江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 等差数列中，，，则（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件求出即可.
【详解】因为，，
所以可解得，所以，
故选：C
2. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A. 50B. 70C. 90D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列片段和性质列式计算即可.
【详解】由等比数列的片段和性质得，，成等比数列
所以
所以，
解得.
故选：B.
3. 用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出当和时，不等式左边，二者比较即可得到答案.
【详解】当时，左边为，
当时，左边为
所以增加的项为：
故选：D
4. 已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】推导出，则，利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得使得的的最大值.
【详解】因为数列为等差数列，首项，且，则，
所以，、异号，
设等差数列的公差为，因为，则，则数列单调递减，
所以，，则，
，
，
，
当时，，则，
所以，使得的的最大值为.
故选：C.
5. 已知数列为正项递增等比数列，，，则该等比数列的公比（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合等比数列的性质求出，进而可求出公比.
【详解】由题意，
由，，
得，所以（舍去），
所以，
整理得，解得（舍去），
所以.
故选：A.
6. 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ）
A. 204万元B. 220万元C. 304万元D. 320万元
【答案】A
【解析】
【分析】设引进设备n年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第n年的成本为，构成一等差数列，由等差数列前公式求得第年总成本，这样可得总盈利，由二次函数性质可得最大值；
【详解】设引进设备年后总盈利为万元，设除去设备引进费用，第年的成本为万元，
则由题意，知为等差数列，前年成本之和为万元，
故，，
所以当时，，
即总盈利的最大值为204万元.
故选：A.
7. 已知数列的前n项和为，且满足，，则（ ）
A. 0B. C. lD.
【答案】C
【解析】
【分析】由求解即可.
【详解】解：
．
故选:C．
8. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，且，则使得恒成立的实数的最小值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出数列的通项，再利用等比数列前项和公式求出即可得解.
【详解】数列中，，，当时，，两式相减得，
即，整理得，而，
因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，，不满足上式，
则，当时，，，
而，依题意，，所以实数的最小值为.
故选：C
【点睛】思路点睛：给出与的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与n之间的关系，再求.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在等比数列中，，，则（ ）
A. 的公比为B. 的前项和为
C. 前项积为D.
【答案】AB
【解析】
【分析】对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得，再根据等差数列求和公式求解即可；对C，根据求解即可；对D，代入求解即可.
【详解】对A，设等比数列的公比为，则，得，
所以，所以，
所以，
所以数列的公比为，故A正确
对B，因为，所以的前项和为
，故B正确；
对C，的前项积为，故C错误
对D，因为，
所以的前项和为，故D错误．
故选：AB
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知随机变量，则
B. 若随机事件，满足：，，，则事件与相互独立
C. 若事件与相互独立，且，则
D. 若残差平方和越大，则回归模型对一组数据，，…，的拟合效果越好
【答案】ABC
【解析】
【分析】由二项分布的性质可得，从而可求出可判断A；由独立事件的定义和条件概率公式可判断B，C；利用残差的意义可判断D.
【详解】对于选项A：因为，则，故A正确；
对于选项B：，
解得：，所以事件与相互独立，故B正确；
对于选项C：若事件与相互独立，且，
，，所以C正确；
对于选项D：残差平方和越小，则回归模型对一组数据，，…，的拟合效果越好，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知数列：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列，，且的所有项的和为，则以下判断正确的是（ ）
A. 的项数为B.
C. 中0的个数为203D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知条件，分析出数列的项数成等比数列判断A，根据变换规则，得出数列中与个数的规律，结合数列项数，即可判断B、C、D三个选项.
【详解】设数列的项数为一个数列，因为中有项，即，
根据题意：在作用下，每个0都变为“”，每个2都变为“”，
所以有，
由此可知数列为首相，公比的等比数列，
所以的项数为，故A正确；
根据变换规则，若数列的各项中，与的个数相同，
则与之相邻的下一个数列中与的个数也相同；
若比多个，则与之相邻的下一个数列中比的个数少个，
若比少个，则与之相邻的下一个数列中比的个数多个，
因为中有项，其中个，个，比少个，
所以的项中，比的个数多个，
以此类推，若为奇数，则数列各项中比少个，
若为偶数，则数列的各项中比多个，
中，项数为个，为偶数，所以2的个数为，
所以，所以B正确；
中共有项，其中为奇数，
所以数列中有个，所以C正确；
D选项，的值与的奇偶有关，所以D错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则 (公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是数列求通项或求和.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第项为___．
【答案】
【解析】
【分析】先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项.
【详解】设等差数列的公差为，则，
在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为，
故新数列的首项为，故通项公式为，
故.
故答案为：31
13. 箱子中装有个大小相同的小球，其中个红球、个白球.从中随机抽出个球，在已知抽到红球的条件下，个球都是红球的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】记事件随机抽到个球中有红球，记事件随机抽到的个球都是红球，利用条件概率公式可求得的值.
【详解】记事件随机抽到个球中有红球，记事件随机抽到的个球都是红球，
则，，
所以，.
故答案为：.
14. 已知是各项均为正实数的数列的前n项和，，若，则实数m的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先得，，进一步将原问题转换为恒成立，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，
又因为是各项均为正实数的数列，
所以，即数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以，
而，所以，
即恒成立，
又，等号成立当且仅当，
所以，即实数m的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是首先得，，由此即可顺利得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设是等差数列，是各项都为正数的等比数列.且，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）记，为前项和，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，根据已知条件可得得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列、的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，
因为，，，
则，
，
所以，，解得，
所以，，.
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
所以，，①
可得，②
①②可得
，
因此，.
16. 已知函数，点在曲线上.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由已知条件求出的值，求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程.
【小问1详解】
解：因为函数，点在曲线，则，所以，，
所以，，则，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
【小问2详解】
解：设切点坐标为，则，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
将点的坐标代入切线方程可得，解得或，
当时，所求切线方程为；
当时，所求切线方程为.
综上所述，曲线过点的切线方程为或.
17. 已知数列满足，且对任意正整数都有，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用累加法可求得数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，求出的表达式，结合并项求和法可求得.
【小问1详解】
因数列满足，且对任意正整数都有，，
则，
所以，，，，，，
上述个等式全加得，
所以，，
故当时，，也满足，
故对任意的，.
【小问2详解】
因为，
对任意的，，
所以，
.
18. 已知数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数，使数列为等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值.
【答案】（1）
（2）存在，且
（3）
【解析】
【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）记，由数列为等差数列，则，求出的值，然后利用等差数列的定义验证数列为等差数列，即可得出结论；
（3）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值.
【小问1详解】
解：因为数列的前项和为，，，
当时，有，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.
【小问2详解】
解：由已知条件可得，则，
记，
若数列为等差数列，且，，，
则，即，解得，
此时，，所以，，
故当时，数列为等差数列.
【小问3详解】
解：因为
，
所以，
，
因为，且，故数列单调递增，
所以，，且，故对任意的，，
因为不等式对所有恒成立，
所以，，解得，
因为，则的值为.
19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.
（1）求的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.
①求的取值范围；
②求证：为定值.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率以及面积的最大值，构造方程解方程可得的方程为；
（2）①联立椭圆与直线方程得出的面积的表达式，利用对勾函数单调性即可求得的取值范围为；
②利用中点坐标公式求得，得出斜率表达式即可得，可得为定值.
【小问1详解】
由题意知，解得，
所以的方程为；
【小问2详解】
①易知，
设直线方程为，如下图所示：
联立，消去可得，
所以，
且，
可得，
令，
可得，由对勾函数性质可得在时单调递增；
所以可得；
即的取值范围为.
②易知，
可得；
所以
；
因此为定值.