中考数学一轮复习课件 第4章 三角形第18课三角形相似（含答案）

这是一份中考数学一轮复习课件 第4章 三角形第18课三角形相似（含答案），共14页。PPT课件主要包含了考点知识，△ABC，相似比，相似比的平方，成比例，例题与变式，过关训练等内容，欢迎下载使用。
1．相似三角形的判定：(1)如图，若DE∥BC(A型和X型)则 △ADE∽__________．(2)两个角对应相等的两个三角形__________．(3)两边对应成__________且夹角________的两个三角形 相似．(4)三边对应成比例的两个三角形__________．
2.相似三角形的性质：(1)对应角________，对应边的比等于________， 周长的比等于________，面积的比等于__________ . (2)三条平行线截两条直线，所得对应线段 __________ .
【例1】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高且CD2＝AD·DB.(1)求证：△ACD∽△CBD；(2)求∠ACB的度数．
【考点1】相似三角形的判定与性质
证明：（1）∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°. ∵CD2=AD·DB， ∴ . ∴△ADC∽△CDB. （2）由（1）,得△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B. ∵∠B+∠DCB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°.
【变式1】如图，D是△ABC的边AC上的一点， 连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4， 求线段CD的长．
解：在△ABD和△ACB中， ∠ABD=∠C，∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACB. ∴ . ∵AB=6，AD=4， ∴AC= . ∴CD=AC－AD=9－4=5.
【考点2】相似三角形的判定
【例2】如图，在矩形ABCD中，沿直线MN对折， 使A，C重合，直线MN交AC于点O. 求证：△COM∽△CBA.
证明：A与C关于直线MN对称，∴AC⊥MN，∴∠COM=90°.在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.又∵∠ACB=∠ACB， ∴△COM∽△CBA .
【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，以 CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的 切线DE与边AB相交于点E. 求证：△ADE∽△CDF.
证明：∵CD是⊙O的直径， ∴∠DFC=90°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD∥BC. ∴∠ADF=∠DFC=90°， ∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥DC. ∴∠EDC=90°. ∴∠ADF=∠EDC=90°. ∴∠ADE=∠CDF. ∵∠A=∠C， ∴△ADE∽△CDF.
【考点3】相似三角形的判定与性质
【例3】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边 上的高，正方形EFGH的一边FG在BC边上，顶点E， H分别在AB，AC上，BC＝40 cm，AD＝30 cm.(1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．
解：(1)证明：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH∥BC. ∴△AEH∽△ABC.（2）解：设AD与EH交于点M，∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四边形EFDM是矩形. ∴EF=DM. 设正方形EFGH的边长为x，∴AM=30－x. ∵△AEH∽△ABC，∴ . ∴ .∴x= . ∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2
【变式3】如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD， CD上，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延 长交BC的延长线于点G.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若正方形的边长为4，求BG的长．
证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°. ∵AE=ED，∴ . ∵DF= DC， ∴ . ∴ . ∴△ABE∽△DEF. （2）解：∵四边形ABCD为正方形，∴ED∥BG. ∴△EDF∽△GCF. ∴ . ∵DF= DC，正方形的边长为4，∴ED=2，即 . ∴CG=6. ∴BG=BC+CG=10.
1．如图，在△ABC中，DE∥BC， ,则△ADE与△ABC的面积之比为________．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，求证：△ABC∽ADE.
2．如图，点P是▱ABCD的边AB上一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有________对．
证明：∵∠C=90°DE⊥AB, ∴∠C=∠DEA, ∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADE.
4．如图，△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC.(1)求证：△BDF∽△CEF；(2)若BF＝ a，求 BD，EC的长．
证明：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°. ∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF. （2）解：∵BF= ，∴FC= . ∵∠B=60°，∠BDF=90°∴∠BFD=30°. ∴BD= BF= . ∵△BDF∽△CEF，∴ ， ∴CE= BD= .
5．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E， DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．
证明：（1）∵ AB∥FC，∴∠ADE=∠CFE. 又∵∠AED=∠CEF，DE=FE, ∴ △ADE≌△CFE（ASA）. （2）解：∵△ADE≌△CFE，∴ AD=CF. ∵ AB∥FC，∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠GFC. ∴△ GBD∽△GCF. ∴ 又∵GB＝2，BC＝4，BD＝1， 代入 , ,得CF＝3=AD. ∴ AB＝AD+BD=3+1=4.
6．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB， 且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交 ⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)求AC的长．
证明：（1）连接OD，∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD. ∵AC⊥BD，∴OD∥AC. ∴∠DAC=∠ODA. ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA. ∴∠OAD=∠DAC，即AD平分∠BAC. （2）解：∵OD∥AC， ∴△BOD∽△BAC. ∴ . ∴ . 解得AC= .
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．(1)求线段CD的长；(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10. ∵CD⊥AB，∴S△ABC= BC·AC= AB·CD. ∴CD= . ∴线段CD的长为4.8.