2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第63讲变量间的相关关系统计案例（学生版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第63讲变量间的相关关系统计案例（学生版），共9页。试卷主要包含了变量间的相关关系，两个变量的线性相关，独立性检验等内容，欢迎下载使用。

思维导图
知识梳理
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关；点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，其中
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)， eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
(3)通过求eq \a\vs4\al(Q＝\i\su(i＝1,n,)yi－bxi－a2)的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
(4)相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；
当r＜0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
3．独立性检验
(1)2×2列联表
设X，Y为两个变量，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
(2)独立性检验
利用随机变量K2(也可表示为χ2)的观测值k＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
题型归纳
题型1相关关系的判断
【例1-1】对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图①，对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
【例1-2】某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：
根据表中数据，下列说法正确的是( )
A．利润率与人均销售额成正相关关系
B．利润率与人均销售额成负相关关系
C．利润率与人均销售额成正比例函数关系
D．利润率与人均销售额成反比例函数关系
【跟踪训练1-1】已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【跟踪训练1-2】在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝eq \f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．0
C.eq \f(1,2)D.1
【跟踪训练1-3】变量X与Y相应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )
A．r2C．r2<0【名师指导】
判断相关关系的2种方法
(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.
题型2回归分析
【例2-1】越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表：
(1)作出散点图；
(2)根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))(精确到0.01)；
(3)根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及其以上为重度焦虑，若为中度焦虑及其以上，则要进行心理疏导，若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？
其中eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\t(x) \x\t(y),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\x\t(x)2)，eq \i\su(i＝1,6,x)iyi＝1 452，eq \i\su(i＝1,6,x)eq \\al(2,i)＝91，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
【例2-2】为了了解A地区足球特色学校的发展状况，某调查机构统计得到如下数据：
(1)根据表中数据，计算y与x的相关系数r，并说明y与x的线性相关性强弱(已知：0.75≤|r|≤1，则认为y与x线性相关性很强；0.3≤|r|<0.75，则认为y与x线性相关性一般；|r|≤0.25，则认为y与x线性相关性较弱)；
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测A地区2019年足球特色学校的个数(精确到个)．
参考公式及数据：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\t(y)2))，
eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \x\t(x))2＝10，eq \i\su(i＝1,5,)(yi－eq \x\t(y))2＝1.3，eq \r(13)≈3.605 6，eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x).
【跟踪训练2-1】某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.16x－30.75，以下结论中不正确的为( )
A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系
C．可估计身高为190厘米的人臂展为189.65厘米
D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米
【跟踪训练2-2】互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下简称外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))；
②经计算求得y与x之间的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务，企业平均能获取纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围(x值精确到0.01)．
相关公式：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\t(y)2)).
参考数据：eq \i\su(i＝1,5,)(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝66，
eq \r(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\t(x)2)eq \r(\i\su(i＝1,5,)yi－\x\t(y)2)≈77.
【名师指导】
一、线性回归分析问题的类型及解题方法
1．求线性回归方程
(1)利用公式，求出回归系数eq \(b,\s\up6(^))，eq \(a,\s\up6(^)).
(2)待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．
2．利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
3．利用回归直线判断正、负相关，决定正相关还是负相关的是系数eq \(b,\s\up6(^)).
二、模型拟合效果的判断
(1)残差平方和越小，模型的拟合效果越好．
(2)相关指数R2越大，模型的拟合效果越好．
(3)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
题型3独立性检验
【例3-1】中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入eq \f(1,3)的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入eq \f(1,3)的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15](单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．
乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：
(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；
(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；
(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“幸福指数与租住的小区”有关.
附：临界值表
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
【跟踪训练3-1】某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025，
P(K2≥6.635)≈0.010.
则________(填“有”或“没有”)97.5%的把握认为“学生的性别与认为作业量大有关”．
【跟踪训练3-2】为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；
(2)把年龄在[15,45)的居民称为中青年，年龄在[45,65]的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关？
附：
K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).
【名师指导】
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
月份
1
2
3
4
5
6
人均销售额
6
5
8
3
4
7
利润率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
周数x
6
5
4
3
2
1
正常值y
55
63
72
80
90
99
年份x
2014
2015
2016
2017
2018
足球特色学校数y/百个
0.30
0.60
1.00
1.40
1.70
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单x/百单
5
2
9
8
11
外卖乙日接单y/百单
2
3
10
5
15
月收入
[0,3)
[3,6)
[6,9)
[9,12)
[12,15]
户数
38
27
24
9
2
幸福指数低
幸福指数高
总 计
甲小区租户
乙小区租户
总 计
P(K2≥k)
0.10
0.010
0.001
k
2.706
6.635
10.828
认为作业量大
认为作业量不大
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
电子阅读
纸质阅读
总计
中青年
中老年
总计
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
2个明确
(1)明确两类主体；
(2)明确研究的两个问题
2个关键
(1)准确画出2×2列联表；
(2)准确求解K2
3个步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表；
(2)根据公式K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，计算K2的值；
(3)查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断