______
【答案】260
【解析】解：根据等比数列前n项和的性质，
可知，，成等比数列，
则，即，解得.
故答案为：.
12．（2023秋·辽宁·高三辽河油田第二高级中学校考期末）已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于___________
【答案】
【解析】在等比数列中，满足，
由等比数列的性质可得，即，所以，
又由，所以
所以数列的前项和，
故答案为：.
13．（2023·云南红河·统考一模）在数列中，，，若为等比数列，则____________．
【答案】127
【解析】设等比数列的公比为q，则，
所以，故．
故答案为：127.
14．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）在无穷等比数列中，，，则的各项和____________.
【答案】
【解析】由题知，无穷等比数列中，，，
所以，解得，
所以，解得，
所以
故答案为：
15．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由，，得,消去，得，
即，解得或，
因为，所以，于是，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，，所以，
则，
，
由，得
，即，
所以数列的前n项和为．
16．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且为等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题知，，
又为等比数列，所以，即①，
则当时，②，
①－②得，即，又，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2），（另解：），
因为，
所以，
所以，
所以.
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