中考数学一轮考点复习精讲精练专题04 一次方程（组）【考点精讲】（2份打包，原卷版+解析版）

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一、一元一次方程
二、二元一次方程（组）
二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程
叫做二元一次方程．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
三、方程的运用
【考点1】等式性质
【例1】（2022·山东滨州）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系： SKIPIF 1 < 0 去分母得 SKIPIF 1 < 0 ，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 去分母得 SKIPIF 1 < 0 ，其变形的依据是等式的性质2，故选：B．
运用等式的性质的注意事项
（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.
（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
（3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母.
1．（2022·河南郑州·七年级期末）已知等式 SKIPIF 1 < 0 ，则下列式子中不成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据等式的性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可．
【详解】
解：A、若a=b，则 SKIPIF 1 < 0 ，故原题说法正确，不符合题意；
B、若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故原题说法正确，不符合题意；
C、若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故原题说法错误，符合题意；
D、若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故原题说法正确，不符合题意；
故选：C
2．（2022·河北保定·七年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是有理数（ ）
A．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 B．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
C．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 D．如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐项分析判断即可求解．
【详解】
解：A. 如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不正确，不符合题意；
B. 如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项正确，符合题意；
C. 如果 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，那么 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不正确，不符合题意；
D. 如果 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，那么 SKIPIF 1 < 0 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
3．（2022·湖北十堰·七年级期末）设x，y，c是有理数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、错误．c≠0时，等式不成立；
B、正确；
C、错误．c＝0时，不成立；
D、错误．应该是：若 SKIPIF 1 < 0 ，则3x＝2y；
故选：B．
4．下列判断错误的是（ ）
A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d B．如果a＝b，那么
C．如果x＝3，那么x2＝3x D．如果ax＝bx，那么a＝b
【分析】根据等式的性质一一判断即可．
【详解】解：A、如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d，正确，故选项不符合题意；
B、如果a＝b，那么，正确，故选项不符合题意；
C、如果x＝3，那么x2＝3x，正确，故选项不符合题意；
D、当x＝0时，不一定成立，故选项符合题意；
故选：D．

【考点2】一次方程（组）概念与解法
【例2】解方程： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】运用解一元一次方程的一般方法解答，解一元一次方程的一般方法步骤包括：去分母， 去括号， 移项， 合并同类项，系数化为1，原方程式的解为 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：去分母，得： SKIPIF 1 < 0 ，
去括号，得： SKIPIF 1 < 0 ，
移项，得： SKIPIF 1 < 0 ，
合并同类项，得： SKIPIF 1 < 0 ，
系数化为1，得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以原方程式的解为 SKIPIF 1 < 0 ．
【例3】（2021·广东）二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 的解为 ．
【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 ，
由①式得： SKIPIF 1 < 0 ，代入②式，
得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
再将 SKIPIF 1 < 0 代入①式，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故填： SKIPIF 1 < 0 ．
1．解一元一次方程的基本步骤.
①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1.
2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法
3．解二元一次方程组的方法选择
当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
1．（2022·福建三明·八年级期末）下面各组数值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】把各选项的值代入方程验算即可．
【详解】解：A、2x+y=-4+6=2≠10，故该选项不符合题意；
B、2x+y=12-2=10，故该选项符合题意；
C、2x+y=8+3=11≠10，故该选项不符合题意；
D、2x+y=-6+4=-2≠10，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足方程组 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据两个方程中未知数系数的特点，把两个方程相加即可求得结果的值．
【详解】方程组中的两个方程相加得：3a+3b=12
即3(a+b)=12
∴a+b=4
故选：D
3．（2022·广东深圳·八年级期末）已知方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．7B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】①+②得出x+y的值，代入x＋y＝1中即可求出k的值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
①+②得：3x+3y＝4+k，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
4．（2022·浙江台州）解方程组： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ．
解： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 代入①，得 SKIPIF 1 < 0 ．
∴原方程组的解为 SKIPIF 1 < 0 ．

【考点3】含参方程
【例4】已知 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程kx＋4y＝7的一个解，则k＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 代入二元一次方程，解方程即可求得．
【详解】解：将x=1，y=1代入方程得：k+4=7，
解得：k=3．
故选：B．
【例5】（2021·重庆·七年级阶段练习）在解方程组由于粗心，甲看错了方程组 SKIPIF 1 < 0 中的a，得到的解为 SKIPIF 1 < 0 ，乙看错了方程组中的b，得解 SKIPIF 1 < 0 ，则原方程组中的正确的解为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得到关于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程组，求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，然后将 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值代入原方程组解之即可．
【详解】解：将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 原方程组为 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
1．（2020·江西·新余四中七年级期中）若方程 SKIPIF 1 < 0 的解与关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的解相同，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先解方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，根据同解方程的定义把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，然后解关于 SKIPIF 1 < 0 的一元一次方程即可．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得：
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·四川省成都市石室联合中学八年级期末）若 SKIPIF 1 < 0 是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一个解，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是关于x，y的二元一次方程x+ay＝4的一个解，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
故选B
3．（2021·山东滨州·二模）已知关于x、y的方程组 SKIPIF 1 < 0 的解满足x+y=5，则k的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】首先解方程组，利用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，然后代入 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到一个关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，求得 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·贵州毕节·八年级期末）若关于x、y的二元一次方程 SKIPIF 1 < 0 的解，也是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，则m的值为（ ）
A．-3B．-2C．2D．无法计算
【答案】C
【分析】将m看作已知数值，利用加减消元法求出方程组的解，然后代入 SKIPIF 1 < 0 求解即可得．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入①可得：，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴方程组的解为： SKIPIF 1 < 0 ，
∵方程组的解也是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，
代入可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
5．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）如果关于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程组 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的解相同，则 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．1B．2C．－1D．0
【答案】A
【分析】将含有x、y的方程组成方程组求出解，代入 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，由此得到答案．
【详解】解：解方程组 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入方程组 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 =1，
故选：A．

【考点4】方程运用1：工程问题
【例6】（2022·山东济宁·七年级期末）一项工程由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要16天．甲工程队单独施工5天后，为加快工程进度，又抽调乙工程队加入该工程施工，问还需多少天可以完成该工程？如果设还需x天可以完成该工程，则可列方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设还需x天可以完成该工程，该工程为单位1，根据题意可得，甲施工（x+5）天+乙施工x天的工作量=单位1，据此列方程．
【详解】解：设还需x天可以完成该工程，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
1．（2023·江苏·七年级专题练习）在防疫政策的指导下，疫情得到了全面控制某医疗器械厂计划在规定时间内完成一批防护服的生产任务，如果每天生产防护服300套，那么就比原计划生产任务少生产100套；如果每天生产350套，那么可提前一天完成任务，并且还超过原计划生产任务50套，求这批防护服原计划生产任务是多少？
【答案】3100套
【分析】设这批防护服原计划生产任为x套，根据完成的时间关系列出等量关系式即可．
【详解】解：设这批防护服原计划生产任为x套，
依题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得：x＝3100，
答：这批防护服原计划生产任为3100套．
2．（2021·黑龙江道里·七年级期末）振兴东北“滨滨有礼、智领未来”，哈尔滨市地铁“三号线”正在进行修建中，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为10吨和15吨的卡车共20辆，全部车辆运输一次可以运输260吨残土．
（1）求该车队有载重量为10吨和15吨的卡车各有多少辆；
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于360吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共8辆，求该车队新购进的卡车中最多购进载重量为10吨的卡车多少辆？
【答案】（1）该车队有载重量为10吨的卡车8辆，载重量为15吨的卡车12辆；（2）该车队最多购进载重量为10吨的卡车4辆
【分析】（1）设该车队有载重量为10吨的卡车x辆，载重量为15吨的卡车y辆，由题意：某车队有载重量为10吨和15吨的卡车共20辆，全部车辆运输一次可以运输260吨残土，列出方程组，解方程组即可；
（2）设新购进载重量为10吨的卡车a辆，则新购进载重量为15吨的卡车 SKIPIF 1 < 0 辆，由题意：该车队需要一次运输残土不低于360吨，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）设该车队有载重量为10吨的卡车x辆，载重量为15吨的卡车y辆，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：该车队有载重量为10吨的卡车8辆，载重量为15吨的卡车12辆；
（2）设新购进载重量为10吨的卡车a辆，则新购进载重量为15吨的卡车 SKIPIF 1 < 0 辆，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：该车队最多购进载重量为10吨的卡车4辆．
3．（2021·陕西韩城·七年级期末）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组 SKIPIF 1 < 0 ，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间；（2）甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天
【分析】（1）由两队共用18天完成修路任务可得出p＋q＝18；利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率，可得出150p＋200q＝3000，且p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间；
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，根据两工程队接力18天完成3000m的修路任务，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中即可得出结论．
【详解】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力完成修路任务，且共用18天完成，
∴p＋q＝18；
∵甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，18天共完成修建3000m的村路，
∴150p＋200q＝3000，
∴p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间．
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，
依题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝12， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝6.
答：甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天．

【考点5】方程运用2：行程问题
【例7】（2022·甘肃武威）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设总路程为1，野鸭每天飞 SKIPIF 1 < 0 ，大雁每天飞 SKIPIF 1 < 0 ，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．
【详解】解：设经过x天相遇，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0 x=1，∴（ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ）x=1，故选：A．
【例8】（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
【答案】296km/h
【分析】设高铁的速度，再表示出普通列车的速度，然后根据高铁行驶的路程+40=普通列车行驶的路程列出方程，再求出解即可．
【详解】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为(x-200)km/h，
由题意得：x+40=3.5(x-200)，
解得：x=296.
答：高铁的平均速度为296 km/h．
1．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）某学校体育有场的环形跑道长 SKIPIF 1 < 0 ，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．同时同地出发，如果反向而行，那么他们每隔 SKIPIF 1 < 0 相遇一次．如果同向而行，那么每隔 SKIPIF 1 < 0 乙就追上甲一次，设甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，乙的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，则可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】此题中的等量关系有：①反向而行，则两人20秒共走250米；②同向而行，则50秒乙比甲多跑250米．
【详解】
解：①根据反向而行，得方程为30（x+y）=400；
②根据同向而行，得方程为80（y-x）=400．
那么列方程组 SKIPIF 1 < 0 ,
故选：A．
2．（2021·吉林·九年级专题练习）某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？
【答案】甲、乙的速度分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【分析】同向而行，相遇时甲的路程刚好比乙多了一圈；反向而行，相遇时两人的路程加起来刚好是一圈；根据题意可列出方程组．
【详解】
解：设甲、乙的速度分别为xm/s，ym/s，
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故甲的速度是 SKIPIF 1 < 0 ，乙的速度是 SKIPIF 1 < 0 ．
3．（2022·湖南常德）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时，某天，他们以平常的速度行驶了 SKIPIF 1 < 0 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米／小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【答案】240千米
【分析】平常速度行驶了 SKIPIF 1 < 0 的路程用时为2小时，后续减速后用了3小时，用遇到暴雨前行驶路程加上遇到暴雨后行驶路程等于总路程这个等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设小强家到他奶奶家的距离是 SKIPIF 1 < 0 千米，则平时每小时行驶 SKIPIF 1 < 0 千米，减速后每小时行驶 SKIPIF 1 < 0 千米，由题可知：遇到暴雨前用时2小时，遇到暴雨后用时5-2=3小时，
则可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．

【考点6】方程运用3：历史文献问题
【例9】（2022·江苏苏州）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根据题意，先令在相同时间 SKIPIF 1 < 0 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度 SKIPIF 1 < 0 ，走路慢的人的速度 SKIPIF 1 < 0 ，再根据题意设未知数，列方程即可
【详解】解：令在相同时间 SKIPIF 1 < 0 内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度 SKIPIF 1 < 0 ，走路慢的人的速度 SKIPIF 1 < 0 ，
设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 根据题意可列出的方程是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
【例10】（2022·江苏扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有 SKIPIF 1 < 0 只，兔有 SKIPIF 1 < 0 只，那么可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足，利用共35头，94足，列方程组即可
【详解】一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足
设鸡有 SKIPIF 1 < 0 只，兔有 SKIPIF 1 < 0 只 由35头，94足，得： SKIPIF 1 < 0 故选：D
1．（2022·四川成都）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有 SKIPIF 1 < 0 个，甜果有 SKIPIF 1 < 0 个，则可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设苦果有 SKIPIF 1 < 0 个，甜果有 SKIPIF 1 < 0 个，由题意可得，
SKIPIF 1 < 0 故选：A．
2．（2022·浙江宁波）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十；粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为 SKIPIF 1 < 0 ．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，那么可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意列出方程组即可；
【详解】原来有米x斗，向桶中加谷子y斗，容量为10斗，则 SKIPIF 1 < 0 ；
已知谷子出米率为 SKIPIF 1 < 0 ，则来年共得米 SKIPIF 1 < 0 ；则可列方程组为 SKIPIF 1 < 0 ，故选A．
3．（2022·江苏宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．

【考点7】方程运用4：数字问题
【例11】（2022·河北临漳·八年级期末）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】若设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，再分别根据这两数的和为39和两位数放在一位数的前面得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，即可得出方程组．
【详解】解：设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，依题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
故选D．
1．（2022·宁夏中宁县第三中学七年级期末）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设这个两位数的十位上的数字为 SKIPIF 1 < 0 ，个位上的数字为 SKIPIF 1 < 0 ；根据题意列二元一次方程组，求解进而得到两位数的值．
【详解】
解：设这个两位数的十位上的数字为 SKIPIF 1 < 0 ，个位上的数字为 SKIPIF 1 < 0 ；
由题意可得 SKIPIF 1 < 0
消元解得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 这个两位数为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2021·广东·深圳中学八年级期中）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27，请利用二元一次方程组求这个两位数．
【答案】这个两位数为36
【分析】设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，然后根据题意可直接列方程组进行求解．
【详解】解：设这个两位数的个位数为x，则十位数为y，由题意得：
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴这个两位数为36．

【考点8】方程运用5：几何图形问题
【例12】如图，一个长方形图案是由8个大小相同的小长方形拼成，宽为 SKIPIF 1 < 0 ，设每个小长方形的长为 SKIPIF 1 < 0 ，宽为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可列方程组为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据图形，在题中找到x、y的等量关系即可得到答案.
【详解】解：由题意可得，大长方形的宽是x与y的和
∴x+y=60
又∵小长方形的长是宽的3倍
∴x=3y
∴方程组为： SKIPIF 1 < 0
故选A.
【例13】（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？
【答案】4
【分析】根据题意设道路的宽应为x米，则种草坪部分的长为(50−2x)m，宽为(38−2x)m，再根据题目中的等量关系建立方程即可得解．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意得
(50-2x)×(38-2x)=1260
解得：x1=4，x2=40(不符合题意，舍去)
答：道路的宽应为4米．
1．（2021·陕西秦都·八年级期末）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为 SKIPIF 1 < 0 厘米，宽为 SKIPIF 1 < 0 厘米，则依题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
找到等量关系：一个小长方形的长=一个小长方形的宽的3倍，小长方形的长+小长方形的宽的2倍=75，据此列二元一次方程组即可解题．
【详解】
解：由图形可知，
等量关系：一个小长方形的长=一个小长方形的宽的3倍，小长方形的长+小长方形的宽的2倍=75，
设小长方形墙砖的长为 SKIPIF 1 < 0 厘米，宽为 SKIPIF 1 < 0 厘米，由题意可得
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C．
2．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的宽等于（ ）
A．15cmB．30cmC．12cmD．10cm
【答案】D
【解析】
【分析】
就从右边长方形的宽40cm入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝40；一个小长方形的长+一个小长方形的宽＝40．
【详解】
解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．
依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
即：长方形地砖的宽为10cm．
故选：D．
3．（2022·辽宁大连·七年级期末）一个长方形的周长为28cm，若把它的长减少1cm，宽增加3cm，就变成一个正方形，则这个长方形的面积是（ ）
A．48 SKIPIF 1 < 0 B．45 SKIPIF 1 < 0 C．40 SKIPIF 1 < 0 D．33 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设这个长方形的长为x cm，宽为（14-x）cm．则根据题意列出方程组，解可得到长方形的长，进而得到正方形的边长，再计算面积即可．
【详解】解：设这个长方形的长为x cm，宽为（ SKIPIF 1 < 0 -x）cm，即（14-x)cm，
依题意得：x-1=14-x+3，
解得x=9．
所以 SKIPIF 1 < 0 -x=14-9=5（cm），
故该长方形的面积=9×5=45（cm2）．

【考点9】方程运用8：分段收费
【例14】潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：
若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（ ）
A．13公里B．12公里C．11公里D．10公里
【答案】C
【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．
若 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，不成立．
若 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
若 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
若 SKIPIF 1 < 0 时，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ．
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）．
∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．
故选：C．
1．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用＋污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元．
（3）若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)129.6元
(3)57.5吨
【分析】
（1）根据“4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元”，列出方程组，即可求解；
（2）用(30-17)×4.2加上17×2.2再加上超过30吨的部分的污水处理的费用再加上自来水销售费用，即可求解；
（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，然后设林芳家七月份用水x吨，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】(1)解：(1)由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)(30-17)×4.2+17×2.2+（32-30）×6+32×0.8
=129.6(元).
答：当月交水费129.6元；
（3）由(2)知，用水32吨需交水费129.6元，因为303>129.6，所以林芳家7月份用水量超过30吨，
设林芳家七月份用水x吨，
则(30-17)×4.2+17×2.2+(x-30)×6+x×0.8=303(元)，
6.8x=391，
解得：x=57.5，
即七月份林芳家用水57.5吨．
2．一家电信公司推出两种移动电话计费方法，如下表所示：
（1）若月通话时间是3小时，则使用计费方法A的用户话费为_______元，使用计费方法B的用户话费为_______元；
（2）若月通话时间是x分钟（x>350），则按A、B两种计费方法的用户话费分别是多少？（用含x的代数式表示）
（3）当通话时间为多长时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等？
【答案】(1)65.5；88
(2)按计费方法A的用户话费为（0.25x+20.5）元，按计费方法B的用户话费为（0.2x+18）元；
(3)270分钟
【分析】（1）利用使用计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，可求出使用计费方法A的用户话费；由3小时=180分<350分，可得出使用计费方法B的用户话费为88元；
（2）利用按计费方法A的用户话费=58+0.25×超过150分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法A的用户话费；利用按计费方法B的用户话费=88+0.2×超过350分的时间，即可用含x的代数式表示出按计费方法B的用户话费；
（3）设当通话时间为y分钟时，然后分150350两种情况考虑，根据按A、B两种计费方法所需的用户话费相等，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】(1)解：依题意得：使用计费方法A的用户话费为58+0.25×（60×3-150）=65.5元，
3小时=180分<350分，所以使用计费方法B的用户话费为88元．
故答案为：65.5；88
(2)解：依题意得：按计费方法A的用户话费为58+0.25（x-150）=（0.25x+20.5）元，
按计费方法B的用户话费为88+0.2（x-350）=（0.2x+18）元；
(3)解：设当通话时间为y分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．若15058+0.25（y-150）=88，解得：y=270；
若y>350，
0.25x+20.5=0.2x+18，解得：y=-50（不合题意，舍去）．
答：当通话时间为270分钟时，按A、B两种计费方法所需的用户话费相等．
一元一次方程
概念
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).
解法
解法依据是等式的基本性质.
性质①：若a=b，则a±m=b±m；
性质②：若a=b，则am=bm；若a=b，则 SKIPIF 1 < 0 (d≠0).
解法的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.
二
元
一
次
方
程
组
定义
形如 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是二元一次方程组
解法
代入法解二元一次方程组的一般步骤：
从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;
将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;
解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;
d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般步骤:
a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;
b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
c. 解这个一元一次方程;
d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.
常见
运用
题型
解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总;
追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
利润问题：利润=卖价-进价；利润率= SKIPIF 1 < 0 ×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
分配问题等
行驶里程
计费方法
不超过3公里
起步价8元
超过3公里且不超过7公里的部分
每公里按标准租费收费
超过7公里且不超过25公里的部分
每公里再加收标准租费的50%
超过25公里且不超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的75%
超过100公里的部分
每公里再加收标准租费的100%
说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；
行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．
自来水销售价格
污水处理价格
（单价：元/吨）
每户每月用水量
（单价：元/吨）
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过
30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.00
0.80
计费方法A
计费方法B
每月基本服务费（元/月）
58元
88元
每月免费通话时间（分）
150分
350分
超出后每分钟收费（元/分）
0.25元
0.20元