2024年中考第一次模拟考试题：数学（福建卷）（教师用）

这是一份2024年中考第一次模拟考试题：数学（福建卷）（教师用），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中，最小的是( )
A. B. 0C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．
【详解】解：正数大于零，零大于负数，得
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，正数大于零，零大于负数，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键．
2．如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可．
【详解】解：该直口杯的主视图为
故选：D．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．
3. “绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：万，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】点（1，2）所在的象限是第一象限．
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案．
【详解】解：A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了人，则第一轮传染了个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：．
【详解】由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接．下列说法错误的是（ ）

A. 直线是的垂直平分线B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线是的垂直平分线、平行线分线段成比例、三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质等知识，分别进行判断即可．
【详解】解：A．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，故选项正确，不符合题意；
B．由作图过程可知，直线是的垂直平分线，
∴点E是的中点，，
在中，，
∴，
∴，
即点D是中点，
∴，
故选项正确，不符合题意；
C．∵点D是的中点，点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、垂直平分线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理是解题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B. 任意画一个三角形，其外角和是是必然事件
C. 数据4，9，5，7的中位数是6
D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【解析】
【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可
【详解】解：A．检测“神州十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；
B．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，故选项错误，不符合题意；
C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意；
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案．
【详解】如图，过点作于，过点作于，

在中，，
在中，，
点到桌面的最大高度，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题．
10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答．
【详解】解：，
，
点，都在直线的上方，且，
可列不等式：，
，
可得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
开口向上，
的解为，
根据题意还可列不等式：，
，
可得，
整理得，
设抛物线，直线，
可看作抛物线在直线下方的取值范围，
当时，可得，
解得，
，
抛物线开口向下，
的解为或，
综上所述，可得，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．如果温度上升，记作，那么温度下降记作___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：如果温度上升，记作，那么温度下降记作
故答案为：．
【点睛】本题考查了正负数意义，理解题意是解题的关键．
12. 在中，，分别为边，的中点，，则的长为__________cm.
【答案】
【解析】
【分析】由于、分别为、边上的中点，那么是的中位线，根据三角形中位线定理可求．
【详解】如图所示，

、分别为、边上的中点，
是的中位线，
；
又∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线等于第三边的一半．
13．如图，在平行四边形中，按如下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．若，则为_________．

【答案】
【解析】
【分析】先利用基本作图得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，从而得到．
【详解】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
14. 某青年排球队有12名队员，年龄的情况如下表：
则这12名队员年龄的中位数是______岁．
【答案】19
【解析】
【分析】根据中位数的定义，求出第6名队员和第7名队员年龄的平均数即可．
【详解】解：∵，
∴第6名队员和第7名队员年龄均为19岁，
∴这12名队员年龄的中位数是19岁，
故答案为：19．
【点睛】本题主要考查了求中位数，解题的关键是掌握中位数的定义，奇数个数据的中位数是最中间的一个数据，偶数个数据的中位数是最中间两个数据的平均数．
15. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________.

【答案】
【解析】
【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：在中，∵，，，
∴，
由旋转的性质得，，
，
∴是等边三角形，
∴，
∴点的运动路径的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．

（1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若，则________．
【答案】 ①. 9 ②. ##
【解析】
【分析】（1）在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为；
（2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案．
【详解】（1）在图1中，过作于，如图：

，
，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
的面积为16，
，
，
，
纸片Ⅲ的面积为；
故答案为：9；
（2）如图：

，
，
设，则，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得或，
当时，，这情况不符合题意，舍去；
当时，，
而，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分） 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】计算乘方、化简绝对值、计算零指数幂，再进行加减运算即可得到答案．
【详解】解：原式
.
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（8分）解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】先分别解两个不等式得到 和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得；
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
19．（8分）如图，已知，，．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先由题意可证，可得，再根据等式的性质即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
20. （8分）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键．
21. （8分）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理得到．再根据切线的性质得到．然后利用等角的余角相等得到；
（2）先证明得到，则可证明，利用正切的定义，在中有，在中有，所以，然后求出的长，从而得到的半径．
【小问1详解】
证明：∵为的直径，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
22. （10分）首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．

根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________；
（2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，
（2）
【解析】
【分析】（1）用C组所占的比列出方程，即可求得m的值，再求出总数；用周角乘以D组所占的比，即可求出的度数；
（2）列出树状图或表格，求出所有可能的情况总数，再找出刚好抽中两名女志愿者的数量，带入公式即可．
【小问1详解】
∵
∴
∴
故填：20， 6，；
【小问2详解】
画树状图为：

或者列表为：
共有12种等可能结果，其中抽中两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者）．
【点睛】本题考查统计与概率综合，求出总数和列出树状图，或表格是解题的关键．
23. （10分）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
【答案】探究检测距离为5米时，视力值12所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究；
探究3：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【解析】
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
24. （13分）已知：关于的函数．

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0或2或
（2）①6，②存在，
【解析】
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【小问1详解】
解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
【小问2详解】
解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．

依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
25. （13分）如图1，点为矩形的对称中心，，，点为边上一点，连接并延长，交于点，四边形与关于所在直线成轴对称，线段交边于点．

（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）令，．
①求证：；
②如图2，连接，，分别交，于点，.记四边形的面积为，的面积为.当时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据轴对称和矩形的性质，证明，即可解答；
（2）过点作于，设，则，求得，再利用勾股定理，列方程即可解答；
（3）①过点作于，连接，证明，可得，得到，即可解答；
②连接，证明，进而证明，进而证明，可得，再证明，得到，再得到，最后根据①中结论，即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形为矩形，
，
，
四边形与关于所在直线成轴对称，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过点作于，
设设，则，
，
，
四边形为矩形，
，
点为矩形的对称中心，
，
，
在中，，
可得方程，
解得（此时，故舍去0），
；
【小问3详解】
解：①证明：过点作于，连接，
点为矩形的对称中心，
，，
，
，
，
，
，
，即，
，，
；

②如图，连接，
由题意可得,
点为矩形的对称中心，
，
同理可得，
由（1）知，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，由①可得，
解得，
，
，
．

【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及轴对称变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
年龄/岁
18
19
20
21
22
人数
3
5
2
1
1
组别
身高分组
人数
A
3
B
2
C
D
5
E
4
男1
男2
女1
女2
男1
（男1男2）
（男1女1）
（男1女2）
男2
（男2男1）
（男2女1）
（男2女2）
女1
（女1男1）
（女1男2）
（女1女2）
女2
（女2男1）
（女2男2）
（女2女1）