北京市第一六六中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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考试时长：120 分钟
班级: 姓名:
一. 选择题(本大题共 10 小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. ，则（ ）
A B. 2C. D. 6
2. 已知椭圆的一个焦点的坐标是，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
4. 抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
7. 若函数 既有极大值也有极小值，则下列说法正确的个数为（ ）
① ② ③ ④
A. 0B. 1
C. 2D. 3
8. 已知函数，那么“”是“在上为增函数”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（ ）
A. 有极小值点，没有极大值点B. 有极大值点，没有极小值点
C. 至少有两个极小值点和一个极大值点D. 至少有一个极小值点和两个极大值点
10. 已知函数， 现给出如下命题:
① 当时，；
②在区间上单调递增；
③在区间上有极大值；
④ 存在，使得对任意，都有.
其中真命题的序号是（ ）
A. ①②B. ②③
C. ②④D. ③④
二. 填空题(本大题共5 小题，每小题5 分)
11. 函数导数为________．
12. 已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为______.
13. 已知奇函数的定义域为R，且，则的单调递减区间为__________；满足以上条件的一个函数是__________．
14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为_______；a的最大值为________．
15. “S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.
给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是___________.
三. 解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证： 当时，.
17. 设函数，.
（1）当时， 试求的单调增区间；
（2）试求在上的最大值.
18. 已知函数，.
（1）当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由；
（2）求函数单调区间.
19. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为. 直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.
20. 已知函数（为自然对数的底数）
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；
（2）求函数的极值；
（3）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
（2）若具有性质,证明:;
（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
考查目标
知识： 圆锥曲线的方程、一元一次函数的导数及其应用
能力： 空间想象能力， 抽象概括能力， 推理论证能力， 运算求解能力， 数据处理能力， 分析问题和解决问题的能力