2024年山西省吕梁市交口县中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1. 下列各数中，比小的数是（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查整式加减，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式减单项式的法则，幂的乘方法则，对各项进行运算即可．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项符合题意．
故选：．
3. 悠悠万事，吃饭为大，粮食安全是“国之大者”．2023年我省粮食总产量295.62亿斤，创历史新高，同比增加2.76亿斤，增幅，则数据295.62亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（，a不为分数形式，n为整数），这种记数法叫做科学记数法，据此解答即可．
详解】解：亿．
故选：C．
4. 下列图形既是轴对称图形，又是正方体的平面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的展开图和轴对称的性质等知识点，由正方体的展开图和轴对称的性质的特征解题即可，熟练掌握几何体的展开图和轴对称的性质是解决此题的关键．
【详解】A、 是正方体的展开图但不是轴对称图形，不符合题意；
B、是正方体的展开图也是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形但不是正方体的展开图，不符合题意；
D、是正方体的展开图但不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
5. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查异分母分式的加法，原式先通分，变成同分母的分式，再根据同分母分式的加法法则进行计算即可
【详解】解：
，
故选：B．
6. 如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可
【详解】解：过点C作轴于点M，如图，
则
根据题意得
∴
∴
又
∴
∴
∴
即点C处的接收器到轴的距离为3，
故选：C
7. 如图，已知矩形纸片，，点在上，把纸片沿折叠，点的对应点恰好落在上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的性质，由三角函数值确定角的度数，折叠的性质等知识，根据得，由得，根据折叠得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由折叠得，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
8. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据反比例函数图象与性质知反比例函数的图象在一、三象限，结合即可得到答案．
【详解】解：，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，
∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴，
∴．
故选：C．
9. 和是抛物线上的点，则、两点之间的距离是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的对称性，根据二次函数的解析式得到对称轴为直线，A，B两点关于对称轴对称，即可得出A，B两点之间的距离．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵和关于对称轴对称，
∴A，B两点之间的距离；
故选：D．
10. 如图，点、为上的点，的半径为2，，点在外，连接、与分别交于点、，若，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质以及扇形面积计算，连接延长交于点F，作于点M，求出，得出是等边三角形，计算出根据可得结论
【详解】解：连接延长交于点F，作于点M，
∵
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴
,
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
故选：A
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算__．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质以及完全平方公式计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简和完全平方公式是解题关键．
12. 如图1，飞虹塔位于山西省洪洞县的广胜寺景区内，是第一批全国重点文物保护单位，呈三角形共十三层，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，则________．
【答案】##45度
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形的外角，根据除以正多边形的边数即可救出结果．
【详解】解：因为多边形是正八边形，
所以，，
故答案为：．
13. 如图，这是一组有规律的图案，它们是由相同的五角星组合而成的，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星，…按此规律摆下去，第个图案有________个五角星．（用含的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形的变化规律，由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形……依此类推即可解答．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有个三角形，
第2个图案有个三角形，
第3个图案有个三角形，
……
第n个图案有个三角形．
故答案为：．
14. 根据下列对话可知的值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意得今年妈妈的年龄是32岁，n年后，妈妈的年龄是岁，小新的年龄是岁，根据n年后妈妈的年龄是小新年龄的3倍列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，
，
解得，，
即4后妈妈的年龄是小新年龄的3倍，
故答案为：4．
15. 如图，在边长为4的正方形的外侧，作等腰三角形，，连接，为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作GF于点R，作交的延长线于点P，由勾股定理求出，，再过点F作于点G，延长交于点T，则，证明是的中位线，求出，由勾股定理得，，证明，求出，最后根据勾股定理求出的长
【详解】解：过点E作于点R，作交的延长线于点H，由、如图，
∴
∴四边形是矩形，
∵等腰三角形，且
∴
∴
在中，
∴，
∴
在中，
∴
过点F作于点G，延长交于点T，则有：
∴
∴四边形是矩形，
∴
∵点F是的中点，
∴
∵
∴，
∴
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
∴,
∵
∴
∴即,
∴
∴
在中，,
故答案为：
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，负整数指数幂，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌负整数指数幂的运算法则，解二元一次方程组的解法；
（1）根据绝对值，乘方，负整数指数幂的运算法则，求解即可；
（2）根据解二元一次方程组的解法求解即可；
【详解】解：（1）
；
（2）
由得，
解得，
把代入得，
方程组的解为．
17. 如图，在中，．
（1）实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
（2）计算：在（1）的条件下，若，，求的长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握对的直角边是斜边的一半是解题的关键；
（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；
（2）由含的直角三角形的性质，可求出，再由勾股定理求出，再由含的直角三角形的性质求解即可；
【小问1详解】
如图所示，即为所求，
【小问2详解】
，，，
，
在中，．
是边上的高，
，
，
18. 电网的发展实现了我国电力能源的均衡化分配，电网是国家大力支持的重点行业，而智能化是顺应当下绿色发展和数字化转型趋势的最优选择，山西省近年来在电网智能化发展上取得了可喜的成绩．某市计划在未来一段时间铺设完成两条电网线路，其中一条线路由甲工程队负责，甲工程队每天能铺设的电网线路，另一条线路由乙工程队负责，乙工程队每天能铺设的电网线路．已知甲工程队先铺设了．乙工程队才开始铺设（乙工程队工作的同时甲工程队继续铺设自己的线路）．设乙工程队工作时间为天，甲工程队铺设线路总长度为，乙工程队铺设线路总长度为．根据以上信息完成下列问题：

（1）请写出、与之间的函数表达式．
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）根据（1）中的函数关系式列不等式即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，；
【小问2详解】
由题意得，即，
解得：，
的取值范围为．
19. 某校举办开学迎新晚会，准备从学生中遴选主持人，小强和小刚入选男主持人的最终评选环节，评选由舞台形象、语言功底、应变能力三项测试组成，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将舞台形象、语言功底、应变能力三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．
小强、小刚的三项测试成绩和总评成绩如表所示：
在语言功底测试中，评委给小刚打分情况表：
（1）在语言功底测试中，评委给小刚打分的中位数是________分，众数是________分，平均数是________分．
（2）请你计算小刚的总评成绩，并判断男主持人的最终人选．
（3）最终当选的男主持人需从写歌曲、魔术、朗诵、舞蹈的四张卡片中随机抽取一张（放回），再从中随机抽取一张，抽取的结果作为他主持的节目，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是魔术和舞蹈的概率．
【答案】（1）87，87，85
（2）小刚的总评成绩是，小刚是男主持人的最终人选
（3）
【解析】
【分析】本题考查了频数（率）分布直方图，加权平均数，中位数和众数以及用树状图法求概率：
（1）根据中位数，众数和平均数的定义求解既可
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）画出树状图，得到所有等可能的结果数和恰好是魔术和舞蹈的情况数，再运用概率公式进行计算即可
【小问1详解】
解：七位评委给小刚打出的分数从小到大排列为： 80，80，86，87，87，87，88，
所以这组数据的中位数是87（分），众数是87（分），平均数是（分）；
故答案为：87，87，85；
【小问2详解】
解：小刚的总评成绩（分）
小刚的总评成绩好于小强的总评成绩，
所以，男主持人的最终人选应为小强；
【小问3详解】
解：分别用A，B，C，D表示歌曲、魔术、朗诵、舞蹈，画树状图如下：

共有16种等可能的情况，抽到魔术和舞蹈的有2种情况，
所以，抽到的两张卡片恰好是魔术和舞蹈的概率为
20. 为方便同学们更好的放置自己的物品，某校新购进一批课桌便携式挂钩（图1）实践小组的同学把“挂钩到地面的距离的计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践研究，并形成了如下活动报告．请根据报告计算挂钩到地面的距离（即的长）．（结果精确到，参考数据：，）
【答案】挂钩到地面的距离约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含的直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活的运用所学知识解决实际问题；
由含的直角三角形的性质和勾股定理可得，再由三角函数求出，根据课桌的高度即可求解．
【详解】如图，过B作于F，延长交的延长线于G，则，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
课桌高度为，
，
，
答：挂钩到地面的距离约为．
21. 阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的“依据”是________．（填选项）
A． B． C． D．
（2）在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________．
（3）如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长．
【答案】（1）A （2）
（3）1
【解析】
【分析】本题主要考查运用“倍长中线法”证明三角形全等，三角形三边关系以及等腰三角形的判定与性质等知识：
（1）根据证明过程可得出的依据；
（2）运用倍长中线法求出，再根据三角形三边关系求出的取值范围，从而可得结论；
（3）延长，交于点N，证明，得，结合角平分线定义得，得出，可求出
【小问1详解】
解：根据证明过程可得的依据是，
故选：A；
【小问2详解】
解：如图，延长至点，使．连接,
∵是边的中点
∴．
∵，，
∴．
∴．
又，
∴即
∴．
【小问3详解】
解：如图，延长，交于点，
∵，即，
∴
∵点是的中点，
∴
又
∴
∴
∵平分
∴
∴，
∴
∴
22. 综合与实践
问题情境：
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将正方形与正方形按图1所示的方式摆放，其中，试求的长．

数学思考：
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究：
（2）老师将图1中的正方形绕点逆时针方向旋转，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图2，当点落在边上时，连接、，延长与交于点，求的长．请你解答此问题．
②“智慧小组”提出问题：如图3，连接、，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）由勾股定理求出的长即可求出；
（2）由勾股定理求出，再证明，得， 证明可求出；
（3）在上取点M，使，连接，求出，分别证明和，得出,，由勾股定理得出，从而得
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴
∵
∴
在中，
在中，
∴；
（2）在中，
∴
在中，
∴
∴，
∴，
又
∴，
∴即
∴；
（3）在上取点M，使，连接，

∵
∴，
在正方形中，；
在正方形中，
∵
∴
在和中，
，
∴
∴
在和中，
，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键
23. 综合与探究
如图，平面直角坐标系中，二次函数图象与坐标轴交于、、三点，其中点，，是第三象限内二次函数图象上一动点，过点作于点，交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）求的最大值．
（3）如图2，过点作的垂线，交轴于点，交二次函数图象的对称轴于点，连接、，是否存在点使得，若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据求出点C的坐标，再把点A，C坐标代入，求出a，c的值即可
（2）救出直线的解析式，设，求出的长，再根据二次函数的性质可得出的最大值；
（3）根据勾股定理求出的值，证明，得，得一元二次方程，求出方程的解即可得出点P的坐标
【小问1详解】
解：
∵
∴
∴
把代入，得
，
解得，，
所以，二次函数式为；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为，
把代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
设，则：
，
∴
∴，
∵
∴有最大值，最大值为；
【小问3详解】
解：如图，过点C作于点T，
∵
∴
∵轴，
∴
∴
∴
∴
∴
同理可得，
∴，
在中，；
过点N作轴于点Q，过点H作轴于点R，则
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴点P的坐标为
【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数关系式，求函数的最值，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，求出的值是解答本题的关键选手
测试成绩/分
总评成绩/分
舞台形象
语言功底
应变能力
小强
85
92
86
87
小刚
84
▲
90
▲
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
80
87
80
87
88
86
87
课题
挂钩到地面的距离的计算
调查方式
测量，查看说明书
测量工具
测量角度仪器，皮尺等
测
过
程
及
计
算
调研内容及图示
相关数据及说明
如图2，课桌高度为．如图3，，，
计算结果
“倍长中线法”
中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线．
如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．

证明：如图2，延长至点，使．
∵是边的中点
∴．
∵，，
∴（依据）．
∴，．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．