福建省厦门大学附属科技中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性测试数学试卷（Word版附解析）

这是一份福建省厦门大学附属科技中学2023-2024学年高一下学期3月阶段性测试数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知向量满足，则，的内角的对边分别为，则，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
高一数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．在平行四边形中，为一条对角线．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
4．已知向量满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
5．据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）
A． B． C． D．
6．的内角的对边分别为，则（ ）
A． B．3 C． D．2
7．已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，且有，则线段长的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列结论正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，则或
D．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为
10．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若为锐角三角形且，则
D．若，则符合条件的有两个
11．对于，其外心为，内心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．向量与共线 D．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知是纯虚数，是实数，那么_________。
13．已知向量与的夹角为，则_________。
14．正方形的边长为是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点为平面内一点，且满足，则的最小值为_________。
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
已知，且．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
16．（15分）
已知是平面内两个不共线的非零向量，，且，三点共线。
（1）求实数的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标。
17．（15分）
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答。
在中，内角的对边分别为，且_________。
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积。
18．（17分）
如图，有一位于处的雷达观测站发现其北偏东，与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东（其中）且与观测站相距海里的处。
（1）求该船的行驶速度（海里/小时）；
（2）在离观测站的正南方20海里的处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险?试说明理由。
19．（17分）
如图所示，是的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于两点。
（1）求证：；
（2）设，求的值；
（3）如果是边长为的等边三角形，求的取值范围。
厦门大学附属科技中学
2024-2025学年3月阶段性测试
高一数学（解析）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A
7．C
【详解】，
又为等边三角形，
在上的投影向量为．故选：C。
8．C
【详解】在中，设角的对边分别为，
由正弦定理可得，则，，即，
所以，
，所以，，
，则，当时，即当时，取最大值，
即。
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．CD 10．AC
11．BC
【详解】对于A中，因为为外心，则，
仅当时，才有，所以A错误；
对于B中，由，又由，
所以，所以B正确；
对于C中，由，
即与垂直，
又由，所以与共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，为的外接圆，
连接，设分别是的中点，
连接，则，
又由，所以，即，
所以与共线，因为为的外接圆的圆心，所以，
所以，同理得，所以是的垂心，所以D错误。
故选：BC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．2 13．2
14．
【详解】
以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴，建立坐标系，
则，所以，
所以，即点坐标为，
设，则，
所以，
所以，
当且时，有最小值为，
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解】（1）因为，
所以，2分
因为。所以，
即，解得；5分
（2）因为，4分
又，所以，6分
即，解得 8分
16．【解】（1）。
因为三点共线，所以存在实数，使得，3分
即，得．
因为是平面内两个不共线的非零向量，
所以解得。（一个值3分）6分
（2）．4分
（3）因为四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以．2分
设，则，
因为，所以，
解得，即点的坐标为．5分
17．
【解】（1）方案一：选条件①。
因为，所以。
因为，所以（没写扣1分），所以，3分
所以，即．5分
因为，所以，（没写扣1分）
所以。7分
方案二：选条件②。
因为，
所以，2分
则，
因为（没写扣1分），所以，6分
因为，所以（没写扣1分），。7分
方案三：选条件③。
因为，
所以，2分
所以，
因为，所以（没写扣1分），，6分
又（没写扣1分），所以．7分
（2）因为，所以，
由，得，5分
所以，7分
则的面积。
18．【详解】（1）由题意，，
由余弦定理，，
即，6分
以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，
该船的行驶速度（海里/小时）。7分
（2）由（1）知，在中，
。4分
设延长交于，则，
在中，由正弦定理，即7分
又 7分
（海里） 9分
与重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险。10分
19．
【解】（1）证明：因，所以，又因为的中点，所以，
所以。 3分
（2）因
所以，2分
又因，所以，4分
又因三点共线，所以，即。 6分
（3）设，
由（1）（2）可知，即．
因，
所以
又因是边长为的等边三角形，
所以，
令，因，即，当且仅当时，等号成立，所以。
因此，
又因，所以，所以所以 8分