中考数学一轮考点复习精讲精练专题06 分式与分式方程【考点精讲】（2份打包，原卷版+解析版）

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一、分式
二、分式运算
三、分式方程
【考点1】分式的概念及有意义的条件
【例1】（2022·湖南怀化）代数式 SKIPIF 1 < 0 x， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，x2﹣ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴分式有3个，故选：B．
【例2】分式 SKIPIF 1 < 0 的值为零，则x的值为………………………………………………（ ）
A.2 B.﹣2 C.±2 D.任意实数
【答案】A
【解析】本题错解考虑到了分子 SKIPIF 1 < 0 －2为零，而忽视了分式有意义的条件——分母x＋2不为零.分式的值为零的条件应是分子为零且分母不为零，∴由 SKIPIF 1 < 0 －2＝0，解得x＝±2，又由x＋2≠0，得x≠﹣2，∴x＝2.还有分式无意义的条件是分母为零.
分式有意义、无意义和值为零的条件
（1）若分式eq \f(A,B)有意义，则B≠0
（2）若分式eq \f(A,B)无意义，则B=0
（3）若分式eq \f(A,B) =0，则A=0且B≠0
1．（2022·四川凉山）分式 SKIPIF 1 < 0 有意义的条件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
【答案】B
【分析】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为0得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即分式 SKIPIF 1 < 0 有意义的条件是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
2．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断．
【详解】
解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意；
B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意；
C、分子是1，而1≠0，则 SKIPIF 1 < 0 ≠0，故符合题意；
D、当x=-1时， SKIPIF 1 < 0 ，故不合题意；
故选C．
3．（2022·湖北黄冈）若分式 SKIPIF 1 < 0 有意义，则x的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据分式有意义的条件即可求解．
【详解】解：∵分式 SKIPIF 1 < 0 有意义，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·广西）当 SKIPIF 1 < 0 ______时，分式 SKIPIF 1 < 0 的值为零．
【答案】0
【分析】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
5．（2021·浙江）一种盐水，将m克盐完全溶解于n克水后仍然达不到所需的含盐质量分数，又加入了5克盐完全溶解后才符合要求．则要配制的盐水的质量分数为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据有m克盐完全溶解于n克水后，又加入5克盐，得出总盐有5+m克，盐水有m+n+5克，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：要配制的盐水的质量分数是： SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．

【考点2】分式的基本性质
【例3】如果把分式 SKIPIF 1 < 0 中的x和y都缩小到原来的一半，则分式的值（ ）
A．缩小到原来的 SKIPIF 1 < 0 B．缩小到原来的 SKIPIF 1 < 0 C．不变 D．扩大到原来的2倍
【答案】D
【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【详解】解：分式 SKIPIF 1 < 0 中的x、y都缩小到原来的一半，
即 SKIPIF 1 < 0 所以扩大到原来的2倍，故选：D．
【例4】（2021·福建三明·八年级期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，故此选项不符合题意；B、 SKIPIF 1 < 0 ，故此选项不符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，故此选项不符合题意；D、 SKIPIF 1 < 0 是最简分式，故此选项符合题意；选：D．
分式约分的关键是确定分子和分母的公因式.
1．分子、分母均为单项式.
确定公因式的步骤
2．分子或分母是多项式时,需要先将多项式因式分解,再求公因式.
1．（2021·广西岑溪·七年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值同时扩大2倍后，运用分式的基本性质进行化简，即可得出结论．
【详解】解：A选项，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值同时扩大2倍后得： SKIPIF 1 < 0 ，值发生了变化，故该选项不符合题意；
B选项，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值同时扩大2倍后得： SKIPIF 1 < 0 ，值缩小了一半，故该选项不符合题意；
C选项，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值同时扩大2倍后得： SKIPIF 1 < 0 ，值不变，故该选项符合题意；
D选项，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值同时扩大2倍后得： SKIPIF 1 < 0 ，值变成了原来的2倍，故该选项不符合题意；故选：C．
2．（2021·辽宁沈河·八年级期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ＝x﹣y C． SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质（分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变）逐个判断即可．
【详解】解：A. SKIPIF 1 < 0 ，故本选项不符合题意；B. SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝x＋y，故本选项不符合题意；
C.当b＝﹣2，a＝1时， SKIPIF 1 < 0 ，故本选项不符合题意；D. SKIPIF 1 < 0 ，故本选项符合题意；故选：D．
3．（2021·湖北武汉·八年级期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；B、 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；D、 SKIPIF 1 < 0 ，为最简分式，符合题意；故选：D．
4．（2021·湖南长沙·八年级期末）将分式 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 通分，那么最简公分母为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据分数的基本性质，找到两个分数分母的最小公倍数即可得到答案.
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 通分的最简公分母为 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2021·贵州八年级月考）对分式 SKIPIF 1 < 0 通分后， SKIPIF 1 < 0 的结果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】把a2-b2因式分解，得出 SKIPIF 1 < 0 的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案．
【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)，∴分式 SKIPIF 1 < 0 的最简公分母是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴通分后， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．

【考点3】分式运算与化简
【例5】先化简，再求值：（ SKIPIF 1 < 0 ＋2－x）÷ SKIPIF 1 < 0 ，其中x满足x2－4x＋3=0.
【答案】原式＝[ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ]· SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 .
∵x2－4x＋3=0，
∴(x－1)(x－3)＝0，
∴x1＝1，x2＝3.
又∵x－1≠0，x2＋4x＋4≠0，
∴x≠1，x≠﹣2.
∴当x＝3时，原式＝ SKIPIF 1 < 0 ＝﹣ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 .
在运算过程中去括号时，括号前面是“﹣”，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里面的每一项都要改变符号
分式混合运算应注意的七点
1．注意分式混合运算的顺序.
2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.
3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.
4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.
5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.
6．化简结果要最简.
7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.
1．化简 SKIPIF 1 < 0 的结果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】先把除法化为乘法，再进行约分，进而即可求解．
【详解】解：原式= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，故选B．
2．计算： SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】1
【分析】先通分，把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减，进而求解即可；
【详解】解：原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为1．
3．先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再把a的值代入计算即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
4．（2022·四川成都）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则代数式 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
移项得 SKIPIF 1 < 0 ，
左边提取公因式得 SKIPIF 1 < 0 ，
两边同除以2得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式＝ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
5．（2022·新疆）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】1
【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式 SKIPIF 1 < 0 ．
6．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1， SKIPIF 1 < 0 中选择一个合适的 SKIPIF 1 < 0 值代入求值．
SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的 SKIPIF 1 < 0 的值代入计算即可求出值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
∵x+1≠0，x-1≠0，x≠0，∴x≠±1，x≠0
当x= SKIPIF 1 < 0 时，原式= SKIPIF 1 < 0 ．

【考点4】分式方程的定义
【例6】下列关于 SKIPIF 1 < 0 的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A、B、D选项中分母含有未知数，是分式方程；
C选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.故选：C．
1．已知方程：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】解：根据定义可知：①②③为分式方程，故选：C．
【点睛】此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．
【详解】A、 SKIPIF 1 < 0 是一元一次方程，故不符合题意；B、 SKIPIF 1 < 0 是一元一次方程，故不符合题意；
C、 SKIPIF 1 < 0 是分式方程，故符合题意；D、 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程，故不符合题意；故选C．

【考点5】解分式方程
【例7】（2022·四川成都）分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
解：化为整式方程为：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
解分式方程的有关要点
（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.
（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.
（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1．（2021·陕西莲湖·八年级期末）已知 SKIPIF 1 < 0 是分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C．3D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据分式方程的解的定义，可将x=3代入方程 SKIPIF 1 < 0 ，求得a=-1．然后，代入a-3检验是否为0，进而得出a=-1．
【详解】解：∵x=3是分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴a=-1，∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合题意）．故选：A．
2．（2022·湖南常德）方程 SKIPIF 1 < 0 的解为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据方程两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 ，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．
【详解】解：方程两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
经检验， SKIPIF 1 < 0 是原方程的解
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3．（2022·广西玉林）解方程： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】两边同时乘以公分母 SKIPIF 1 < 0 ，先去分母化为整式方程，计算出x，然后检验分母不为0，即可求解．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 是原方程的解，
故原方程的解为： SKIPIF 1 < 0
4．（2022·广西梧州）解方程： SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先方程两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 ，化成整式方程求解，然后再检验分母是否为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 得到： SKIPIF 1 < 0 ，
解出： SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时分式方程的分母不为0，
∴分式方程的解为： SKIPIF 1 < 0 ．

【考点6】含参的分式方程
【例8】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）若关于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 无解，则a的值为（ ）
A．3B．0C． SKIPIF 1 < 0 D．0或3
【答案】C
【分析】直接解分式方程，再根据分母为0列方程即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，去分母得：2﹣x﹣a＝2（x﹣3），解得：x＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，方程无解， 解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
【例10】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）若关于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解为正数，则m的取值范围是_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵x为正数，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
分式方程无解两种情形
（1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解；
（2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。
1．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于 SKIPIF 1 < 0 的分式方程 SKIPIF 1 < 0 有增根，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】根据分式方程有增根可求出 SKIPIF 1 < 0 ，方程去分母后将 SKIPIF 1 < 0 代入求解即可.
【详解】解：∵分式方程 SKIPIF 1 < 0 有增根，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
去分母，得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
2．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 有增根，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【答案】C
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，去分母得： SKIPIF 1 < 0 ，
∵关于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 有增根，增根为：x=2，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即：m=2，故选C．
3．（2022·四川德阳）关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2
【答案】D
【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案.
【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1.解得：x=-a-1且x为正数．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.）
4．（2022·四川遂宁）若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【答案】D
【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当 SKIPIF 1 < 0 时，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，进行计算即可．
【详解】方程两边同乘 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 原方程无解， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 无解；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，m的值为0或4；故选：D．
5．（2021·四川雅安市·中考真题）若关于x的分式方程 SKIPIF 1 < 0 的解是正数，则k的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意，将分式方程的解 SKIPIF 1 < 0 用含 SKIPIF 1 < 0 的表达式进行表示，进而令 SKIPIF 1 < 0 ，再因分式方程要有意义则 SKIPIF 1 < 0 ，进而计算出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
根据题意 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴k的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．

【考点7】分式方程的实际运用：行程
【例11】（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．
【答案】摩托车的速度为40千米/时
【分析】设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时，
依题意，得： SKIPIF 1 < 0 ，解得：x=40，
经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意，
答：摩托车的速度为40千米/时．
1.（2021·黑龙江虎林·八年级期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时 SKIPIF 1 < 0 千米，则乘公交车花的时间为 SKIPIF 1 < 0 小时，乘私家车所花的时间为 SKIPIF 1 < 0 小时，再利用乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，列方程即可.
【详解】解：设乘公交车平均每小时走x千米，则乘私家车平均速度是每小时 SKIPIF 1 < 0 千米，则
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
2．（2021·上海市卢湾中学期末）小王步行的速度比跑步的速度慢 SKIPIF 1 < 0 ，跑步的速度比骑车的速度慢 SKIPIF 1 < 0 ．如果他骑车从 SKIPIF 1 < 0 城到 SKIPIF 1 < 0 城，再步行返回 SKIPIF 1 < 0 城共需要两小时，那么小王跑步从 SKIPIF 1 < 0 城到 SKIPIF 1 < 0 城需要____分钟．
【答案】48
【分析】此题可设骑车速度为x，则跑步的速度为（1-50%）x，步行的速度为（1-50%）（1-50%）x，根据骑车从A城去B城，再步行返回A城共需2小时列出分式方程解答即可．
【详解】解：设骑车速度为 SKIPIF 1 < 0 ，则跑步的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，步行的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意列方程得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验， SKIPIF 1 < 0 是原方程的解，跑步的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，
小王跑步从 SKIPIF 1 < 0 城到 SKIPIF 1 < 0 城需要 SKIPIF 1 < 0 （小时）， SKIPIF 1 < 0 小时=48分钟．
故小王跑步从 SKIPIF 1 < 0 城到 SKIPIF 1 < 0 城需要48分钟．故答案为：48．
3．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从 SKIPIF 1 < 0 地沿相同路线骑行去距 SKIPIF 1 < 0 地30千米的 SKIPIF 1 < 0 地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从 SKIPIF 1 < 0 地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从 SKIPIF 1 < 0 地出发，则甲、乙恰好同时到达 SKIPIF 1 < 0 地，求甲骑行的速度．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 千米/时
【分析】（1）设乙的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，根据甲、乙恰好同时到达 SKIPIF 1 < 0 地列方程求解即可．
【详解】(1)解：设乙的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 （千米/时），
答：甲骑行的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时；
(2)设乙的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，则甲的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时，
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 是分式方程的解，
则 SKIPIF 1 < 0 （千米/时），
答：甲骑行的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/时．
4．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．
【答案】张老师骑车的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时
【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．
【详解】解：设张老师骑车的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时，则汽车速度是 SKIPIF 1 < 0 千米/小时，
根据题意得： SKIPIF 1 < 0 ，解之得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 是分式方程的解，
答：张老师骑车的速度为 SKIPIF 1 < 0 千米/小时．

【考点8】分式方程的实际运用：工程
【例12】（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．
【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
1．（2021·四川宣汉·八年级期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为 SKIPIF 1 < 0 千米，则可列方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】设原计划每天铺设管道的长度为 SKIPIF 1 < 0 千米，要铺设一条长35千米的管道除以原计划每天铺设管道的长度 SKIPIF 1 < 0 千米-要铺设一条长35千米的管道除以实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%=7，列分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为 SKIPIF 1 < 0 千米，
则可列方程为 SKIPIF 1 < 0 ．故选择B．
2．（2021·贵州初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．
【答案】（1）甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；（2）应选甲工程队单独完成；理由见解析．
【分析】（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，根据甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量＝整项工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，根据甲、乙两工程队合作12天共需费用27720元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出两队每天所需费用，再求出两队单独完成这些工程所需总费用，比较后即可得出结论．
【解析】解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
依题意，得： SKIPIF 1 < 0 1，解得：x＝20，
经检验，x＝20是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x＝30．
答：甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需30天；
（2）设甲工程队每天的费用是y元，则乙工程队每天的费用是（y﹣250）元，
依题意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．
甲工程队单独完成共需要费用：1280×20＝25600（元），
乙工程队单独完成共需要费用：1030×30＝30900（元）．
∵25600＜30900，∴甲工程队单独完成需要的费用低，应选甲工程队单独完成．
3．（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？
【答案】每个小组有学生10名．
【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设每个小组有学生x名，
根据题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，
解这个方程，得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
∴每个小组有学生10名．
4．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【答案】(1)100米(2)90米
【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 SKIPIF 1 < 0 米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 SKIPIF 1 < 0 米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y的分式方程，解方程即可得出答案．
(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建 SKIPIF 1 < 0 米，
则有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．
(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同
∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)
乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)
解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建 SKIPIF 1 < 0 米，即1.2y米
则有 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0
经检验， SKIPIF 1 < 0 是原方程的解，符合题意
∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
5．（2021·成都市八年级月考）为稳步推进 SKIPIF 1 < 0 网络建设，深化共建共享，现有甲、乙两个工程队参与 SKIPIF 1 < 0 基站建设工程． （1）已知乙队的工作效率是甲队的 SKIPIF 1 < 0 倍，如果两队单独施工完成该项工程，甲队比乙队多用 SKIPIF 1 < 0 天，求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？（2）当甲队施工 SKIPIF 1 < 0 天完成 SKIPIF 1 < 0 基站建设工程的 SKIPIF 1 < 0 时，乙队加入该工程，结果比甲队单独施工提前 SKIPIF 1 < 0 天完成了剩余的工程．①求乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？②若乙队参与该项工程施工的时间不超过 SKIPIF 1 < 0 天，求甲队从开始施工到完成该工程至少需要多少天？
【答案】（1）乙队单独施工，需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程．（2）①36天，②至少40天
【分析】（1）设乙队单独施工，需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程，列出相应分式方程求解即可；
（2）①由甲队施工20天完成工程的 SKIPIF 1 < 0 可得出甲队单独施工完成整项工程所需时间，结合乙队加入后可提前25天完成了剩余的工程可得出两队共同施工的时间，设乙队单独施工需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程，根据两队每天完成的工程量 SKIPIF 1 < 0 共同工作的时间 SKIPIF 1 < 0 整项工程的 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设甲队施工 SKIPIF 1 < 0 天完成该项工程，根据乙队参与该项工程施工的时间不超过12天，即可得出关于 SKIPIF 1 < 0 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙队单独施工，需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程，
由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解方程，得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 是原分式方程的解，且符合题意．
答：乙队单独施工，需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程．
（2）①由题意得，甲队单独施工 SKIPIF 1 < 0 天完成该项工程的 SKIPIF 1 < 0 ，所以甲队单独施工 SKIPIF 1 < 0 天完成该项工程.
甲队单独施工完成剩余 SKIPIF 1 < 0 的工程的时间为 SKIPIF 1 < 0 （天），
于是甲、乙两队共同施工的时间为 SKIPIF 1 < 0 （天）．
设乙队单独施工需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程，则 SKIPIF 1 < 0 ，解方程，得 SKIPIF 1 < 0 .
经检验， SKIPIF 1 < 0 是原分式方程的解，且符合题意．答：若乙队单独施工，需要 SKIPIF 1 < 0 天才能完成该项工程．
②设甲队从开始施工到完成该工程需要 SKIPIF 1 < 0 天，依题意列不等式，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
分式概念
形如eq \f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
有意义的
条件
因为0不能做除数，所以在分式eq \f(A,B)中，若B≠0，则分式eq \f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq \f(A,B)没有意义．
值为0
在分式eq \f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq \f(A,B)的值为0
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq \f(A,B)＝eq \f(A×M,B×M)，eq \f(A,B)＝eq \f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)
约分
将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分
通分
将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分
分
式
运
算
分式加减
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq \f(a,c)±eq \f(b,c)＝eq \f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq \f(a,b)±eq \f(c,d)＝eq \f(ad±bc,bd).
分式乘除
分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq \f(a,b)·eq \f(c,d)＝eq \f(ac,bd).分式除以分
式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq \f(a,b)÷eq \f(c,d)＝eq \f(a,b)·eq \f(d,c)＝eq \f(ad,bc)
分式的混合运算
在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．
分
式
方
程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
解法
（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.
（2）常用方法：①去分母;②换元法.
（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.
（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.
（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.
运用
解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根