2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第50讲双曲线（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第50讲双曲线（学生版），共4页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的几何性质等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．双曲线的定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a＜|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2.双曲线的标准方程
(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
3．双曲线的几何性质
题型归纳
题型1双曲线的标准方程
【例1-1】已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(3,4)x，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
【例1-2】与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线标准方程是( )
A.eq \f(x2,4)－y2＝1 B.eq \f(x2,2)－y2＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
【例1-3】经过点P(3,2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为____________．
【跟踪训练1-1】焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．
【跟踪训练1-2】过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为________________．
【名师指导】
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
题型2双曲线的定义及其应用
【例2-1】(1)设双曲线C：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,m)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C交于M，N两点，其中M在左支上，N在右支上．若∠F2MN＝∠F2NM，则|MN|＝( )
A．8 B．4
C．8 eq \r(2)D．4 eq \r(2)
(2)设F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线交双曲线C的左支于A，B两点，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，则△BF1F2的面积为________．
(3)已知F是双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的一动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
【跟踪训练2-1】已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1(x＞2) B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,21)＝1(y＞2)
C.eq \f(x2,21)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1
【跟踪训练2-2】已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________.
【名师指导】
双曲线定义的应用策略
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
题型3双曲线的简单几何性质
【例3-1】已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若eq \(F1A,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(F1B,\s\up7(―→))·eq \(F2B,\s\up7(―→))＝0，则C的离心率为________．
【例3-2】已知双曲线C：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)的离心率与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
【例3-3】设F为双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝eq \r(7)－1，则双曲线E的方程是( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,6)＝1
C.eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
【跟踪训练3-1】已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(3)xB．y＝±eq \f(\r(3),3)x
C．y＝±2xD．y＝±eq \f(1,2)x
【跟踪训练3-2】已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2 D.eq \r(5)
【跟踪训练3-3】已知M(x0，y0)是双曲线C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若eq \(MF1,\s\up7(―→))·eq \(MF2,\s\up7(―→))<0，则y0的取值范围是________．
【名师指导】
1.求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)；
2.求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系：k＝±eq \f(b,a)＝±eq \f(\r(c2－a2),a)＝± eq \r(\f(c2,a2)－1)＝±eq \r(e2－1)；
3.求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线方程.
4.求解双曲线的几何性质问题，其通用的方法是利用方程思想解题，其思维流程是：标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称性
对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))∈(1，＋∞)
e是表示双曲线开
口大小的一个量，
e越大开口越大.
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
a，b，c的关系
a2＝c2－b2