2022-2023学年陕西省安康市高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省安康市高二（下）期中数学试卷（文科）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x3≤1}，B={x|x+2>0}，则A∩B=( )
A. (−2,1]B. (0,1]C. [−2,1]D. [0,1]
2.已知复数z满足z(1+i)=2，则z−的虚部为( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.m=0是直线3x−4y+m=0与圆(x−2)2+(y+1)2=4相切的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.将函数y=sin2x(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )
A. y=sin(x+π6),x∈RB. y=sin(x+π3),x∈R
C. y=sin(4x+π6),x∈RD. y=sin(4x+π3),x∈R
5.函数f(x)=xln1+x1−x的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙、丙、丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
7.如图，在直棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=CC1，AB⊥BC，E为BC的中点，F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的正弦值为( )
A. 52
B. 23
C. 2 55
D. 53
8.设F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.P为双曲线C右支上一点，若∠F1PF2=π2，|PF2|=2a，则双曲线C的离心率为( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
9.若某程序框图如图所示，已知该程序运行后输出S的值是511，则判断框的条件可能是( )
A. k≥9
B. k>10
C. k>11
D. k>12
10.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为( )
A. 56B. 57C. 58D. 59
11.若点P是曲线y=lnx−x2上任意一点，则点P到直线l：x+y−4=0距离的最小值为( )
A. 22B. 2C. 2 2D. 4 2
12.已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为4 3的等边三角形，若三棱锥P−ABC体积的最大值是32 3，则球O的表面积是( )
A. 100πB. 160πC. 200πD. 320π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设x，y满足约束条件4x+3y−5≥0x≤3y≤3，则z=−x+y的最小值为______．
14.已知向量a与b的夹角为30°,|a|=1,|b|= 3，则|a−2b|= ______．
15.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1，则a6= ______．
16.已知点M(0,4)，点P在抛物线x2=8y上运动，点Q在圆x2+(y−2)2=1上运动，则|PM|2|PQ|的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsC+ccsA=btanA．
(1)求A；
(2)若a= 5,b= 2，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
2023年春节期间，科幻电影《流浪地球2》上映，获得较好的评价，也取得了很好的票房成绩，某平台为了解观众对该影片的评价情况(评价结果仅有“好评”“差评”)，从平台所有参与评价的观众中随机抽取400人进行调查，数据如表所示(单位：人)：
(1)把2×2列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”？
(2)从随机抽取的400人中所有给出“好评”的观众中采用按男女分层抽样的方法随机抽取7人参加平台和影片出品方组织的活动，为了方便活动，现从7人中随机选出2人作为正、副领队，求所选出的正、副领队是一男一女的概率．
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，
参考数据：
19.(本小题12分)
如图(1)，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，AB=BC=AD=12CD=2，P为CD中点．以AP为折痕将△ADP折起，使点D到达点S的位置，如图(2)．
(1)求证：SB⊥AP；
(2)若SB= 6，求点C到平面SPB的距离．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0)，且离心率为 63．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过原点O的直线l：y=x+m与椭圆C交于A，B两点，求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx−2ax．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：20222023>20232022．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角为α且过点M(1,1).以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A、B.求||AM|−|MB||的最大值．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|2x−a|+2|x+1|．
(1)当a=2时，求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≤2a+1成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵A={x|x3≤1}={x|x≤1}，B={x|x+2>0}={x|x>−2}，
∴A∩B={x|−2故选：A．
解不等式得到集合A，B，然后求交集即可．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵z(1+i)=2，
∴z=21+i=2(1−i)12−i2=1−i，
∴z−=1+i，
∴z−的虚部为1．
故选：A．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为3x−4y+m=0与圆(x−2)2+(y+1)2=4相切，
所以2=|3×2−4×(−1)+m| 32+42，所以m+10=10或m+10=−10，
∴m=0或m=−20，
则m=0是直线3x−4y+m=0与圆(x−2)2+(y+1)2=4相切的充分不必要条件．
故选：A．
根据圆心到直线的距离等于半径即可得m，由此可判断．
本题考查直线与圆相切，考查充分必要条件，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：将函数y=f(x)=sin2x(x∈R)的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，
所得图象表示的函数是y=f(x+π6)=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)(x∈R)，
再把y=sin(2x+π3)(x∈R)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，
得到的图象所表示的函数是y=sin(4x+π3)(x∈R)．
故选：D．
结合题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换法则可求导答案．
本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：f(−x)=−xln1−x1+x=−xln(1+x1−x)−1=xln1+x1−x=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C
当01，则f(x)=xln1+x1−x>0，排除B，
故选：D．
根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；
若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；
若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意．
故选：A．
分别假设甲、乙、丙、丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案．
本题主要考查了合情推理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：连接BF，∵E是BC中点，F是B1C1中点，
∴BE//FC1，BE=FC1，∴四边形BEC1F是平行四边形，
∴BF//EC1，BF=EC1，∴∠AFB是异面直线AF与C1E所成角(或所成角的补角)，
∵BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，
∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∴AB⊥BF，∴△ABF是直角三角形，
设AB=BC=CC1=a，则BF= a2+a24= 5a2，
AF= a2+( 52a)2=3a2，
∴sin∠AFB=ABAF=a3a2=23．
故选：B．
连接BF，推导出BF//EC1，BF=EC1，从而∠AFB是异面直线AF与C1E所成角(或所成角的补角)，由此能求出结果．
本题考查异面直线所成角、平行四边形的判断、线面垂直的判定等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的定义和性质，属于基础题．
利用双曲线的定义，得到|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，结合勾股定理表示出a和 c的关系即可．
【解答】
解：由双曲线的定义，得到|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，
又|PF2|=2a，得|PF1|=4a，
因为∠F1PF2=π2，所以|F1F2|=2 5a，
故2 5a=2c，即e=ca= 5．
故选：A．
9.【答案】B
【解析】解：由题意，
假设先执行若干次循环：S=0，k=1；S=11×3，k=3；S=11×3+13×5，k=5，…，S=11×3+13×5+15×7+17×9，k=9；S=11×3+⋅⋅⋅+19×11=12(1−13+13−15+⋅⋅⋅19−111)=511，k=11；
结束循环，再分析选项，只有B符合题意，
故选：B．
根据程序框图与数列裂项求和，即可得出判断框的条件．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
10.【答案】C
【解析】解：将1至2023这2023个数中，能被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，
∵能被5除余1且被7除余1，即能被35除余1的数，∴a1=1，a2=36，a3=71⋯，即{an}是以1为首项，35为公差的等差数列，
∴an=35n−34，
由题意得1≤35n−34≤2023，解得1≤n≤58，n∈N*，
∴此数列的项数为58项．
故选：C．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：由y=lnx−x2，得y′=1x−2x(x>0)，
令1x−2x=−1，则(x−1)(2x+1)=0，
∵x>0，∴x=1，得y=−1，
即平行于直线x+y−4=0且与曲线y=lnx−x2相切的切点坐标为(1,−1)，
由点到直线的距离公式可得点P到直线x+y−4=0的距离的最小值d=|1−1−4| 2=2 2．
故选：C．
求出平行于直线x+y−4=0且与曲线y=lnx−x2相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，考查化归与转化思想，是基础题．
12.【答案】A
【解析】解：设△ABC外接圆的半径为r，则r=4 32sin60°=4，
设球O的半径为R，当三棱锥P−ABC的高最大时，体积取最大值，高的最大值h= R2−42+R．
所以13× 34×(4 3)2×( R2−42+R)=32 3，即 R2−42+R=8，解得R=5．
故球O的表面积是4πR2=100π．
故选：A．
设球O的半径为R，△ABC的外心为O1，由题意可得△ABC外接圆的半径r及面积，高的最大值为h= R2−r2+R，代入体积公式，结合题意可求得R值，代入球的表面积公式即可得答案．
本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】−163
【解析】解：作出可行域如下图阴影部分所示，
由图象可知，平移直线−x+y=0至过点A时，目标函数z=−x+y取得最小值，
联立x=34x+3y−5=0，解得x=3y=−73，即A(3,−73)，
则z=−x+y的最小值为−3−73=−163．
故答案为：−163．
作出可行域，根据图象，找到最优解，进而得到所求最小值．
本题考查简单的线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】 7
【解析】解：因为向量a与b的夹角为30°,|a|=1,|b|= 3，
所以a⋅b=|a|⋅|b|cs30°=1× 3× 32=32，
所以|a−2b|= (a−2b)2= a2−4a⋅b+4b2= 12−4×32+4×( 3)2= 1−6+12= 7．
故答案为： 7．
由向量的模长公式和数量积的定义求解即可．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
15.【答案】−32
【解析】解：Sn=2an+1，
当n=1时，S1=2a1+1，∴a1=−1，
当n≥2时，Sn−1=2an−1+1，两式相减可得an=2an−2an−1，
∴an=2an−1，即anan−1=2，
∴数列{an}是首项为−1，公比为2的等比数列，
∴a6=−25=−32．
故答案为：−32．
当n=1求出a1的值，当n≥2时利用公式an=Sn−Sn−1可得数列{an}是首项为−1，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式求解即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等比数列的性质，属于中档题．
16.【答案】4
【解析】解：设圆心为F，则F为抛物线x2=8y的焦点．设P(x,y)，则|PF|=y+2，
要使|PM|2|PQ|最小，则需|PQ|最大，|PQ|max=|PF|+1=y+3，且|PM|= x2+(y−4)2= y2+16，
∴|PM|2|PQ|=y2+16y+3=(y+3)2−6(y+3)+25y+3=y+3−6+25y+3≥2 (y+3)⋅25y+3−6=4，
当且仅当y+3=25y+3，即y=2时取等号，
∴|PM|2|PQ|的最小值是4．
故答案为：4．
由已知可得|PM|2|PQ|=y2+16y+3，利用基本不等式可求|PM|2|PQ|的最小值．
本题考查求最小值问题，考查抛物线的性质，考查基本不等式的应用，属中档题．
17.【答案】解：(1)已知acsC+ccsA=btanA，
由正弦定理可得sinAcsC+csAsinC=sinBtanA，
整理得sin(A+C)=sinB=sinBtanA，
因为sinB>0，所以tanA=1，因为A∈(0,π)，所以A=π4．
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA，即5=2+c2−2 2c× 22，
即c2−2c−3=0，解得c=3或c=−1(舍)，
所以△ABC的面积为12×3× 2×sinπ4=32．
【解析】(1)根据正弦定理，结合三角形内角和求解即可；
(2)根据余弦定理可得c=3，再根据面积公式求解即可．
本题考查解三角形，正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
18.【答案】解；(1)2×2列联表补充完整如下：
K2=400×(120×110−90×80)2210×190×200×200≈9.023>7.879，
因此有99.5%的把握认为“对该部影片的评价与性别有关”．
(2)采用分层抽样的方法从男性给出“好评”者中抽取的人数为120×7210=4人，记作a，b，c，d；
从女性给出“好评”者中抽取的人数为90×7210=3人，记作A，B，C，
所以从7人中抽取2人包含的基本事件有ab，ac，ad，aA，aB，aC，bc，bd，bA，bB，bC，cd，cA，cB，cC，dA，dB，dC，AB，AC，BC，共21个，
其中包含一男一女的基本事件有aA，aB，aC，bA，bB，bC，cA，cB，cC，dA，dB，dC，共12个，
故所求概率P=1221=47．
【解析】(1)由题意进行数据分析，完善2×2列联表，套公式求出K2，对照参数下结论；
(2)列举基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解．
本题主要考查了独立性检验的应用及古典概率公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：在图1中，∵AB/​/CD，AB=BC=AD=12CD=2，P为CD中点，
∴四边形ABCP是菱形，且△DAP是等边三角形，即图2中△SAP是等边三角形．
连结BP，则BP=AB=AP，即△BAP是等边三角形．
设AP中点为E，连结EB，ES，则AP⊥ES，AP⊥EB，
又∵ES∩EB=E，ES，EB⊂平面SEB，∴AP⊥平面SEB．
∵SB⊂平面SEB，∴SB⊥AP；
(2)解：由(1)得SE=BE= 3．
又SB= 6，∴SE2+BE2=SB2，得SB⊥BE．
又SE⊥AP，AP∩BE=E，AP，BE⊂平面ABCP，
∴SE⊥平面ABCP，即SE为三棱锥S−PBC的高．
设点C到平面SPB的距离为d，在△SPB中，SP=PB=2，SB= 6，
∴S△SPB=12× 6× 102= 152，
由VC−SPB=VS−PBC，有13× 152×d=13× 34×4× 3，
∴d=2 155，
即点C到平面SPB的距离为2 155．
【解析】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
(1)设AP中点为E，连结EB，ES，则AP⊥ES，AP⊥EB，可得AP⊥平面SEB.进一步得到SB⊥AP；
(2)由(1)得SE=BE= 3.然后证明SE⊥平面ABCP，即SE为三棱锥S−PBC的高．然后利用等积法即可求得点C到平面SPB的距离．
20.【答案】解：(1)由已知得c=2，由离心率e=ca= 63得a= 6，
∴b= a2−c2= 2，
∴椭圆C的方程为x26+y22=1．
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x26+y22=1y=x+m，可得4x2+6mx+3m2−6=0，
∵直线l：y=x+m与椭圆E交于A，B两点，∴Δ=36m2−16(3m2−6)>0，解得m2<8，即−2 2由韦达定理可得x1+x2=−3m2,x1x2=3m2−64，
由弦长公式可得|AB|= 2⋅ (−3m2)2−4×3m2−64= 62 8−m2，
点O到直线l的距离为d=|m| 2，∴S△OAB=12⋅d⋅|AB|=12× 22×|m|× 62× 8−m2≤ 34×m2+8−m22= 3，
当且仅当m2=8−m2，即m=±2时取等号，
∴△ABC面积的最大值为 3，此时直线l的方程为y=x±2．
【解析】(1)根据椭圆的离心率及焦点求得椭圆C的方程；(2)直线y=x+m与椭圆联立，根据韦达定理和弦长公式以及点到直线的距离公式，即可求出求△ABO面积的最大值及此时直线l的方程．
本题考查直线与椭圆的综合问题，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f′(x)=1x−2a=1−2axx，
若a≤0，则f′(x)=1−2axx>0，此时f(x)在(0,+∞)上单调递增；
若a>0，当x∈(0,12a)时，f′(x)=1−2axx>0，当x∈(12a,+∞)时，f′(x)=1−2axx<0，
此时f(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减，
综上：若a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
若a>0时，f(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减．
(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，若f(x)≤0恒成立，
则lnx−2ax≤0恒成立，即2a≥lnxx恒成立，
令g(x)=lnxx，只需2a≥g(x)max，
又g′(x)=(lnx)′⋅x−lnx⋅x′x2=1−lnxx2，
令g′(x)=0得x=e，当x∈(0,e)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(e,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；
∴2a≥g(x)max=g(e)=1e，解得a≥12e．
(3)要证明20222023>20232022，只需证明ln20222023>ln20232022，
即2023ln2022>2022ln2023，即只需证明ln20222022>ln20232023，
由(2)可知g(x)=lnxx在(e,+∞)单调递减，
∴g(2022)>g(2023)，故ln20222022>ln20232023，
∴20222023>20232022．
【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调性即可；
(2)分离参数a，令g(x)=lnxx，只需2a≥g(x)max，根据函数的单调性求出a的范围即可；
(3)问题转化为只需证明ln20222022>ln20232023，由(2)可知g(x)=lnxx在(e,+∞)单调递减，g(2022)>g(2023)，从而证明结论成立．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，不等式的证明，是难题．
22.【答案】解：(1)直线l的倾斜角为α且过点M(1,1).转换为参数方程为：x=1+tcsα y=1+tsinα (t为参数)；
曲线C的极坐标方程为ρ=2，根据x=ρcsθ y=ρsinθ x2+y2=ρ2 ，转换为直角坐标方程为x2+y2=4；
(2)把直线的参数方程：x=1+csαt y=1+sinαt (t为参数)代入圆的方程x2+y2=4；
得到：t2−2(csα+sinα)t−2=0，
所以：t1+t2=2csα+2sinα，t1t2=−2，
所以：||AM|−|MB||=|t1+t2|=2 2|sin(α+π4)|，
当α=π4时，最大值为2 2．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数关系式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
23.【答案】解：(1)当a=2时，|2x−2|+2|x+1|≤5，
当x≤−1时，2−2x−2(x+1)≤5，解得x≥−54，
故−54≤x≤−1，
当−1故−1当x≥1时，2x−2+2(x+1)≤5，解得x≤54，
故1≤x≤54，
综上所述，不等式f(x)≤5的解集为[−54,54].
(2)|2x−a|+|2x+2|=|a−2x|+|2x+2|≥|a−2x+2x+2|=|a+a|，当且仅当(a−2x)(2x+2)≥0恒成立，
若存在x∈R，使得f(x)≤2a+1成立，
则|a+2|≤2a+1，即2a+1≥0(a+2)2≤(2a+1)2，解得a≥1，
故a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)根据已知条件，分x≤−1，−1(2)根据已知条件，结合绝对值三角不等式的公式，以及绝对值不等式的解法，即可求解．
本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想，属于中档题．好评
差评
合计
男性
80
200
女性
90
合计
400
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
好评
差评
合计
男性
120
80
200
女性
90
110
200
合计
210
190
400