浙江省9+1联盟2023-2024学年高三下学期3月高考模拟数学试卷

这是一份浙江省9+1联盟2023-2024学年高三下学期3月高考模拟数学试卷，共13页。试卷主要包含了已知椭圆，直线与交于两点，且，设函数等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上；
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试卷上的作答一律无效；
4．选择题一律使用2B铅笔填涂答案，非选择题一律用0.5毫米黑色字迹中性笔写在答题纸上相应区域内；
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数的实部大于0，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量是平面上两个不共线的单位向量，且，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
4．已知数列满足：，且数列为等差数列，则（ ）
A．10B．40C．100D．103
5．如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆，直线与交于两点，且．则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
7．某羽毛球俱乐部，安排男女选手各6名参加三场双打表演赛（一场为男双，一场为女双，一场为男女混双），每名选手只参加1场表演赛，则所有不同的安排方法有（ ）
A．2025种B．4050种C．8100种D．16200种
8．设函数．若实数使得对任意恒成立，则（ ）
A．B．0C．1D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
10．高考数学试题的第二部分为多选题，共三个题每个题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对者得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明对其中的一道题完全不会，该题有两个选项正确的概率是，记为小明随机选择1个选项的得分，记为小明随机选择2个选项的得分．则
A．B．
C．D．
11．对于满足，且对于．恒有．则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12．已知．若，则________．
13．应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支．已知是双曲线的两个焦点，其中同时又是抛物线的焦点，且，的面积为10，，则抛物线方程为________．
14．函数的最小值是________．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）如图，已知正三棱柱分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
16．（本题满分15分）今年的《春节联欢晚会》上，魔术师刘谦表演的魔术《守岁共此时》精彩纷呈．节目的第二部分是互动环节，全国观众跟着魔术师一起做魔术，将“好运留下来，烦恼丢出去”，把晚会欢乐的气氛推向高潮．节目主持人尼格买提手中的两张牌没有对上，直接登上热搜榜．如果我们将4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列．
（1）将余下4个半张随机扔掉2个留下2个，然后从桌上4个半张随机翻开2张，求翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率；
（2）将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望．
17．（本题满分15分）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为．
（1）设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程；
（2）过的直线与相交于点三点，求证：．
18．（本题满分17分）已知函数．
（1）如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；
（2）当时，讨论的单调性；
（3）当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．
19．（本题满分17分）已知实数，定义数列如下：如果，，则．
（1）求和（用表示）；
（2）令，证明：；
（3）若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
2023-2024学年第二学期浙江省9+1高中联盟3月高考模拟卷
数学参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】C
【解析】因为集合．
2．【答案】D
【解析】令，代入，得．解得：．
3．【答案】C
【解析】因为，所以三点共线．
4．【答案】D
【解析】设数列的公差为，则，所以．
5．【答案】A
【解析】设长方体的长、宽、高分别为，易知平面与交于中点
．
6．【答案】B
【解析】设，记，由题意可知，中点是直线与直线的交点，即．另一方面，联立，得．由韦达定理得：，解得，故离心率．
7．【答案】B
【解析】先填考虑两对混双的组合有种不同的方法，余下4名男选手和4名女选手各有3种不同的配对方法组成两对男双组合，两对女双组合，故共有．
8．【答案】C
【解析】由条件可知：对任意的恒成立，
．
．
，由知或．
若时，则由知，这与矛盾！
若，则（舍去），，解得，所以，．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．【答案】AD
【解析】，故答案A正确，B错误；
又由，故答案C错误，正确．
10．【答案】BC
【解析】的分布列
由此可得
的分布列
由此可得．
从而可知，BC正确．
11．【答案】ABD
【解析】令代入及，得，所以，令代入，得，答案A正确；由，得，进而得，，所以，BD正确，C错误．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12．【答案】38
【解析】由题设可得．
13．【答案】
【解析】不妨设．由，所以，，又．即，故抛物线方程为．
14．【答案】3
【解析】，令，显然在上单调增，存在，使，且，故当时，，即，所以在区间单调减，当时，，即，所以在区间单调增，所以．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．【解】取中点，由正三棱柱性质得，互相垂直，以为原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，则．
（1）证明：，
由，得，
由，得，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）可知为平面的一个法向量，设平面的法向量，
则，
令，得面的一个法向量为，
设二面角的值为，
则，所以，二面角的正弦值为．
16．【解】（1）设翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的事件设为，则．
答：翻开的两个半张的数字与留下的2个半张上的数字恰好有1个相同的概率为．
（2）的分布列
．
17．【解】由题设可得，
故椭圆方程为：，双曲线方程为．
（1）由图可知，切点在双曲线上．
设，则切线的方程为：，
因为直线过点，所以，，
将代入，得，
所以，，直线的方程为：．
（2）由题意得方程为：，
联立，整理得：，
解得：，或，即．
联立，整理得：，
解得：，或，即．
，
所以，，所以．
18．【解】（1），因为1和是的两个极值点，所以，1和是方程的两根，故，即．
因为时，时，，
所以在区间上单调增，在区间上单调减，
所以，得，
．
（2）当时，．
令，得，或．
若，则当时，；当时，．故在区间单调递增，在上单调递减；
若在区间单调递增；
若，则当时，；当时，．故在区间单调递增，在上单调递减．
（3）当时，，由题意得：，即，①
，即，②
由①、②可知，．③
因为，，，，所以，有两个实数根，且，当时，，当时，，故是的极大值点，是的极小值点．
由题意得：
两式同向相加得：，④
注意到，，
代入④得：，
由③可知，，所以，所以，
当且仅当时成立．
所以，从而．
19．【解】（1）因为，所以；
因为，所以．
（2）由数列定义得：；所以．
而，
所以．
（3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得．
设是满足的最小正整数．下面证明．
①若是偶数，设，
则，于是．
因为，所以．
②若是奇数，设，
则．
所以．
综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得．0
2
0
2
6
0
1
2
4